关于波动率曲线的拟合

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关于波动率曲线的拟合

自1987年的金融危机之后，人们发现虚值期权的隐含波动率应该比实值期权的隐含波动率要高的，而并不是像B-S模型中所描述的那样：所有执行价的隐含波动率都是一样的。期权价格也表现出对到期时间的依赖。
Black-Scholes的模型是基于股票价格服从几何布朗运动，而且这个布朗运动的漂移和波动率是常数，以及市场是无套利机会的。由于模型参数的简单性，Black-Scholes模型及其修正版本是金融实践中最常用的期权定价模型。然而，对Black-Scholes模型进行修改是必要的，因为经验证据表明，波动率为常数的Black-Scholes模型在不同执行价和到期的合约之间显示了系统偏差。这个也同样可以通过Black-Scholes模型反推出隐含波动率证实。波动率对执行价的依赖我们通常称为波动率微笑或者波动率倾斜。波动率对到期时间的依赖我们通常称为波动率期限结构。期权交易者充分意识到布莱克-斯科尔斯模型的局限性，但他们并没有取代该模型，而是对其进行了充分的修改，以弥补某些缺陷。
对于需要在给定的行使价和到期日提供期权价格的期权做市商而言，波动性表面是必不可少的。如果特定的期权是流动的，做市商可以使用期权的报价。但是如果期权的流动性不足或者买一价与卖一价的差值太大或者期权现价有偏差，这样的交易价格会导致成本可能增加很多的。投资者需要以什么样的价格交易才比较合适？合适的价格需要合适的波动率。事实上，期权市场没有很多期权的流动报价，因此，需要一种插值或者拟合的工具才能从其他流动性充足的期权中提取特定期权的价格。本文介绍的方法主要是针对波动率微笑的二次曲线拟合与样条插值，对于波动率期限结构的方法类似。
首先，我们先介绍波动率微笑曲线的拟合。所谓的二次曲线拟合是指，用二次多项式拙X[[[OHX\]L[]K]HH[OH\^N[[KX\XX[YY
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