50ETF期权价格与股市动量的关系

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vix.shtml" target="_blank" class="relatedlink">50ETF期权价格与股市动量的关系

1、文章总体简介
本文的主要观点来自于文献《Option prices and stock market momentum: evidence from China》，作者和出版年份等内容见参考文献。由于市场的不完善，期权价格往往与股市之前的收益率相关。为了衡量期权市场的价格压力，作者构建了一个隐含波动率价差。这个波动率价差是基于具有相同到期日和执行价格的期权的隐含波动率差组成的。通过将标的的收益率和波动率价差进行回归分析，得出的结论是过去标的的收益率对期权定价有很大的影响。具体来说就是，标的价格上涨之后，看涨期权相对于看跌期权明显被高估；反之，在标的价格下跌之后，看跌期权相对于看涨期权明显被高估。此外，作者验证了标的市场的动量效应是造成期权价格压力的原因。

2. 隐含波动率价差
波动率价差是由具有相同的执行价和到期日期的期权对的隐含波动率差值，加权而来的。先引入几个记号。记
是第
天期权市场上有效的期权对的数量。所谓的有效期权对，指的是交易量不为0且具有买卖双方的报价的期权构成的期权对。记
是第
天、第
对期权对的隐含波动率差值的权重。记
和
分别是第
天、第
对期权对的认购隐含波动率、认沽隐含波动率。那么隐含波动率价差(IVS)可以由以下公式计算给出：
这里的加权权重，作者是按照成交量计算的。如果认购的隐含波动率相对于认沽隐含波动率偏高了，这说明认购期权比认沽期权更贵，反之也成立。如果隐含波动率价差在标的上涨之后变大并且在标的下跌之后变小，则可以得出的结论是标的过去的市场状态影响期权价格。为了证实这个猜想，作者决定将标的的收益率同隐含波动率价差之间进行回归。由于50ETF期权是跟踪上证50指数的，作者决定用50指数的收益率代替50ETF的收益率。如果存在一个关于股市收益率的隐含波动率价差函数，则这个回归系数应该是正的。

3.隐含波动率估计
为了不让期权的隐含波动率消失，作者在数值实验的时候特地为所有期权的期限都加了1天。所以隐含波动率没法从金融数据终端导出，必须自己算。除了常用的二分法计算隐含波动率之外，文中作者使用的是牛顿迭代法。迭代公式如下：

上式中的
指的是市场上的期权价格，
指的是由
计算而来的期权价格，
指的是由
计算的期权相对于波动率的一阶偏导数，即由
计算得到的Vega值。上式中的迭代从初始值
开始，即m从1开始，一直迭代到有下面的不等式出现为止，

。

4、数值实验
4.1 数据准备
数值实验过程中选取的时间段是2015年2月9日至2016年5月25日，总共316个交易日，对于每个交易日，数据记录包括期权类型（认购或认沽）、收盘价、执行价、剩余期限和成交量。在样本中，总共有320对期权对（包括退市的和非退市的）。这些期权的相关信息，作者进行了统计，统计表如下：

从表中可以看出，总体样本平均每天包含61.34对匹配的期权交易。
由于不同的期权可能由于执行价格和到期日的不同而具有不同的流动性，因此作者将整个样本分成具有不同流动性的不同子样本。由于交易量越大，流动性越强，因此期权的交易量是反映其流动性的合适指标。因此，选取交易量的中位数作为320对匹配期权样本的流动性分界点，即交易量占比前50%的期权称为高流动性子样本，交易量占比后50%的期权称为低流动性子样本。首先，交易量的中位数每天都不一样，因为现实中320个匹配期权的交易量分布每天都不一样。其次由于到期时间的原因，每天交易的期权并不是完全相同的。这也就意味着，每天的子样本可能不完全相同。
4.2 数据实验1——隐含波动率价差作者画出了隐含波动率价差和上证50指数的收盘价的图形，如图1和图2所示。从图上可以看出，第一，除了2015年6月至9月这段时间外，图2的波动强度总体上大于图1，这极有可能是2015年中国股市崩盘的影响。第二，隐含波动率价差的波动频率和强度都远远大于指数价格的波动幅度。隐含波动率价差曲线有剧烈的起伏，而指数价格曲线则温和得多。这种主要是因为期权等金融衍生品具有巨大杠杆作用引起的。第三，两个隐含波动率价差序列的最值（包括最大值和最小值）都滞后于指数价格的最值出现时间。隐含波动率价差序列的最小值分别滞后了8天和7天。因此，在某种程度上图1和图2为之前关于期权价格和标的市场动量的关系说法，提供了证据。

4.3 数据实验2——隐含波动率价差与收益率的关系在此数值实验过程中，作者先统计了隐含波动率价差系列的一些基本统计量，如下表所示:

表中还给出了日平均隐含波动率价差序列的偏自相关系数。两个系列都表现出显著的正偏序列相关。高流动性子样本和低流动性子样本的一阶偏自相关系数分别为0.82和0.86。偏自相关系数随着阶数的增加而减小，而二阶和三阶偏自相关系数则小得多。从直观上看，较大且为正的一阶偏相关系数表明隐含波动率价差存在一个缓慢的扩散过程，这表明隐含波动率价差的变化确实来自于期权持续的价格压力。这也表明，隐含波动率价差不太可能是由临时的测量误差或期权市场与标的市场之间的异步交易引起的。
隐含波动率价差序列的慢速特性使得不能使用普通最小二乘回归，否则残差将表现出很强的自相关性，导致估计回归系数的方差估计存在偏差。根据Box-Pierce统计量，作者发现一个阶数为1的自回归误差模型AR(1)足以消除残差的相关结构。模型如下所示：

隐含波动率价差与收益率的关系数值实验结果如下表所示：

表中对于每个参数，第一行的值表示系数的估计值，括号中报告的值表示相应的统计量t值。*表示在10%水平显著;**表示在5%水平显著;***表示在1%水平显著。
由表中的实验数据结果可得，两个隐含波动率价差序列具有相似的结果。首先，隐含波动率价差和收益率之间回归的系数都为正，且对应的t值显著。这一发现为市场动量假说提供了直接而有力的证据。此外，随着k的值增加,回归系数
和相应的t统计量的值先增加然后减少。
两个实验结果也有微小的区别。在高流动性样本中，
是在k=60的时候达到最大值，但是在低流动性子样本中，
是在k=80的时候达到最大值。这一结果表明，过去60天指数收益对高流动性期权价格的正向影响最大，而过去80天指数收益对低流动性期权价格的正向影响最大。另外，高流动性子样本与低流动性子样本的比较表明，高流动性子样本的回归系数一般较大。这表明，过去收益率对高流动性期权价格的影响相对大于对低流动性期权价格的影响。
4.3 数据实验3——动量效应对期权价格的影响
作者根据股票市值，将50指数的成份股分位大市值股票和小市值股票两类。大市值股票指市值排名在前50%的，小市值股票指市值排名在后50%的。其次，根据股票过去20天的累积收益率，将股票分为三类：收益率靠前的30%的股票称为Winners，收益率排名靠后的30%的股票称为Losers，中间的40%的股票称为Neutral。这样每一天的股票分类就有6种，得到6种收益率：SL、SN、SW、BL、BN和BW。（BW表示大市值收益率排名在前30%的股票等值加权的收益率，SL表示小市值收益率排名在后30%的股票等值加权的收益率）。则动量因子WML，表示为
实质上，WML表示的是买入过去的winners，卖出过去的Losers。
作者将动量因子WML作为自变量与隐含波动率价差序列进行回归分析。回归模型如下：

.
回归分析结果如下：

从结果中我们观察到，回归系数
都是正数。这表明，标的股票市场的动量直接且显著地影响了指数期权的定价。但是低流动性子样本的
值大于高流动性子样本的
值。此外高流动性组的
显著低于低流动性组。这种现象的潜在解释与期权的到期有关。因为，与低流动性期权相比，高流动性期权的期限通常较短。因此，高流动性期权通常存在于期权市场的时间较短，导致过去的股票动量不会对其产生长期影响，有时甚至无法及时影响。因此，低流动性期权组的动量效应远高于高流动性期权组。

【参考文献】
LiJ , Yao Y , Chen Y , et al. Option prices and stock market momentum:evidence from China[J]. Quantitative Finance, 2018:1-13.

---END---旷特量化金融科技研究所
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