期权套利系列（6）-认购期权的凸性套利

前言：
期权的价格一般不会等于理论价格，市场预期标的波动率较高时，期权的价格会高于理论价格，但两者不太可能长久维持很大偏离，因为这样就存在无风险套利机会。且不去管场内期权被规定的涨跌停价，期权价格存在自身的边界。而这里，我们将要探讨的是，当期权价格高或者低到什么程度时会存在无风险套利机会？我们需要明确无风险套利机会的临界点，将这样的临界点连起来就是期权价格的一条边界线。而这样的边界圈定了期权价格的波动范围，至少从理论上讲是这样，因为一旦期权价格逾越边界，就意味这市场上出现了无风险套利机会。

一、认购期权的凸性
在介绍认购期权的单调性时，在认购期权理论价与行权价的关系图中，我们可以很直观地发现将任意两个认购期权价用直线连接，价格曲线总是在这条直线之下，曲线向下凸出，这就是认购期权价格的凸性。根据凸性所具有的性质，对于认购期权价格曲线来说同样适用。
1.1三个行权价间距相等的认购期权，两端的价格平均值大于中间价格
这里还是用上次的白糖期权进行分析，行权价为4400的认购期权价格为536.4264，行权价为4500的认购期权价为445.1552，而行权价为4600的认购期权价为359.9138。行权价为4400、4600的认购期权价的平均值等于448.1701，这一均值大于三者中间行权价位4500认购价的445.1552。我们可以发现选取任意三个间距相等认购期权同样会满足两端的价格均值大于中间价格。当然这也很容易理解，因为这本身就是凸性曲线的一般性质。

而通过上面这个不等式关系，我们又可以得到认购期权的一条性质，那就是随着行权价的递增相邻两认购期权的价差递减，对于这个性质，从目前上市的豆粕、白糖、铜期权和vix.shtml" target="_blank" class="relatedlink">50ETF期权的T型报价表上都能很直观得看出来。还拿白糖期权举例，行权价为4400、4500的认购期权价差为91.2712，而行权价为4500、4600的认购期权价差为85.2414，行权价为5400、5500的认购期权价差为7.8724，从这里就可以看出，行权价越高的相邻认购期权，其价差值越小。

1.2三个行权价间距不相等的认购期权，两端价格的加权平均值大于中间价格
通过以上分析，我们知道，行权价间距相等时，满足两端价格均值大于中间价，那么行权价间距不相等时，是否还满足上述性质呢？其实还是满足的，为了增加这一性质的科学及普遍性，我们用两端点的加权平均价来分析验证。
还是上面的白糖期权，取行权价4400、4500和4700这三个认购期权，三者间间距不等，后两者的间距200，两端间距300，两者比值λ=2/3，两端期权的加权平均价=451.8106＞445.1552。对于普适性，我们可以将这一性质表达为：
当i＜j＜k时，λ Ci+（1-λ）Ck＞Cj，（λ=（Xk-Xj）/Xk-Xi）
对于第一种间距相等的情况，其实就是当λ=1/2，这个时候上述不等式就可以表示为(Ci+Ck)/2＞Cj，所以从这里可以看出来，间距相等时是一种特例，而上面的认购期权不等式性质才具有普适性。
1.3四个等行权价认购期权，两端的价格和大于中间两个价格之和
还是上面的白糖期权，选取行权价4400、4500、4600和4700这四个认购期权，行权价为4400、4700的认购期权价之和819.0055，中间行权价4500、4600的认购期权价之和为805.0690，两端价格和大于中间价格和。我们可以将这一性质表示为：
当i＜j＜k＜m时，Ci+Cm＞Cj+Ck
二、认购期权的凸性套利
在认购期权的凸性分析中，我们得到了三个不等式关系。当认购期权价格不满足这些不等式关系时，就意味中市场中出现了无风险套利机会。下面针对三种不满足逐一进行证明分析，为了方便直观了解，还是以上面白糖期权为例。
2.1三等距认购期权间的套利
当三个等距认购期权不满足/2＞时，存在无风险套利机会。仍然选取行权价为4400、4500和4600的三个白糖认购期权，正常情况下两端的均价448.1701大于行权价为4500的价格445.1552，这里假设行权价为4500的认购期权盘中波动率突然大增使得其溢价到500.1898，而行权价为4400、4600的波动率正常，此时就存在无风险套利机会。我们需要做的操作就是，买进低行权价4400的认购和买进高行权价4600的认购，同时卖出双倍的中间行权价4500的认购，这其实就是一个蝶式套利，通过买1个低行权价认购、买1个高行权价认购，再卖2个中间行权价，我们获得净权利金18.7980。
再来对期权到期时可能情况进行分析：1、SR1905期权到期时，SR1905期货价格S≤4400，认购期权全部作废，最后的利润就为期初获得的净权利金18.7980；2、SR1905期权到期时，SR1905期货价格S＞4600，三个认购期权全部行权，最终的损益=（S-4600）+（S-4400）-2*（S-4500）+18.7980=18.7980；3、SR1905期权到期时，4400＜SR1905期货价格S≤4500，此时损益=S-4400+18.7980；4、SR1905期权到期时，4500＜SR1905期货价格S≤4600，此时执行价为4400和4500的认购都行权，损益=S-4400-2（S-4500）+18.7980=4600-S+18.7980。通过所有4种情况的分析可以看出，只要不满足上次不等式，通过建构蝶式价差就可以获得无风险收益，而且最小收益是净权利金，最大收入为净权利金加上行权价间距。


      2.2三个不等距认购期权间的套利
选取行权价为4400、4500和4700的三个白糖认购期权，这里的λ=2/3，两端期权的加权平均价=451.8106，而行权价为4500的认购期权盘中波动率突然大增使得其溢价到500.1898，此时两端期权的加权均价就小于中间期权价，也就存在无风险套利机会。这个时候可以构建修正蝶式策略进行无风险套利，即买入2个低执行价认购，买进1个高执行价认购，同时卖出3个中间执行价认购，获得净权利金收入500.1898*3-536.4264*2-282.5791*1=145.1375。
通过如上例中类似的分析可以发现，当i＜j＜k时，如果出现λ Ci+（1-λ）Ck＜Cj的情况，到期时不需要管标的价格如何变动，只要构建买低买高卖中的修正蝶式差价策略就能够获得无风险收益。在正常的蝶式策略中，由于期权定价合理，需要支付净权利金，而出现λ Ci+（1-λ）Ck＜Cj时，净权利金大于0，那么当初净权利金损失的最大风险就不存在了，当初的最大风险已经变成了最小盈利。从下面的损益图我们也可以看出，修正蝶式套利的整条盈亏线都在0轴之上了。


      2.3四个等距认购期权间的套利
根据上文的分析，正常情况下，两端的认购期权价格之和大于中间两认购期权的价格之和。如果违背这一性质，同样就出现了无风险套利机会。还是上文的白糖期权，选取行权价为4400、4500、4600和4700四个认购期权，行权价为4400、4700的认购期权价之和819.0055，还是借用上文同样的假设，行权价为4500的认购期权盘中波动率突然大增使得其溢价到500.1898，此时两个中间执行价的认购期权价格之和就等于860.1036＞两端价之和819.0055。这个时候我们可以利用铁鹰式策略进行无风险套利，即买进低行权价4400的认购，买进高行权价4700的认购，同时卖出中行权价4500的认购，卖出中高行权价4600的认购，这样操作获得净权利金收入=860.1036-819.0055=41.0981。
在正常的鹰式策略中，还是存在亏损风险的，最大风险为净权利金损失，而此时，由于中间执行价的认购期权溢价，使得当初净权利金损失的最大风险不存在了，当初的最大风险同样变成了最小盈利。对于此例，最小的无风险收益为净权利金收入41.0981，而最大的收益为行权价间距加上净权利金=141.0981。从下面的损益图我们也可以看出，鹰式套利的整条盈亏线都在0轴之上了。
所以，当i＜j＜k＜m时，如果出现Ci+Cm＜Cj+Ck，通过上文同样的各种情况分析，我们同样不需要在意标的价格如何变动，只要构建铁鹰式贷方策略就能够获得无风险收益。

  三、小结思考
最后，简单提几点思考：1、上文的分析里虽然没有计算手续费，但也还未计算资金利息收益，因为期初是有净权利金收入；2、在上面的套利情况，我们来画出盈亏图，很容易会发现此时的蝶式策略或者鹰式策略盈亏图包括上下线整体都在0轴之上，最大风险已经成了最小收益；3、另外要提醒的，还是如前面文章多次讲到的，这只是基于到期的静态分析，在实际期权交易中，这种不合理价差一旦被套利者发现进入，不合理差价就会恢复正常，比如豆粕看涨期权的隐含波动率有时会突然大增造成这种逆序情况，但随后就会回归正常，一旦回归同时平仓就可获利，而不需要真的持有到期。