什么是隐含波动率 (Implied Volatility) ?

什么是Implied Volatility(IV)?BS 公式的假设有什么问题？
如何计算IV？
什么是Volatility Smile?
什么是Volatility Skew?
什么是IV Surface，它的形态有什么特点？
Put和Call的IV形态有什么区别？这跟1987年的黑色星期一有什么联系？
期权交易员为什么报价的时候喜欢报IV而不是直接报价格？
IV对于期权定价有什么用处？( Exotics)

用Python的交易员 · 2018-10-13 00:23:05

理论方面的答案就不献丑了（毕业几年基本也忘记差不多了），试着从国内市场的角度简单补充几点：

1. Implied Volatility对未来波动的预测效果强于GARCH等模型的预测效果。国内目前的当月和近月合约，已经能相当好的反应未来期权存续期内的underlying价格波动（在没有新的事件新闻改变基本面预期的情况下）。

2. BS公式假设的正态分布，和真实情况中的尖峰肥尾分布差距还是比较大的，过去半年在国家队的高抛低吸下这个峰变得更尖了。

3. 计算IV用Newton method，效率上实盘够用。

4. Vol Smile是对正态分布的修正，Vol Skew反应的是市场的大部分玩家还是带有方向性观点的。

5. IV Surface，理论上应该是平滑的才能保证无套利空间，而实际市场上由于交易成本的关系，只能说相对平滑（小的起伏和毛刺还是有不少的）。

6. 目前国内Call和Put的IV基本是对称的（计算时underlying调整贴水后）。

7. 对于期权而言，波动率才是真正属于期权的价值，比起价格更加直观。

8. BS也好，IV也好，都是一把尺子，只要知道尺子和实际长度之间的误差（甚至只是大概知道），尺子本身是不是100%准确就不那么重要了。

Wayne · 2018-10-13 00:23:06

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黑猫Q形态 · 2018-10-13 00:23:07

BS的坑：
BS假设很多问题，什么成本问题啊，利率固定啦，世界不可无限分割啊……这些都是小毛病无伤大雅，修正参数的事。但是BS有个两个致命的毛病：1，lognormal； 2 vol constant
lognormal，也就是return normal 是不符合现实的。因为normal在2阶矩以上的信息可以说几乎是平凡的，然而现实中的分布怎么可能那么好就是高斯分布呢？有偏度，有肥尾（峰度），甚至还有“尾偏度”（五阶矩）。这导致我们不能单单用前两阶的参数去衡量一个期权的价格（BS其实就是个二阶）
另一方面，人们长期观察发现，二阶矩（方差或波动率）自己是个”脱缰的野马“(self-dynamic)，别说是不是常数了，连一般的时间函数都不能满足，搞不好还是随机的(stochastic)。因此一般的计算的历史波动率只能在期权刚“拍出去”的时候用一用了，在剩下的时间里，人们只能根据期权价格“反算”一个波动率，这个就是IV。
业界里IV特指BS的IV，也有标准的dupire定义，但是今天我偏偏不这么答！ @陈皇宇 Renco 大神要我问题难道就想听个mark joshi的标答么？大家看我的的简介：G_t测度，这个是IV所属的一个专有测度，估计皇宇大邀我想必是看到这个特殊的记号了吧。于是乎……

二阶矩的世界（framework）：
首先在这个世界里，我们约定俗成一个规则：所有资产都被鞅化。这是因为我们在考虑波动率的时候，现在把它当作一个独立的含时间参数的变量，他不和一阶的漂移发生任何关系。所以以下讨论的期权全部都是期货期权“future option” ，不管用了什么符号表示资产。
首先一笔带过一般的 IV定义（计算时太长了不写了）：

就是代入参数是的期权价格和市场价格相等的波动率，在BS下没有参数，sigma自己就是参数
然后引入Dupire自己的G_t测度框架，首先我们将鞅化之后代表二阶项的方差分离出来：

，这个是St过程自己的瞬时（仅在t刻）二次项。这个变量是local的，你可以认为不带任何的“波动”的性质，而仅仅作为一个二次缩放倍数。
再引入自带的dynamic的脱缰野马，“瞬时波动率系数”：

，这是，在给定分布下，二次项被波动率系数给缩放了，这一步可以认为是vol决定的（如果vol本身是随机，拿着一项也是随机的，然后求了期望）。
在t时刻，实际上的vol缩放是上面二式的比值即 dynamic倍数/local倍数，这样比出来我们才能得出实际波动率被带动的变话部分：

这个极特殊的测度，我么称之为G_t测度

所以，self-dynamic下IV的严格定义式为：

式中的gamma用哪个模型表示，就是哪个模型的IV
之所以称之为一个测度，是因为下面的local项，不但修者了波动率变换本身，其实还修正了价格的概率密度，相当于对价格概率密度做了每一时刻的RN导数都为：

的测度变换，修正了二次项的影响。
之所以这么做是因为波动率自己“太脱缰了”（可单独作为一个变量，需要专门被测量，甚至是随机的），脱到我们不能用一般的价格模型去去衡量它。而且波动率自己的变换会直接影响到扩散项的瞬时变换（gamma），导致了我们为他专门建立了一个测度。（注意，和中性测度变换不同，这是一个修正二次项的缩放变换，而不是平移变换）
也因为这种“脱缰性”，让波动率成了一个独特的能衡量期权的不确定的参数。给出一个模型的IV好于直接给出那个模型下的价格，因我们不但能用它交易（作为报价），还能用它直接算出这个期权独有的特性。如果用在奇异期权上，我们可以很直观的看出他比一般期权“更加不确定了多少”或这“贵了多少”，用IV带入一般的数值法敏感度分析（比如MC，FDM，路径法）算出的Greeks也更加切合市场上的报价（奇异的Greeks很难很难算，而且很容易算错）。当然也包括了后面要说的曲面斜没斜，笑没笑，”volga风险“。这些是价格给不出来的。

魔王的微笑：
在市场中，vol有一种被称为“杠杆效应”的现象。即价格变化已经很大的时候，人们会认为波动率比实际的要大。尤其当价格下跌的时候，人们会认为这个资产更有“风险”（也即是quantile loss更大）。这一现象，再加上上面是所说有些资产分布自带肥尾的特性，构成了一种“人们认为”波动率会放大的现象，也就是smile和倾斜。
上面当然是标答，然后这当然没有完。因为黑猫认为不从“凸性”角度来将这两个概念是耍流氓的，不quant的！
由于期权的报价自带了两个变量，执行价格和到期日。所以很自然，每一个价格和到期日都对应这个一个IV。两个维度一个值，很容易就能想象，每个资产会对应一个曲面：

关于笑和斜，我们想要这两个形状和一些概念发生关系，需要借助和他们最为贴近的函数凸性：

函数对于一个参数的凸性是由他的对这个参数的二阶偏导决定的，所以这里我们也定义一个二阶偏导：

其中

有了凸性，skew和smile就好定义了：
我们定义 skew专指ATM附近（gamma交易员微信号给了一个.9 到 1.1 ATM的范围）
对
的偏导数或者干脆就指ATM处
对
的偏导数
我们再定义 smile为：偏离执行价格的是凸性变大的现象（可以用 straddle价格衡量）
不过讲真，单一信息说明的还是有限，所以对trader，能直接给丫看曲面就给丫看曲面，直观简单。
关于曲面的形态，这是个有意思的话题～
简单来说对于即期（T->0)的曲面（也就是曲线），决定隐含形态的主要是两个属性：
1.二阶矩和四阶矩变量的相关性
2.波动率的波动率

首先曲面会在ATM附近达到以低点（在ATM点不一定达到，所以他那一点偏高还是偏低可以侧面反应倾斜程度，这也是什么skew也以用ATM凸性衡量），然后会根据两边的尾部特性而选择性“翘起来”（这里不用峰度衡量，是因为峰度是衡量两个不同尾部的，而实际上左尾和右尾的胖度是不同的，可能涉及五阶矩“尾偏度”）
在ATM处，我们甚至可以有丰富的表情包：

往左边，可能人们的恐慌会加剧一些，也就是凸度的绝对值会大一些。所以正常看到的曲面，左边笑的都比右边弯：

魔王的微笑，夺走了多少社会的稳定……

随机致富傻瓜：
原则上，根据call-put平价，他们的IV应该是一样的。而实际上，因为IV可以反映人们的报价波动率，在类似多空预期失衡的时候人们会很自然的用脚投票，波动率会反映出他们的心理预期。在大家抛售砸价的时候，认为一定会下跌的预期自然会让put比平时更贵。
请原谅黑猫谷歌了一下，在1987年黑色星期一之前，大家还认为波动率是没有skew的。然而危机到来时所带来的put执行概率必然提高，直接亏死了put的卖方。这个时候人们才意识到，看涨看跌的波动率是不一样的。人们的预期，报价和市场上的供需行为将必然影响价格从而影响IV；同时一些额外费用和成本如果没有加以修正便加入了价格里，也会推高IV（比如现在国内ETF高的离谱的put iV）。
这种人人避之不及的在灾祸里确有一些随机致富的傻瓜，创造性的想出了低价收购垃圾期权（超深度OTM，基本不可能被执行），以平时流血的代价换来危机时的超额收益。是的，我说的就是Taleb，黑天鹅这个词就是这个哥们发明的。

吐槽：
这也算陈博士 @陈皇宇 Renco 对黑猫在知乎上的在线开卷笔试的答卷了，只是硬生生让黑猫写成了段子。波动率的东西，远远还没有发展到非常成熟的阶段。Gatheral大仙也说了：There is still plenty more to do~

十一 · 2018-10-13 00:23:08

看到一句话：

Implied Volatility: “wrong number that when plugged into the wrong equation (Black-Scholes) gives the right price.”

出处： https://svan2016.sciencesconf.org/conference/svan2016/pages/01_JorgeZubelli.pdf

Young Jo · 2018-10-13 00:23:09

可不可以在BS模型中稍加改变，消除或者很大程度减弱implied volatility？比如加入一个滞后项。

谢耳朵-Lin · 2018-10-13 00:23:10

BS模型有6个参数，其中5个都是可以观测的，包括strike，time to maturity，stock price，risk-free rate，只有volatility是不可观测到的，因此用市场上的期权价格，带入BS模型，可以求出Volatility，这个间接求出来的就是IV

路有所思 · 2018-10-13 00:23:11

没见过期权交易员用IV报价的，每个公司算IV的方法不一样，怎么可能有统一的IV报价方式。

于飞 · 2018-10-13 00:23:12

最近重新梳理了一下BS公式，本人非业内，偏理论，回答不对还请多多指教

1. 什么是Implied Volatility(IV)?BS 公式的假设有什么问题？
期权定价的时候是假定有一个方差率，是求变分的时候引入的，但是这个方差率的含义是这样的：
如果存在一个无风险收益rf的话，那么该方差率其实就是股票收益率ri和rf的差值。
IV我的理解是通过反解BS公式，目的就是看股票收益率的变化。
方差率原来的假定是个常数，但是该常数仍然是以变量的形态存在，可以进行反解。
2. 如何计算IV？
牛顿法
3. 什么是Volatility Smile?
不知道
4. 什么是Volatility Skew?
我的理解就是IV Surface在形态上是倾斜的。
5. 什么是IV Surface，它的形态有什么特点？
IV Surface就是通过二维meshgrid，做因变量的曲面图。相当于假定自变量具有连续性。IV Surface在形态上是倾斜的。
6. Put和Call的IV形态有什么区别？这跟1987年的黑色星期一有什么联系？
我没做过
7. 期权交易员为什么报价的时候喜欢报IV而不是直接报价格？
我没有实际经验
8. IV对于期权定价有什么用处？( Exotics)
个人理解是跟Exotics关系不大。

Xxxxl · 2018-10-13 00:23:13

拿BS model European Call举例

公式里的小s也就是volatility 它是不能从市场直接观测得到的这时候如果你令market price equals to BS price 再用numerical method比如Newton或者Secant得到的vol就是implied vol了

什么是隐含波动率 (Implied Volatility) ?

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