美式期权定价中的BAW和CRR模型

　　随着中国市场商品期权上市步伐加快我们可以发现其大多数都是美式期权。
　　由于美式期权在到期前任何一个交易都可进行行权这使得其定价的复杂度远大于欧式期权而美式期权上不存在封闭解必须求助于数值计算方式大多数情况我们通过求一个可行的近似解逼近来求解。目前豆粕、白糖、玉米、棉花、橡胶的商品期权都是美式期权我们将分别对常见的用于美式期权定价的 BAW 模型和 CRR 模型进行简单介绍。
　　BAW模型
　　BAW模型是Barone—Adesi 和 Whaley 提出的。BAW 模型是基于 Macmillan 模型来进行定价的。BAW 主要将美式期权定价部分分解成两块一部分是欧式期权定价即通过 BS 模型进行定价另一部分是由于美式期权可以提前行权而需要增付的期权金即可以看做 BS 的直接推广。在不支付红利的情形下美式看涨期权一般情况是不会被进行提前行权提前行权将失去时间价值而支付红利情况下期权本身无法像标的资产分到红利持续持有并不有利于买方所以在此情形下美式看涨期权和欧式看涨期权应具有相同价格可以通过 BS 模型进行定价。而美式看跌期权在标的资产价格低位的情况下则会有可能被提早实施行权所以美式看跌期权的价格一般情况下总是高于或等于相对应欧式看跌期权的价格。
　　美式看跌期权定价模型

　　CRR模型
　　CRR模型是由 CoxRoss 和 Rubinstein 提出的最初是一种 BS 期权定价模型的简化推导方式但后期多用于美式期权定价。二叉树模型是树状模型的其中一类是对连续模型的离散化逼近在有限维的空间里寻找对真实解的近似。二叉树的基本思想是在风险中性的条件下将期权价格的连续时间随机过程离散化再利用离散节点所形成的价格树状路径反向求出期权的价值对于美式期权由于可以提前行权每一节点上期权的理论价格应为期权行权收益和贴现计算出的期权价格两者较大者。

　　CRR 与 BAW 特性及对比
　　BAW 特性
　　BAW 长期定价偏高

　　可以发现 BAW 在看涨期权上面定价一直处于偏高状态看跌期权上面短期偏低长期偏高。
　　CRR 特性
　　CRR 收敛性

　　二叉树定价方式随着步数增加计算结果趋于收敛状态在此我们进行了步数为100 的平价看跌期权模拟。
　　CRR 步长越多精度越高

　　这里我们以 CRR 模拟步数 10000 步为基准可以发现 CRR 精度只与步长有关当步长达到 1000 时候误差可以控制在十分位上面且 CRR 定价在长期上面的误差度小于短期的。
　　CRR 与 BAW 对比
　　通过对比可以发现CRR 到期日较短的定价BAW 的精度比 CRR 的精度更高。美式看跌期权长期定价CRR 的精度高于 BAW 的。但是在计算速度上BAW 比 CRR有明显优势BAW 基本用时在 0.0010.003 秒而 1000 步二叉树用时则需要 0.5 秒左右。

　　在实际运用当中定价更多的是被做市商等报价方所运用在报价时他们也有更多的模型可以进行选择从而在计算精度上和速度之间选择到最优点而对于投资者而言更多的关注则在隐含波动率方面通过隐含波动率来辅助其交易。

美式期权定价中的BAW和CRR模型

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