如何理解 Black-Scholes 期权定价模型？

如何理解Black-Scholes期权定价模型？能否给出一个简单易懂、生动形象的解答？

期权匿名回答 · 2021-8-19 09:01:27

你们上面的回答似乎并不简单易懂、生动形象啊
我来装逼吧

通指的BS是那个
C=S·N(d1)-X·exp(-r·T)·N(d2)

当然了，这已经不是原生那一款，但不重要，都用它
期权就先说call吧
假如call此时此刻立刻到期，call的价值
C=S-X

但是因为S这个现货价格和X这个未来的交割价格在C有意义的时候通常不是一个时间，哪怕只差一秒所以时间上没有对齐，为了对齐，要么把X贴现，要么把S算未来价值，考虑到你要的C是现值，所以就把X贴现，于是
C=S-X =》 C=S-X·exp(-r·T)
（e-rt）不用解释吧？是贴现价值

但到了这里又有一个新问题，我们不能保证时间对齐的情况下标的价格不变，换句说话，标的价格是波动的，能不能行权是不一定的，于是在风险中性概率的假设下（也可以理解为为了得出一个结论加了一个条件），假如价格服从某种分布（这个分布在BS的世界里是正态的），所以引入N这个概率概念，来评估到任何一个价格的概率，折射到X上就是从当前S到未来X的概率，于是乘了个N(d2)
可以这么理解，假设世界就两种情况，好的和坏的，而且是均匀的那么N（世界）就是0.5，但是价格不是均匀的，而是好像一个钟一样的分布，所以是s和x这两个价格距离概念折射到钟型的结果，随便找了个图，在S附近的概率是最高的，因为是当前价格，离得越远概率越低，那个N(d2)就越小，

那么X·exp(-r·T)在考虑能达到X执行价格变成实值的表达就成了考虑概率后的X·exp(-r·T)·N(d2)，
到此为止，公示变成了
C=S-X·exp(-r·T) =》 C=S-X·exp(-r·T)·N(d2)

但是考虑到我们算了未来价格到达X的概率，其实S这个现货价格（当前的这个价格）它也会变，基本上还是上面那个图的意思，他会离开S多远要考虑进来，这里是N(d1)，也就是delta，通常指代期权价格和现货价格的变动关系，考虑概率后S变成S·N(d1)

所以 C=S-X·exp(-r·T)·N(d2) =》 C=S·N(d1)-X·exp(-r·T)·N(d2)
d是个距离概念
加个N，就是正态分布下的概率概念
装逼结束，就这么简单，完全不用扯动态对冲，不用扯随机微积分伊藤引理，最白话的简单bs解释，看完这么简洁优美的解释，我都觉得吧，你应该点赞，别违心。

期权匿名回答 · 2021-8-19 08:59:20

BS公式推了4+次，每次都是从动态对冲说起，这次认真写一个完整版的推导理解

对BS模型的理解，要从Self-Financing 动态对冲的角度来看才最为简单易懂生动形象，因为期权的基础功能就是风险管理，作为期权的sell side而言动态对冲才是永恒旋律和本源。
除此之外，还有其他的推导过程包括对CRR 树取极限，用代换法/Fourier Series求热传导PDE等，也可以用Brute Force Integration。
这里我写一个的推导过程，并用注释解释的方法让它对初学者简单易懂，对金融背景的人来说，相对生动形象。
内容包括：

理解Self Financing 动态对冲（已完成）

利用(1)从GBM 到 BS differential Equation 推导（已完成）

我们如何从Greeks 来理解和记忆BS differential Equation ？（已完成）

如何理解证明中所需的：？（已完成）

如何理解证明中的： Ito&#39;s Lemma 以及加一个高盛面试题（已完成）

面试时BS微分方程考试举例？（done）

理解Self Financing 动态对冲

我们的起始资金是0. 对Self Financing 的理解就是，借钱存钱，卖出期权（衍生品）和交易股票（基础资产）这三件事情让我们在整个流程中始终不亏不赚。
在时间t时，我们交易账户上的头寸值如下（卖出期权，并交易股票来对冲）：

同时我们银行账户上的现金值是

在 time t+dt，交易账户上的头寸值因为期权价格和股票价格发生了改变，
那么t+dt 时刻，我们账户的净收益或者损失如下表示:

t+dt 时刻账户头寸值减去 t时刻的账户头寸值加上银行账户的利息（也可能是你给银行的）

我们要求的是这个 p 在任何微小的时间段里都是0，这意味着我们的对冲过程完美的复刻了期权，也意味着，我们在每个微小的时间段挣的钱刚刚覆盖给银行的利息（或者反过来）so sad。
从GBM 到 BS differential Equation 推导

这里我们对于任意t，我们基于下面两个式子
Geometric Brownian Motion
, By Ito&#39;s Lemma（后面会证明）
将第一个式子代入第二个式子我们写出一个新的：

根据如下规则（后面会证明），
我们有：

记得通过self financing 动态规则对冲我们有：

将上面的新的代入等式，We have:

Finally we could solve by:

BS differential Equation
for is the price of any European type derivative at time t.

如何从Greeks 来理解 BS differential Equation ？

这里的 f是欧式(European Style)期权的价格。

我们来看几种情况:
如果 gamma and delta neutral.
我们有：
f在这里是 risk - free bond，随着时间获得无风险收益。
记得我们在二叉树里面，我们只需要delta-hedging即可就可以risk-free，但是当我们到了连续的情况我们需要delta + gamma hedging。
如果 gamma and theta neutral.
我们有：
f在这里是c份股票，也就是说如果你不喜欢theta(time decay) and gamma (curvature accelerating),你只需要交易股票。
curvature accelerating什么含义？就是说你的股票价格涨1%，组合涨1%，再涨1%，组合涨的更多比如2%。
time decay呢？就是说如果你只买股票，仅仅是时间变动，你的股票价值是不会变化的，股票的theta是0。
记得我们在二叉树里面，我们只需要delta-hedging即可就可以risk-free，但是当我们到了连续的情况我们需要delta + gamma hedging。

如何理解    Stochastic Calculus rules

这两个性质，在推导中使用，这里给一个解释和证明。

我们知道是服从正态分布的，那么为什么他的平方会趋近于一个常数？（而不是卡方？）

理由是，他的均值是dt，方差在dt趋近于0是很快趋近于0.

  rapidly.

我们知道是正态分布的，为什么会等价于0？
理由是，他的均值是0，方差在dt趋近于0是很快趋近于0.

  rapidly.

证明：
(1)

(2)

我们同时要证明，

Then
Then
也会按照至少的速度收敛到0

如何理解 Ito&#39;s Lemma？

正常的全微分
s - >
伊藤引理下的全微分：

为什么这里没有被忽略掉？
一个直觉上的解释是
因为正常的全微分下，我们的dt 和 ds都是默认的极小量，其高阶极小量忽略，而这里：

我们不可以忽略。
更数学的例子和解释放这个回答里：
伊藤引理 (Ito&#39;s lemma) 在金融中都主要应用在哪些方面？

相关面试/练习题解析

Q1:
考BS微分方程方面，最基础的是给你一系列参数，可以计算投资组合的价值。
例题：
股票价格$500. 波动率40%, the risk-free rate is at 5%. 投资组合delta  0.1, gamma 0.06 ,theta -800. 在股票无红利派发的情况下给出投资组合的价格。

>> (-800+0.5*0.06*(0.4^2)*(500^2)+0.05*0.1*500)/0.05
ans =
8050

复制代码

Q2:

先给一些背景知识在这里：
什么是dollar to dollar exposure?
你的投资组合与你的购买的基础资产价格变化比是1. 股票价格增加1，你的组合价值也增加1.
我们如何用期权构造一个dollar to dollar exposure呢？
首先根据上面的公式我们需要抹除gamma的影响，所以我们可以用Deep in the money call option(看payoff 图，你的strike price离股票现在价格太远(太小)，使得变动delta几乎是1)。
但是买deep in the money call 和股票还是有不同，这个不同就在Theta上，他是time decay的。
例题：
假设你通过购买Google股票获得了dollar to dollar 的Google股票exposure。 θ是多少？
回答：0，股票的theta 是0.
你的朋友通过某些衍生工具以Google股票的1/2的价格获得了相同的敞口。他的θ是多少？
假设Google的价格为500美元，波动率= 40％，无风险利率为3％。

注意，our position is losing value at the rate of 7.5$ a year.
你能用Google价格的1/4进行构造相同的dollar to dollar exposure吗？如何实现？
you could do deep in the money call of the call option.

期权匿名回答 · 2021-8-19 08:59:25

B-S公式其实已经有了好几种解释或者说证明方法。看了其他答主的答案，我认为对于一名初接触金融，没有深厚数学背景的人来说，其实不是那么便于理解。本人非数学专业，所以对于微分方程 (也就是最常见的B-S公式的证明法）认为不是便于大众理解，所以，此回答是基于金融常识理解加上一些最基本的积分和概率知识就能理解公式的一种尝试解释。
正文
大家都知道现在的钱与未来的钱价值是不同的。一般来说，现在的钱比未来的值钱。所以，如果你现在有1000块钱，在一年以后，你这些钱至少值你将这些钱放入银行定期存个一年的钱，即1000*（1+r)，其中r为银行的一年存款利率。其实我们把这件再简单不过的事反过来看，将银行去存钱当作是一份金融产品，这份金融产品在1年以后你将获得1000*（1+r）元，那么这份金融产品现在的价值（也就是你要花多少钱去买这份东西）是多少呢？很显然，是1000元。这也就引出了我们推导B-S公式的基础：金融产品的本质为预期，承诺，兑现未来现金流。即，金融产品（此指欧式看涨期权）的价值是将来我可以获得的钱的期望值的现值。

就下来问题就转化为两点：第一：未来我可以拿到的钱的期望值是多少。第二：我们怎么进行贴现。
我们先来解决比较容易说明的问题—第二个问题：如何贴现。
相信所有学金融的人都应该学过连续复利，但本位是希望初学者也能看懂，所以知道何为连续复利的可直接跳过本段。就上面所说，1000元在1年后应该值1000*（1+r）元，而这情况是一年结一次利息的。那么我们一年结2次利息，那么1000块钱的1年后终止应该为1000*（1+r/2）&#39;2（&#39;2表示平方-_-，pad手打，打不了平方见谅）。这样理解的话，一年结m次息，那一年后的价值就是1000*（1+r/m）&#39;m元，那连续复利即当m趋于无穷时，也就是每时每刻都在结利息，那1000块的价值应为1000e&#39;r元。这样我们就得出如何贴现了：对于未来T时刻我们能获得的A元，那么这笔钱现在t时刻的价值为A*e&#39;-（r（T-t））元

先写这点，有人看了再补充～
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虽然看得人不多，但既然有人看了认为有点意思，那就把这事讲完吧。
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接着上回，既然知道了如何贴现，那么我们就来着手第二个问题：我们对于这份金融产品（也就是欧式看涨期权）的未来期望值是多少。
这个问题其实也很简单，任何一个随机事件，通俗点说就是一件事情A，在概率论或者在高中知识我们就已经知道了他的期望值我们记为E（A）。所以，接着我们上面说的金融产品的价格为该产品在未来我们能获得的钱的期望值的现值。如果我们记欧式看涨期权的价格为C，那么：
其中，r为连续复利的无风险利率，易于理解点就是余额宝现在不是每天结钱嘛，就是那个利率
T为期权的到期时刻，t为期权未到期前的任一时刻，所以T-t就是一段时间，一般称为到期日
如果就这么结束了，那么真像个江湖骗子了，这也浪费我这么久时间打了这么铺垫了，所以接下来就是精华中的精华啊——这个E（C）到底是什么。
接下来就要用到一些概率统计知识了，不过我想看这文章的至少是大学以上水平了，只要学过基本的概率统计知识就行了，如果忘了也不要紧，稍微有个映像，就能懂是怎么回事了。
对于大多数金融公式来说，假定都是很严格的，如CAPM，ATP（这里就不做展开，有兴趣可以自己了解下，我有时间再来谈谈这个的看法），B-S公式也不例外。如果你在百度里直接搜B-S公式，百科就直接会告诉你有哪些假设了，我们就用假设的第一条“股票价格随机波动并服从对数正态分布”。如果要问为什么，只能说第一：大多数真实存在的随机事件的分布都只是大致估计的，就像我们平时考试的成绩服从正太分布一样，并不是说我们成绩的每一个值都在正态分布的图像上，所以那些金融学家研究了很久，最终认为股票价格是最接近对数正态分布的。所以说等哪一天你发现股票的价格服从正态分布，B-S公式就会变样了。第二：这是我个人理解后的看法，由于价格是随着时间在连续变动的。我们想想为什么抛硬币的正反面概率都为0.5，因为概率的定义就是实验次数趋于无穷时的频率，有人抛了很多次，最后发现正反发生的次数一样，所以就是0.5了。而如果我们要通过无数次的实验来验证股票在任一一个时刻的概率是服从一个分布的话是不可能的，如果照抛硬币那个实验来操作，那就是要不停地重复一个时刻，然后看不同情况下股票价格的分布，而这种方式除非能有一台时光机，我们先记下今天这个时刻的股价，再倒回过去变动下市场信息再记录一个股价，重复多次才能验证。所以那些数学比较好的金融学家，就会发现，如果用股票价格取他的对数收益率，即 ln，利用对数函数的性质就能构造出差项，即ln=ln+ln+……+ln,这样的话一个时间点的事件就可以被分割成一个时间段的事件，而这时间段的事件的数据都是可知的，这样股票价格就可以用历史数据来回归，而根据大数定律，当T趋于无穷时，每一项都应该服从正太分布，并且在均衡的市场，或者说有效市场（参看有效市场假说），各项之间都是独立的，所以独立正太分布的和为正太分布，即ln服从正太分布。好了这时请各位打开百度，输入对数正太分布，你就会发现是服从正太分布的了。最后再加个小问题。上面已经说了每一项都是独立同分布，那么假设每一项的均值为μ，方差为，那么对于从t时刻到T时刻的均值和方差就是（T-t）μ和（T-t）*了。（敏感点的话是不是发现B-S公式里面有些东西已经出现了^-^）
详细证明和实验佐证请参看：http://www.doc88.com/p-7985483960592.html
好了，这段如果理解了的话，那我们就可以说完成了75%的工作量了，我们再来完成到数学计算前的最后的5%。
大家刚刚有没有在百科输入对数正态分布呢？如果没有的话现在打开吧，那么复杂的一个公式不可能凭空出现是吧。请大家把对数正太分布的概率密度函数抄下来，请注意，别的都不换，我们把那里面的均值和方差换成我们上面的那个。好，运用最简单的概率论和金融知识的时候到了！我们现在不是要求E（C）嘛，别和我说你忘了E（C）是啥，忘了得往前再看下=0=。概率论告诉我们期望是概率密度和函数值的乘积，也就是E= f *f吧当然a，b分别为正负无穷。好嘞，还记得欧式期权是什么嘛，能点进来应该都会吧，他在期末的收益是max{-K，0}吧（K为期权的交割价格），这不就是上面那个式子的 f 嘛，还记得刚刚叫你抄的概率密度函数嘛，不就是剩下的另一半嘛，理解不了的话这么说吧，如果我和你说服从正态分布，你不就抄个正太分布。这样我们E（C）就有了吧。

做点说明：1 积分上下限为正负无穷；2上面本来说的是均值为（T-t）μ，但其实最后我们会发现与均值无关，所以为了计算简便，我们用μ代替（T-t）μ；3 积分里面的应该为，由于打公式打错了再来次太麻烦了所以就不改了。
如果你被这个公式吓到了的话那我们总结下，我们的目标是不是算欧式看涨期权的价格C内？
根据一开始所说

现在，我们E（C）有了吧，贴现也都有了吧，金融学理念基本就到此结束了，找个数学系的朋友吧，让他帮你把这积分化为B-S公式我相信30分钟就能搞定了。
当然如果你没被吓到，那么大胆的算下去吧，这个积分不难算，但是要想凑出B-S公式的那个形状，还需要些金融理念的小技巧~但是我们已经站在了巨人的肩膀上了，凑一凑不难的。
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写了不少了，虽然只有一个朋友有过留言，但是我还是想把这个想法写下来。我认为到这步为止，应该对B-S公式是怎么回事有了了解了，但是剩下的20%的计算过程其实也很关键。由于篇幅原因加上公式不方便输入我就不会再写下去了。这是我第一次在知乎上写东西，而且写得这么长，自己都吓一跳啊。希望本文能对各位初学期权定价的朋友能有所帮助。本文纯属手打，若有觉得雷同或者不正确的地方请各位指出。

期权匿名回答 · 2021-8-19 08:59:55

这个问题关注很久了，想着能不能有一天以一个交易员的视角去回答这个问题。
终于给我等到这一天了！（激动！）
这么多大佬回答这个问题，要是我也跟着答一个，那才显得我……是吧？
来，不废话，让我以一个期权交易员的角度和大家说说怎么理解这个BSM公式。
（接下来括号内的内容是重点，请好好留意。）
一开始，我们假设有这么一个资产组合：

（这个假设是万恶之源：它告诉交易员，衍生品是可以通过标的资产进行复制的！怎么复制？使得整个组合delta中性来复制！）
然后，这个资产组合瞬时变化如下：

泰勒展开一下：

（这个展开式告诉交易员，你对手上的期权空头进行delta对冲之后，由于期权的payoff是凸的，你不可能通过线性的S做到完全复制，复制剩下的就是你要冒的风险（同时也是盈利点））
然后BSM祖师爷告诉我们，这个对冲后的资产组合，正常情况下，你只能获得无风险收益：

（作为交易员，天天盯着盘面看你告诉我最后只有无风险收益？卧槽那还不如放余额宝？）
接下来就有那个著名的PDE啦。（解方程我不懂的，不要问我。）
（所以，整个BSM公式对于交易员的意义就在于：它告诉期权交易员，假如你找到一个通过标的资产复制衍生品的方法，使得复制成本（折现）< 衍生品权利金，那么你就是盈利的。）
有些人会觉得BSM公式的意义就在于套个参数算个结果美滋滋。
有些人却会用它来赚钱。
理论只是一个工具，发挥怎样的功效，还是看使用的人。

期权匿名回答 · 2021-8-19 09:00:54

要区分BS Framework和BS Formula。重要的是这个Framework而不是定价公式本身。

事实上，课本上的内容与实际应用是完全脱节的。期权的价格并不是由BS Formula决定的，而是在满足无套利的情况下由供需决定（当然中央的决定权，唔，vol surface的形状也是很重要的）。
简而言之，BS Formula只是用来计算implied vol的，是个报价公式。
（随手一黑，很多期权交易员其实并不能完整写出BS Formula。）

BS最大的贡献其实是提供了另外一种对冲的思路——Greeks（B/S/M：做了一点微小的工作，谢谢大家）。没有BS Framework计算Greeks之前，交易员没有一种可以科学地计算风险敞口的方法，只能靠猜（heuristics是一种比较装逼的说法）；或者用put-call parity，把option合成为forward然后再对冲掉。有了Greeks，交易员可以更好地对风险敞口进行分类。

期权匿名回答 · 2021-8-19 09:01:56

最近在看CFA L2，好好把BS model研究了一下，现在说说我的理解。

按国外教材的理解：
N(d1)是在风险中性条件下，按股票计价时得到的期权被执行的可能性，N(d2)是在风险中性条件下，按货币计价时得到的期权被执行的可能性。N(d1)d1也就是delta，随着S的增大而增大。
期权的价值是货币计价，现在假设是元。所以，第一项可以理解为到期时所能得到的货币价值，第二项可以理解为到期时所要付出的货币价值。所以期权的价值就是我们得到的价值减去付出的价值。

关于第二项，到期时付出的是Cash，单位是货币（元），货币计价是 K元。
到期时付出的价值（折现）应该是执行期权时付出的价值加上不执行期权时付出的价值，即 Ke^(-rt) × N(d2) + 0×（1-N(d2)） = Ke^(-rt) × N(d2)。但由于不执行期权时所付出的价值为0，所以到期时付出的价值也就等于到期时执行期权所付出的货币价值。

关于第一项，到期时得到的是1份股票，计价单位是股票，转换成货币计价是1×S元。
到期时如果执行期权（S>K)，则会把股票转换成货币，这样得到的货币价值是1×S×N(d1) , 如果不执行期权(S<K)，则不会把股票转换成货币，这样得到的货币价值是1×0×（1-N(d1)），加起来就是S×N(d1) ，也就是到期时执行期权所得到的货币价值。（假设股票计价转换成货币计价的成本是K元，只有当S>K时，我才会选择把股票转换成货币，这时股票计价是1份股票，转换成货币计价得到S元；如果股价太低，低于K，把股票转换成货币是不划算的，所以会选择不转换成货币，这时股票计价仍是1份股票，但货币计价是0元。和期权out of money时同理，可以把1份“股票”理解成1份期权，“货币计价转换”理解成期权的执行，只有S>K,期权才会执行，即进行货币计价转换，期权有价值，货币计价转换后有价值。否则不会执行期权，即不进行货币计价转换，期权价值为0，货币计价为0）

因为不执行期权时，第一项和第二项的货币价值都是0。所以Call的价值就等于当期权执行时，所得到的货币价值减去所付出的货币价值，即

或者，根据CFA网课中老师的理解加上我自己的理解（有点不严谨，但可以大致参考理解下）

类比的是Forward的定价，P（forward）= S - Ke^(-rt)。Forward到期时是一定会执行，但期权不一定。

所以
Nd2描述的是期权执行的概率。
Nd1也就是Delta，描述的是股价变动对期权价值的影响。如果股价上涨1块钱，期权价值的上涨幅度是1×N(d1) 。

关于第一项，我们计算的是期权的价值，而不是股票的价值。
如果计算的是股票价值，到期时价格为S，我们能得到的价值就是S（理解成S-0）。
但现在计算的是期权价值，应乘以N(d1) ，也就是S×N(d1) （理解成（S-0）×N（d1）），即在Forward公式第一项乘以N(d1) 。

关于第二项，Ke^(-rt) 乘以 N(d2) 就是当期权执行时付出的期权价值，即在Forward公式第二项乘以N(d2) 。

所以Call的价值就等于当期权执行时，所得到的期权价值减去所付出的期权价值。

学了几年BS model，今年终于好好研究了一下，如果有什么错误，欢迎指正~~

期权匿名回答 · 2021-8-19 09:02:34

总体说来：Black-Scholes期权定价模型是以无风险利率为折现率，求期权收益在风险中性测度的折现值，即。但更重要的，是提供了一种完全由基础资产和无风险利率构成的资产组合，可以完全复制期权价格的变动。

我记得当我第一次看到B-S计算公式的时候，我内心为之一振，觉得发现了赚钱的至宝。只要输入一些参数，就能够算出理论期权的价格，于是对于市场上所有的期权，只要价格不等于理论价格，我都可以进行买卖操作赚钱。当时看到后立马回家编了一个计算期权理论价格的程序，等着某天靠着这个公式发家致富。

后来查资料看这个计算公式怎么推导出来的时候，我差点一口老血吐了出来。粗略而言，B-S期权定价模型不过就是求一个均值，即。当时我的发财梦就破碎了。坑爹呢不是！谁会按照均值给东西定价啊？举个例子，我跟你玩抛硬币游戏，头朝上我给你一块，不然不给钱。难道我就收你五角就跟你赌？长期来看我一分钱不挣不说，还有机会输得血本无归。精算里的破产理论更是证明了如果按照均值收取保费，保险公司以概率1破产啊！亏本买卖谁要做啊？

不过后来依然是细细看了B-S模型的推导，发现它不仅仅只给了期权定价的一个均值，更重要的，是提供了由基础资产与无风险利率资产构成的，完全复制期权价格的变动的资产组合。在这个情况下，期权价格的稍微偏离都可以造成套利的机会，即无风险的收益。举例而言，在二叉树模型下，股票的价格只有两种可能的变化：要么上涨到uS，要么下跌到dS。此时如果可以任意租借资金与买卖股票，期权的价格必须是一个固定的值。否则，就可以以合适的资金租借与股票买卖来完全模拟期权的风险。只要期权的价格与这个组合资产的价格不同，我们就可以卖高买低以获得无风险的利润。这个时候，期权的价格就必须等于其“风险中性”意义下的均值。

所以啊，下次如果你看到身边第一次见B-S计算公式的人尖叫着觉得自己要发家致富的时候，请拍拍他的肩，温柔的告诉他：“醒醒吧。”

（B-S理论推导可见：Black-Scholes 模型中 d1，d2 是怎么得到的？如何理解 Black-Scholes 模型？ - 姚岑卓的回答）

期权匿名回答 · 2021-8-19 09:03:34

纪录片《兆亿赌注》详细介绍了期权定价模型的形成过程。
《兆亿赌注》（Trillion Dollar Bet）是一部由美国著名电视台PBS制作的纪录片（下载链接见文章底部），主要讲述了美国长期资本管理公司（Long Term Capital Management,LTCM）由无限风光走向黯然破产的故事，反思了金融过度数学化的弊端和不足。

金融投资到底是一门讲究实证主义的自然科学还是讲究经验主义的人文科学，这是一个历来争论不休的话题。美国长期资本管理公司便是试图将金融投资完全科学化的一个大胆尝试，刚开始非常成功，最后却由于“黑天鹅”事件而惨败破产。

美国长期资本管理公司的创始合伙人都是大名鼎鼎的人物，其中就有因为发明Black-Scholes-Merton模型（简称：BSM模型）而获得诺贝尔奖的Myron Scholes和Bob Merton两个人。Black-Scholes-Merton模型的创立让两名学者名利双收，但他们试图将自己的学术成果完全应用于金融市场时，却遭遇了滑铁卢。金融市场瞬息万变，当科学主义自信能够统治金融领域时，人类的极端事件和非理性事件却直接抽走了科学结论赖以生效的基本假设和前提。

一、期权定价的圣杯：Black-Scholes-Merton模型
自从资本主义诞生以来，就有一条金科玉律：如果你想赚钱，你就得承担风险。也就是所谓的高风险高收益，低风险低收益。
在如何面对风险这一问题时，有两派针锋相对的观点。一些成功的老派交易员认为他们的成功源于自己过人的判断分析、经验甚至是直觉，价格走势是可以被预测的。而学院派金融学家认为交易员的成功只是运气而已，就像投硬币一样，价格完全是随机而不可预测的。人们越是想预测价格，价格越是变得不可预测。为此他们还做了许多相关的实验，比如他们蒙上眼睛用飞镖投向写满股票代码的黑板来挑选股票，结果这些股票组合的收益超越了顶尖交易员的投资业绩。
严谨的科学是非常讨厌不确定性的，他们试图用更加量化的方式来认识风险，继而帮助投资者控制风险，于是金融学家们前仆后继的开启了量化风险的伟大征程。
20世纪初，法国一位不知名的经济学学生 Louis Bachelier已经开始研究价格的随机问题，写了一篇博士论文《投机论》（The Theory of Speculation）。他认为市场的价格是随机而无法预测的，但他发明了一个控制风险的办法，这个办法就是期权（option）。期权类似于保险，如果人们担忧价格下跌给自己带来损失，他可以购买一份保险，这份保险允许他在价格下跌时以某一约定价格卖出去，这就是看跌期权。如果人们认为资产的价格会上涨，他也可以购买一份保险，这份保险允许他在未来价格上涨时以某一约定价格买入资产，这就是看涨期权。
Louis Bachelier提出了期权的概念，并试图给期权定价但没有成功。期权的定价涉及到市场参与者每个人的信心水平，而试图量化人的主观状态是一个非常困难的事情。许多金融学家试图攻克这一难题都没有成功，如何给期权定价成为了学术上的圣杯（holy grail）。

（Fischer Black）

（Myron Sholes）
这个问题的关键部分被经济学家Fischer Black和Myron Sholes解决。他们发现在给期权定价时，影响期权价格的主要因素股票价格、波动率、执行价格、合约期限都是可以量化的，唯独期权本身的风险很难量化。这是问题的难点所在，也是关键的突破点。两位经济学家冥思苦想下灵感迸发，他们认为正面进攻不行，就不妨逆向迂回，既然很难去量化期权的风险，那么可以想办法让它在定价中变得无关紧要，他们想出的方法“Delta对冲”成为当代经济学最重要的发明之一。他们发现如果将股票和一定数量的期权组合在一起时（股票/期权=Delta），股票价格的波动消失了，通过对冲后的组合只能取得无风险收益，那么期权的价值就可以构建股票和无风险资本的资产组合复制出来，期权价格就只跟股票价格、波动率、执行价格、合约期限和无风险利率相关了，成功的消除了期权自身风险这一变量。

（Delta对冲）
正如衍生品专家学者约翰·赫尔（John C.Hull）在其著作Option,Futures,and other Derivatives中所描述的一样：
我们之所以可以建立无风险交易组合是由于股票价格与期权价格均受同一种不确定性的影响：股票价格的变动。在任意一段时间内，衍生产品的价格与股票价格有完美的相关性；在建立了一个适当的股票与期权的组合后，由股票所带来的盈亏总是可以抵消由期权带来的盈亏。这样一来，交易组合在一个短时间内的价值变化也就成为已知而没有不确定性。

（Robert Merton）
这种巧妙的构思是非常具有开创性的，但如果要运用于市场还存在一个障碍，即他们假设市场始终处于均衡状态，显然这是不现实的。市场总是在不断动态变化的，供需关系也不会一直处于均衡状态，他们需要不间断的进行动态对冲（dynamic hedging），以保持组合里股票和期权价值波动的互相抵消。而这个问题被另一名天才经济学家Robert Merton解决了。

他采用了日本数学家Kiyosi Ito研究导弹轨迹的微分理论，用连续时间（continuous time）的概念，更加精密的模拟出了动态对冲。至此，期权定价这座圣杯终于被找到，他们于1973年公开了期权定价的公式，学术界被这个公式的大胆和简洁而震撼了。

（BSM期权定价公式）
二、美国长期资产管理公司的兴衰
随着BSM模型的大规模应用，投资者可以利用衍生工具对不想要的风险进行对冲，资本主义市场关于收益和风险的共生关系似乎被破解了，投资可以只剩下收益，而风险全部可以被对冲掉。量化模型受到金融市场的热力追捧，传统的投资智慧被扫入历史的“垃圾桶”，在这种历史背景下美国长期资本管理公司(LTCM)于1994年成立了。

（LTCM创始人团队）
美国长期资本管理公司的创始人团队可谓是世纪梦之队，其中有美联储的副主席和所罗门兄弟投资公司最具赚钱能力的团队，当然还有发明BSM模型的Scholes和Merton两个人。强大的创始人团队让公司的募资变得异常简单，虽然投资门槛是1000万美元，且三年内不能退出，但投资机构还是争相进入并以此为荣，他们很快就募集了30亿美元资金。该公司把办公地点设立在远离喧嚣的偏僻之地，也对自己的投资策略保持绝密，不对公众甚至也不对投资人公开。成立后，这家公司似乎变成了一架赚钱机器（money machine），前三年的业绩非常骄人，分别达到了20%、43%、41%的增长率（还不含给管理团队的管理费用和佣金）。Scholes和Merton似乎看到了金融科学在现实金融世界取得了胜利，他们沉醉在巨大的成功当中。1997年的亚洲金融危机席卷亚洲，金融市场一片恐慌，风险资产遭到抛售，这个时候很多交易员不再信任模型输出的结果，而是更多的依赖直觉和经验来交易。然而LTCM依然坚信模型的可靠性，认为根据Black-Scholes-Merton模型做的风险对冲能够让他们平安度过危机。那个时候，他们资产对权益的比例已经达到了30：1，负债总规模超过了1000亿美元。但在金融世界里，有时候你越不希望发生的事情往往会发生。让全世界都感到意外和震惊的是，1998年俄罗斯突然宣布对其债务违约。这一史无前例的违约事件彻底让LTCM措手不及，因为模型只考虑了正态分布的概率事件，对于这种黑天鹅事件根本无法预测和处理。这个时候LTCM想平仓根本找不到了交易对手，由于超高的财务杠杆，任何轻微的损失都会被急速放大，虽然模型设定的Var值是5000万美元每天，但他们开始每天损失1亿美元以上，逐渐扩大到5亿美元，直到最终走向破产边缘，等待美联储和大银行的紧急援助。
三、启示
正如纪录片中一位美联储官员所言：金融市场并不是由数学驱动的，而是由人驱动的，而人是最不可预测的变量，我们至今没有一个系统的研究人行为和动机的普适理论，这一点是数学家们所忽略掉的。Black-Scholes-Merton模型可以是管理风险的一个非常有用的工具，但不是一个可以预测未来的水晶球。金融投资更像是自然科学和人文科学的复合体，除了需要有用的科学工具外，人的经验、判断力和直觉也是无可替代的。

Elegance is for tailors, don’t believe in something because it’s a beautiful formula.
——Albert Einstein

Tips：
该纪录片片源稀缺，找寻起来非常耗费精力，虽有在线视频，但无字幕。感兴趣的朋友可以点击关注公众号“考胜客”，回复“兆亿赌注”，轻松获取纪录片及中英文字母资源下载。
Writer
Chris Huang
Level Ⅲ candidate in CFA program/ life-long learner/writer

公众号ID：kaoshengke
考胜客CFA

用“深度思考”的显微镜对准CFA的知识切片，寻找那些细微而精妙的“脉络”，以求得到知识的彻底理解和轻松记忆。
好方法是考试取胜的法宝

期权匿名回答 · 2021-8-19 09:04:14

一句话概括，期权的价格就是对未来无数种期权价值的平均数求折现。
而BS模型就是描述未来期权的价值有几种可能性，然后加权平均，得到一个未来期权的平均价值，对这个平均数用无风险收益率进行折现，结果就是期权的理论价格！
【预备知识】
很多朋友在解释的时候忽略了一点，就是BS模型成立的条件，参考某百科，条件如下：

（风险中性时，该利率为折现率）

（所以预期收益就是正态分布的）

（分红会影响股票价值，此时期权价格也会发生变化）

（同2）

（无套利均衡，其实无套利条件下的折现率基本等同于无风险收益率）

（强化第一条）

实际上，这些条件隐含了几个重要的假设。
首先是资产的预期收益可以用正态分布来模拟，那么期权价格的预期变化肯定也和正态分布有关；
其次是在无套利的市场、或者说风险中性的条件下，预期的资产价格可以用无风险收益率折成现值。
【进入正题】
一、从定价原理的角度看BS模型
从原理上看，以看涨期权为例，期权未来的价值要么是St-K，要么是0，两者只取最大值，因此有：
（1）
那么对未来的价值求折现可得：
（2）
而BS模型的期权定价公式为：
（3）
将上式变型可得：
（4）
其中
：折现因子
：期权被执行的概率
：风险中性条件下，股票的预期价格
：风险中性条件下，期权被执行时，股票的预期价格（之所以是分数，因为这是一个条件概率公式，分母为期权被执行的条件）
公式（2）可以视为对公式（4）的解读，这也印证了期权的价格就是未来无数种期权价值平均数的折现。
二、从模型的角度看BS模型
期权定价公式如下：
;

对于，有一个简便的理解方式，它就是在风险中性条件下，期权被执行的概率，换句话说，对一个看涨期权c来说，只有股票价格S大于执行价格K的时候，期权才会被执行，而相应的概率为;
对于，解释却不是那么容易，但是我们把期权定价模型看成一个整体，既，也就是说，期权是一个关于股票价格的函数，我们对当前股价求导，就可以得到，从这个角度上看，它描述了期权价值与当前股价之间的关系。而了解希腊值的朋友都知道，股票价格S和期权价格c之间的一阶变化关系为delta，二阶变化关系为gamma。那么由此我们可以知道，就是delta的变型。（小德塔换了个马甲我就不认识你了？？？？？？）
从这个意义上看，期权的价值取决于两个部分，一是期权与当前股票之间的变化关系，二是期权被执行的概率有多大。
以上！

期权匿名回答 · 2021-8-19 09:05:06

其实你要理解市场完备性的概念：
具体可以参考：
西格玛：深入分析期权二叉树模型
比如在二叉树定价的世界里，由于未来不确定状态只有两个（上涨，下跌），市场中只需要存在两种不完全相关的证券就使得市场是完备的，而我们有三种证券（股票，期权，无风险债券），所以我们可以用三种证券中的任何两种来构造第三种，这是所有完备市场定价方法的本质所在。
其实二叉树理论在整个金融学领域属于离散时间模型，算是对市场中交易的离散进行刻画，同时，我们也知道，离散时间模型的极限就是连续时间模型。这里我们遵循套期保值的思路，对于股票，期权，无风险债券，我们可以用其中任意两种资产构造第三种，遵循这一条件，我们做如下分析：
假设1：标的股票的价格服从几何布朗运动

                                                                         (1)


参数解释：
——————方程的漂移项
  ——————方程的方差项
   ——标准的布朗运动
——————初始值，这里为常数

假设2：无风险债券的价格服从如下过程



这里，为常数，细心的读者可以发现这是一个常微分方程，没有随机项，解出来其实就是连续复利的因子乘数。

假设3：市场无摩擦（无交易成本，无买卖差价bid-ask spread，无抵押，无卖空限制，无税收）
假设4：无违约风险
假设5：市场是完全竞争的
假设我们现在持有一个标准的欧式看涨期权，那么我们知道，期权价格是标的股票价格以及时间的函数，即，我们有如下关系式：

                                                                                                         (2)

虽然此时我们不知道函数的具体表达式，但我们知道，它在上市连续可微的，接下来我们对其应用公式，其实这个公式吧，可以简单理解为包含随机项的泰勒展开：

                                                      (3)
上面式子中关于t的高阶无穷小被省略掉了，且对于，因为本身服从几何布朗运动，代入可得：

                                           (4)

联合(1)，(3)，(4)，经过整理，我们得到：

         (5)

上面只是我们推导出来的期权价格满足的偏微分方程，还记得我们之前所说的套期保值或者是“复制”的思想么？我们可以由任何两种资产去构造第三种资产，那么在这里，我们就用期权和股票去构造无风险资产，因为股票和期权包含相同的随机项，从而我们可以我们构建一个包括一单位期权空头和  单位标的证券多头的组合，另代表该投资组合的价值，则：

                                                                                                             (6)

在时间后，该投资组合的价值变化为:

                                                                                             (7)

把公式(1)，(5) 代入公式(7)可得：

                                                                     (8)

由于上式中不含随机项，该组合在一个小的时间段内的变化是确定的，在无套利定价的原则下，这个小时段的瞬时收益率一定等于无风险收益率：

                                                                                                               (9)

把公式 (6)和公式 (8)代入 (9)，可得：

化简可得：

                                                               (10)

至此，我们消掉了随机项，表达式(10)就是著名的Black-Scholes-Merton微分方程。针对以股票为标的物的不同的衍生证券，该方程有不同的边界条件，解带边界条件的Black-Scholes-Merton微分方程就得到衍生证券的价格。

注：

1）证券市场是动态完备的，即无风险债券可以由股票和期权构造。
2）因为我们是用  单位标的多头构造组合，  时刻都在变化，因此我们的“复制”       过程或者是套期保值过程也要时时刻刻调整。
3）方程（10）不包含  。

由欧式期权的到期日支付得边界条件:



利用Feynman-Kac公式，通过解带边界条件(10)的偏微分方程(11)，我们得到Black-Scholes期权定价公式：

根据平价公式，我们也可以得到看跌期权的价格：


偏微分方程求解请参考文献 Churchill. R. V. Fourier Series andBoundary Value Problems, 2ndedition.  New York:McGraw-Hill,1963

期权匿名回答 · 2021-8-19 09:06:03

作为一个小白尝试回答一下。
从地位上来看BS公式奠定了现代金融工程学的基础，可以说没有BS公式就没有金融工程，衍生品定价的模型都会缺少其基础核心从而不复存在。
BS公式其本身还是建立在不存在无风险套利的基本假设以及各种其他假设上。
而无套利的基本假设是建立在时间价值理论上（通俗点说就是由于利率的关系未来的钱没有现在的钱值钱）。
众所周知期权就是你现在先花一笔钱买下在将来某一个时间点以一个执行价格买入或卖出一份标的资产的权利（其中欧式期权只能到期日行权，美式期权可以在到期日来到之前行权，所以从这个角度上来说，在其他条件相同的情况下，美式期权的价值是高于欧式期权的）
拿看涨期权来说，你怕标的资产将来价格涨得飞快，因此你买下一份看涨期权，在未来标的资产价格突破天际的时候以一个相对便宜的价格买入，执行价格和资产价格的差（payoff)就是期权存在的意义，帮你省了一笔钱。然而期权是有风险的，如果标的资产的价格没有涨到高于执行价格，你就不会行权，相当于期权就废了，你不仅没能省下钱，还会因为期权费的关系而净亏一笔钱。
这些是期权基础。
我们现在来构造一个套利模型。买看涨期权，卖看跌期权，买无风险国债，做空标的资产。其中看涨期权看跌期权和无风险国债的到期日是一样的，看涨期权和看跌期权的标的资产也相同，它们执行价格也相同且等于国债的面值。当标的资产的价格大于执行价格时，你行使看涨期权用国债获得的钱买来标的资产还掉，看跌期权不会被行使，当标的资产的价格小于执行价格时，你不行使看涨期权，你的看跌期权被行使亏损payoff,但国债获得的到期本利和大于标的资产价格的部分正好能够cover掉这笔亏损的payoff。因此无论标的资产在未来的价格怎么变化，到期日时你的现金流始终为0，而t0时刻你的现金流为 P(卖出的看跌期权）-C（买看涨期权）-K(面值为期权执行价格的国债的价格）+S(做空标的资产获得的钱）。
如果这个现金流大于0，相当于你在t0时期净赚一笔钱，而在未来没有任何亏损的风险。
如果这个现金流小于0，相当于你在t0时期净亏一笔钱，而在未来没有任何赚钱的可能，那么此时你只需要反过来操作，即卖看涨，买看跌，做空国债，做多标的资产，你还是在t0时期净赚一笔钱，而在未来没有亏损的可能。
因此如果想要不存在无风险套利的机会，这个t0时期的现金流就必然等于0。
即P+S=C+K。而在t0时期，国债价格和无风险利率有关是固定的，标的资产价格也是外生的，因此只能通过调整P和C的来使等式相等，而这里的看涨期权期限一致，执行价格相同，仅有初始价格的不同。这就是put call parity。
BS公式建立在这一理论基础之上，假定标的资产价格服从对数高斯分布（对数正态分布）。

其中N（x）是高斯分布的累计概率分布函数

注意这里的参数b是cost of carry，在BS公式中当标的资产是股票时b=无风险利率r,当标的资产是实物时b=0

其中：

这是各个参数的含义还要算上刚刚说的 b (cost of carry)
而看跌期权的价格是：

此时你会发现如果你把P的公式和C的公式代入put call parity中是成立的。
移项后原等式变成了 Se^((b-r)t)-K*e^(-rt)=S-K*e^(-rt)
这里的Ke^(-rt)就是刚刚说的国债的价格，在经过t时间后（由于价格服从对数正态分布）变成了
K*e^(-rt)*e^(rt)=K*e^0=K
即执行价格K。而由于在股票作为标的资产的假设里 b=r
公式左边部分那个Se...的一堆东西变成了S*1
所以最后就是S-K=S-K是对的，也就是P+S=C+K被证明是成立的。
所以说你可以把BS公式想象成一个另类一点的符合无套利理论的模型，其特点就在于价格服从对数正态分布，至于d1和d2的公式是怎么来的有兴趣的话可以自己去搜一下了解一下BS模型到底是怎么设计的。大体上你可以这么理解。
其实在编程的时候，写BS很基础也很简单，高斯分布的CDF在各种library里都有套，按照公式一抄就完了，完全没有任何难点。

期权匿名回答 · 2021-8-19 09:06:59

作为一个工科生也强行来答一下吧，关于期权这个概念本人还是在2015年的一则关于50etf期权的新闻上看到的。最初以为期权是跟期货差不多的东西，后来看了定义才猛然意识到这玩意不仅可以通过猜标的物的涨跌赚（亏）钱，而且可以可以通过两头下注，猜是否会暴涨或暴跌赚（亏）钱。
不过问题来了，一张这玩意究竟应该值多少钱呢？我自己的想法是酱紫滴：
0. 假设50etf的走势是一个随机游走，单位时间的变化率的标准差是；

如图所示，在N个时间段之后，标的物的价格是一个正态分布的随机变量，均值等于当前价格，标准差是，P0是标的物当前价格，P1是行权价。这个随机变量中低于P1的那一部分分布是“废纸”。记这个上述正态分布的概率密度函数是 ,所以一张这样的期权的价格应当是:
这个积分式子只对图中阴影部分积分，因为非阴影部分是废纸。
我当时也不知道什么无套利定价，也不知道如何用期权复制出标的物。不过当标的物波动较小，持续时间较短的情况下，算出来的结果应该和BS公式差不多。
后来我看闲书的时候才知道，几十年前有个叫“BS”的家伙搞出了一个差不多的东西（那时我还不知道BS是两个人），区别就在于BS是假设标的物价格是几何随机游走以至于在到期日标的物价格的分布不再是一个正态分布，而且考虑了市场无风险利率。由于当时间较短，波动较小的情况下，几何随机游走与随机游走差不多，所以算出来的结果也是差不多的。
我觉得这个解释应该挺直观的吧。

期权匿名回答 · 2021-8-19 09:07:35

如果你理解二叉树，你可以把BSM设想成无限期，每期跨度无限小的二叉树n period模型。这时候它基本上就是BSM了。另外，BSM和二叉树在原理上相同：完美delta hedge的组合只能得到无风险收益。

期权匿名回答 · 2021-8-19 09:08:06

泻药，近年来，期权交易变得非常流行。在这篇文章中，您将学习一种期权交易策略，可以用来以较低的价格购买自己喜欢的股票。期权是一种衍生工具。衍生物被誉为20世纪后期的金融革命。衍生产品类型为远期，期货，掉期和期权。衍生工具是从另一项基础资产中获取价值的工具。对于股票期权，其价格取决于标的股票。
在本文中，我们将建立两个期权定价模型。第一个是著名的Black Scholes期权定价模型，第二个是Cox-Ross-Rubinstein期权定价模型。之后，我们还将讨论什么是期权，以及如何对隐含波动率进行建模。我们还将讨论为什么在实践中将这两种期权定价公式反向用于计算隐含波动率而不是期权价格。

原文链接：

R语言Black Scholes和Cox-Ross-Rubinstein期权定价模型案例我们将使用R进行分析。您应该已经安装了R和RStudio。我建议您安装Microsoft R Open，执行程序速度更快。Quantmod是提供技术分析的重要R包。
如上所述的期权从标的股票中驱动价值。问题是我们不知道期权合约是否会被行使。当我们尝试对股票期权合约定价时，这就带来了一定程度的复杂性。Black Scholes公式假定连续的随机过程，而Cox-Ross-Rubinstein模型假定离散的随机过程。因此，让我们从Black Scholes Options的定价公式开始。
Black Scholes股票期权定价公式

Black Scholes期权定价公式作了一些假设。首先是市场没有套利。这意味着不可能有价格差异。第二个假设是基础资产价格遵循布朗运动。第三个假设表明基础股票不支付任何股息。第四个假设是不涉及交易成本，并且可以以任何分数进行基础股票的买卖。最后一个假设是我们知道短期利率，并且该利率随时间是恒定的。现在，我们不需要详细讨论如何数学公式推导该公式。当我们知道用于计算股票期权价格的不同参数时，将使用R来计算股票期权价格。下面我们使用R来计算3个月到期的Apple AAPL股票看涨期权价格。苹果AAPL股票价格为130美元，股票期权合约行使价为140美元。

首先我们加载fOptions库，c表示看涨期权.S是股票价格，即每股130美元。X是股票行使价，每股140美元。短期利率为2％。隐含波动率假设为22％。苹果股票的看涨期权价格为2.38美元。这就是它的工作方式。苹果目前的股价为每股130美元。我们购买看涨期权。我们认为苹果股票的价格将会上涨，因此我们购买了看涨期权为140美元的苹果股票3个月到期的看涨期权。如果价格超过140美元，我们可以每股140美元的价格购买AAPL股票。目前，苹果股票的交易价格为每股148美元。因此，您可以看到我们可以便宜地购买Apple股票。我们将以140美元的价格行使苹果股票看涨期权合约，然后以148美元的价格在市场上出售股票，从而实现每股8美元的利润。由于价格是2美元。每100股38股，我们获得了可观的利润。假设我们的行使价为135美元。

在这种情况下，股票期权的价格提高到了$ 3.88。现在，如上所述，我们不需要知道如何得出Black Scholes期权定价公式。我们只需要在公式中插入不同的参数，例如看涨/卖出期权，股票价格，执行价格，短期利率，隐含波动率等。现在的问题是我们没有任何方法可以计算隐含波动率。我们只是假设了隐含波动率公式。
我们还可以计算看跌期权的价格。使用R时也非常容易。以下是看跌期权价格的计算。我们在公式中将c更改为p。苹果股价为130美元。看跌期权的行使价为135美元。有效期为3个月。短期利率为2％。隐含波动率为22％。

现在，如上所述，Black Scholes期权定价公式很大程度上取决于隐含波动率。隐含波动率是我们所不知道的。因此，实际上我们不能使用此Black Scholes股票期权价格公式。在大多数情况下，我们使用相反的公式。我们在公式中插入股票期权价格并计算隐含波动率。我们可以使用GARCH模型来计算波动率。
Cox-Ross-Rubinstein股票期权定价公式

Cox-Ross-Rubinstein公式也称为CRR公式，与Black Scholes股票期权定价公式不同。CRR公式中的基本假设是标的股票价格遵循离散的二项分布。这意味着股票价格在每个时期要么上升一定量，要么下降一定量。二叉树正在重组。这意味着在两个时期内，价格可以先涨后跌，或者在相同的最终价格下涨跌。以下是使用与Black Scholes公式相同的行使价，隐含波动率和短期利率来计算Apple股票期权价格。

您可以看到使用Cox-Ross-Rubinstein公式的期权价格与Black Scholes公式相似但不相同，现在无需对CRR公式进行复杂的数学推导。我们还可以绘制上述看涨期权公式以及看跌期权公式二项式树3个周期。以下是看涨期权二项式树的代码。
通过将ce更改为pe，我们还可以绘制看跌期权二叉树。以下是看涨期权二叉树图。

以下是看跌期权二叉树。

现在您看到了两个公式之间的期权价格差异。价格差异不大。Black Scholes计算的看涨期权价格为3.88美元，而Cox-Ross-Rubinstein公式计算的看涨期权价格为4.03美元。差别不是很大，但确实存在。这是由于两个公式的数学推导不同。在Black Scholes公式中，我们假设一个连续的随机公式，而在Cox-Ross-Rubinstein公式中，我们假设一个离散的二项式公式。W可以通过减少Cox-Ross-Rubinstein公式中的时间步长来减少价格差异。
如何计算期权？

希腊人衡量期权合约对不同市场因素的敏感性。例如，delta是对基础股票价格的敏感性。Gamma是对基础股票价格变化的敏感性。您可以将伽玛三角洲称为三角洲。Theta对时间敏感，而rho对无风险利率敏感。最后，vega是对隐含波动率的敏感度。用数学术语来说，所有希腊语都是偏导数，用于衡量某些参数的变化率。下面我们使用R计算。

您可以看到R在计算时非常快。跨距交易是重要的期权交易策略。我们通过同时购买看跌期权和看涨期权来构造一个跨步。以下是跨度的增量计算。

计量经济学是许多交易者都不知道的重要主题。以下是使用苹果股票看跌期权和看涨期权的跨式期权构建的增量图。

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期权匿名回答 · 2021-8-19 09:08:36

如何理解 Black-Scholes 期权定价模型？这个答案写的是最好的了。
我不清楚题主所说的理解是从哪个角度。从交易的角度上说，上面这个答案已经写了很清楚了。不是用BS公式去决定期权的价格，而是用BS公式从价格反推波动率，在用期望的波动率去推算期望的价格。
上面这个答案的后半部分非常重要。我们都知道delta是一阶导，gamma是二阶导。问题是在没有BS的情况下，不论是二叉树还是Monte Carlo都很难得到一个连续的函数，从而各种导数也无法连续甚至不可导。
从数学的角度上来说，有答案已经说了可以认为是二叉树的推广。你可以想象成无限叉的，无限步的一棵树，再去算期望。具体推导简单来说，满足一定假设之后，股票价格是一个维纳过程，在瞬时状态下，通过构建一个股票和期权的组合，再通过伊藤引理，推导出BS公式的微分形式。到目前为止如果不深入伊藤引理其他的推导都是很显而易见的。下一步通过期权价格的边界条件去解方程了。这一步就比较考验数学功力了，我也没法靠键盘说清楚了。

期权匿名回答 · 2021-8-19 09:09:34

先理解二叉树，这个会了基本上就差不多了，而且这是最简单最形象的了。不过这类模型建立在统计、假设和概率上，统计的冰冷掩盖了市场下的人性，斯科尔特加入的长期资本（LTCM）后来跪了，很大程度上也是在于迷信统计忽略了人性。完美的模型、完美的风险管理，面对一个不完美的世界，只有一个变动的过程和一个不确定的结局。

期权匿名回答 · 2021-8-19 09:09:39

大部分学BSM的同学是没有机会参与真实期权定价的。更多人是带着BSM的思维去参与期权投资，也就是直面真实的市场数据，通过BSM来更好地整理交易的思路。毕竟真实的期权市场数据维度和复杂度远远高于underlying标的，没有一个很好的模型在脑子里，脑回路很快就不够用了。
所以，如果我们暂时放弃定价的观念，就先不用纠结于BSM是如何得来的。反过来，我们先接受它，然后以它为标杆来分析市场，这样理解起来会很快。
原始BSM

原始的BSM形式包含五个独立变量。我认为只要理解其中两到三个主要变量就够了，剩下只是技术性处理。

其中

从数学上看BSM实在太不美观了，这样复杂的公式严重影响所谓的物理直观。虽然公式的得来有历史研究的源流，但我们在这里稍微整理一下公式可以更方便理解。下面将把BSM化简成三变量函数。
对数化处理

第一个动手的地方是，对数学敏感的同学，面对分式的对数，可以马上想到

这里关系到价格服从对数正态分布的假设，所以标的价对行权价的差写为对数形式。
既然是对数正态分布的假设，不妨将原生的价格全部对数处理，于是标的价成为而行权价成为，这样，BSM公式中的对数项成为：

BSM公式成为：

其中

无风险收益率的简化

真实的期权交易中，特别是在低融资成本的时代，大部分情况可以忽略无风险收益率的影响。我们可以在理解BSM模型的主体之后，将无风险收益率作为调整因子加入进来再考虑。
注意无风险收益率  出现的地方，均是和时间构成  或  的形式。首先，  一定是很小的，特别是在宽松的市场环境中；其次，大部分真实期权交易都是中短期的，于是  或  都近似于零。那么从数学上：

以及

我们只考虑极限情况，那么BSM化简为：

其中

概率项的对称化

现在主公式已经有了优美的数学对称形式，而两个概率项看上去还不够美观。注意到我们可以把两项改写为对称的形式：

到目前为止，波动率和时间已经成为密不可分的整体，定义波-时为：

我们可以把整个BSM集中在一个三变量函数中：

于是我们完成了BSM的纯数学意义上的简化，它是行权价、标的价和波时的三变量函数，是不是比原始形式简化了很多？下面讨论物理直观。
时间极限

注意到，期权价格的独立变量之一是。波时作为整体影响到期权价格。这样解释了波动率和时间对期权价格的单调变化关系。是与距离到期日的时间之平方根相关的，这直接解释了经典期权教科书中时间价值递减的非线性规律。时间价值随着时间递减，或者由于波动率下降而递减，本身可以反应为一个极限：

其中无穷的符号取决于价差。分情况讨论。
当，在  接近到期日时：

由正态分布公式：

有，于是

这就是教科书中所定义的内在价值。
当，在  时：

又，于是

这种情况下没有内在价值。
当，在  时也没有内在价值。（从上面两种情况，即价差的两个方向求极限，都得到零。）
归纳一下，内在价值为：

教科书中时间价值可以定义为：

即期权价格减去内在价值的部分。现在看来，更准确的叫法应该是波时价值。由于内在价值与波时无关：

带入分布公式

价差变量

我们把三变量看涨期权公式中的行权价和波时固定下来，考虑期权价受到价差的影响。

期权交易中的希腊字母代表对冲比率，它本质上是以下导数：

注意正态分布公式的导数为

于是令

有

得到

注意

当价差运动到深度实值时：

解释为在深度实值时，期权价格的增速等于标的价的增速，期权价格曲线的斜率渐进于1。
当价差运动到深度虚值时：

解释为在深度虚值时，期权价格曲线的斜率渐进于0。
当价差为零时为在价（ATM）期权：

期权匿名回答 · 2021-8-19 09:10:00

不如直接跑代码？Python版的BS模型，希腊值分析，业界相关的压力测试，全部代码请见github，有帮助的话别忘记点个赞哈。Neural-Finance/Option_Pricing_Python

期权匿名回答 · 2021-8-19 09:10:21

BS定价是no-arbitrage analysis，这个是大前提。在无套利分析这个框架下最先接触的是所谓的linear contract，线性衍生品，如远期和期货，这种产品定价直接通过静态的arbitrage即可，这部分大家都觉得非常自然。而BS公式解决是非线性衍生品定价的问题（其他问题还有不连续性，路径依赖等等），这部分是非常有启发性的。
我们回头看linear contract的定价过程，衍生品作为一种风险性的资产，即它的payoff是不确定的，第一反应是应该对不确定性的价格进行分析，然而我们没有直接去对要定价的contract进行分析。由于股票与股票远期是线性关系，所以两者的风险（不确定性）其实是“一样”的，而股票的价格市场已经给出，所以不确定性的价格信息包含在了股票的价格来体现。所以我们做的是用股票hedge远期，形成一个无风险的portfolio，整体只剩下无风险收益（时间的价格），而远期的不确定性带来的premium方面的信息已经全部包含在股票的价格中了。
而非线性衍生品就不同了，我们无法使用前面简单的静态arbitrage来分析，但是我们的方法还是no-arbitrage analysis。不确定性的价格已经反映在股票中，我们所要做的只不过是把股票与期货相联系起来。尽管在整个空间上，股票与期权并不是线性关系，但是在局部上，或者说单一的路径上，两者却依然是线性的关系！而在二叉树中我们做的就是这样一个工作，每一步都有固定的hedge方法，整个hedge的过程非常的直观。
而到了连续模型中，直观性不是那么的明显了，我们要解决两个问题。第一个问题是什么样的contract可以被股票hedge，第二个问题是如何hedge（进而去定价contract）。前者涉及到鞅表示定理，直观上的意思大概是说，contract的不确定性必须能由股票的不确定的所解释。而第二个问题，涉及到ito formula，大概就是路径上期权价格瞬时的演化过程，直观上你可以发现dCall(t)被分解成了两部分dt和dW(t)（或者dS(t)）两部分，前者是时间的价格（无风险收益），后者的信息已经由股价所包含，很美好的线性又出来了。后面关于如何对冲的问题直观上和前面没有区别，包括在Black和Scholes原文，Hull的书中都直接用股票去hedge掉option的不确定性来构建无风险组合，但是在正儿八经的书里都用了“资产过程”去衍化复制option的方法。主要是前者在连续模型下无法保持framework的self-consistent（所以说Black的东西很多非常intuitive，但恰好体现出关键思想）。
最后，实际中，当时公式一出来，很多人先不管这个东西本身是否scientific，对股价漂移率u的消失感到非常不爽。对call option而言，期末股价越高，payoff越高。其他条件相同下，漂移率高的股票明显有更大的机会达到高股价，你说u没有影响，这不是逗我们吗？
但是整个从BS的精髓hedge的角度来讲，这个是没有问题的，关于不确定性的价格信息已经完全包含在股价的信息中，我们无需去纠结于分析不同的u下的股价演化行为，不同的市场对于风险的观点自然不同。时间的成本是r，而风险成本体现在股价中，这是我们的关注点。波动率能够存在于公式中是由于所谓convexity的原因。
实际生活中，BS的很多假设不成立，价格还是供需上的结果，关注所谓的implied volatility，关于这方面的书很多，各个时代的都有。不过在中国也无所谓了，交易主力是线性衍生品。

期权匿名回答 · 2021-8-19 09:11:14

可以看成无限次二叉树求期望值

如何理解 Black-Scholes 期权定价模型？

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