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作者：二点三西格玛 今天分享的是我在2016年很荣幸和知名金融学者法博齐(Frank J. Fabozzi) 合作在The Journal of Derivatives期刊上发表的一篇文章。名为“On the Estimation of the SABR Model's Beta Parameter: The Role of Hedging in Determining the Beta Parameter”。具体文章发表的过程也是一波三折，是一个挺有意思的过程，有机会下次写一篇文章单独介绍，本文主要说说我写了啥。 文章的灵感来源于研究生的一门Advanced Derivatives Pricing课程的期末大作业。当时老师讲了很多比较高级的衍生品定价模型，其中就包括SABR。大作业要求随便选取一个模型用程序实现，包括用实际的市场数据估计参数，并完成定价，对冲误差分析等等。我就选择了SABR模型。 当时在做大作业的时候就发现SABR模型里面Beta这个参数的地位很微妙。实际当中很多人的做法是根据不同的市场，根据经验（或者实证分析）先固定一个Beta，比如0.5，然后再估计别的参数。当然也有人，包括SABR文章原文也提到了一种估计Beta的方法就是通过所谓的Backbone回归法，即Beta在SABR模型里面控制着所谓的Backbone（ATM vol随着forward rate改变的路径），因此可以选取一定的历史数据，通过回归的方法来确定Beta的值。 ![]() 两边取log后，ATM vol的对数和forward的对数成线性关系，斜率就是Beta-1但是实际当中这么做的人很少。大多数的做法还是先选取一个固定Beta的做法。甚至有文章指出（Bartlett, B. “Hedging Under SABR Model"）Beta的选取对于对冲的影响是有限的，因此选择一个固定的Beta没有什么大毛病。我看到这里其实有点疑惑，因为SABR模型之所以是SABR模型，其实就是因为它有这个Beta参数，如果Beta被固定不会改变的话（比如取0，1，或者0.5），那么其实SABR模型跟一个普通的随机波动率模型（SV）没有什么大区别，使用这个模型就失去了大部分意义（当然他们弄出了近似的解析解）。 后来在做大作业的时候发现，Beta参数其实对于对冲的精度是有比较大的影响的。当时只是看到了这个现象但是其实不清楚背后的机理。但是就是这个观察，使得我认为Beta很重要，必须精确估计，而且要用一个新的方法估计。当时做完了这个大作业后，跟导师聊了一下，我就沿着大作业的思路继续探索估计Beta的方法，思路还是落在对冲上。 其实在实际操作当中人们之所以可以选择一个固定的Beta而SABR模型依然表现得的不错。其实有很大一部分原因在于SABR模型的参数很丰富，算上Beta，一共有4个参数(alpha, beta, nu, rho)，它们分别控制波动率微笑因子比如level，slope，convexity。所以即便Beta被固定住，通过调节别的3个参数，模型依然能够比较好地拟合大多数市场数据。比如下图显示了一个相同的市场微笑曲线，固定不同的Beta，SABR模型基本都能拟合的不错，特别是ATM周围。 ![]() 所以从纯粹的波动率微笑拟合角度来说，Beta的选取并不是特别重要（这里只是一般而言，实际上对于deep OTM是挺重要的）。但是到了对冲就不一定了，虽然拟合微笑曲线的时候任何一组参数都能拟合的不错，到了对冲的时候，不同的参数组合对于对冲精度的影响很大。原因其实是Beta参数实际上控制着标的的分布假设。如果我们选取的Beta和实际标的的分布很接近的话，那么对冲效果自然就好，反之则会产生不小的误差。这里提一句，实际当中很多人其实并不用SABR模型来对冲，更多的是利用SABR模型的静态性质，即用SABR参数拟合出一条连续的波动率曲线，然后利用这条拟合好的波动率曲线来定价和对冲。这也是Beta参数遭到忽视的又一原因。
具体的说Beta对于对冲有两方面的影响。其一，如果我们将SABR模型下forward满足的过程和Black模型对照一下： ![]() ![]() 可以看到total vol其实可以被分解成两部分，一部分是随机的即随机波动率Alpha，一部分是predictable的即f^(Beta-1)，predictable的部分可以通过标的直接用delta hedge对冲掉，而随机的部分只能通过vega hedge来处理。因此其实Beta控制的是SABR模型total volatility risk里面delta和vega risk的比重。
其二，Beta控制着波动率微笑的Backbone，前面提过，即ATM vol随着forward变化的路径。 ![]() 可以看到Beta取不同值的时候Backbone的形态非常不一样。可以是水平也可以是倾斜的。不同的倾斜角度代表着当forward rate变化的时候trader会承受多少的额外的vol在portfolio里面。这两个因素都取决于具体每一个标的和其期权市场的实际行为。 经过这么一顿分析之后，其实我已经解释了Beta为什么对hedging或者说对于SABR模型的动态性质这么重要。因此我们估计参数的时候为什么只关注一个静态的微笑曲线，只看模型是不是和微笑曲线拟合得够不够接近（静态性质）。我们是不是应该将对冲误差也作为估计参数的一个考量呢？比如好的参数应该不仅能够比较好地拟合微笑曲线，并且同时也能够最小化对冲误差。
这就是这篇文章的主要思路，下回我会具体说说怎么通过最小化历史对冲误差来估计SABR的Beta参数，并且从理论上证明这种参数估计方法也是符合无套利条件的。
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