本文作者：一德期货期权部 周静怡（F3071192）、曹柏杨（Z0012931）
我们在第二期详细讲述了Hodges-Neuberger对冲法，它从理论上解决了对冲问题，给我们提供了很好的对冲思路，但在实践中难以实施，在具体的对冲实操中，有两个方法被较为广泛得使用，分别是Zakamouline和Whalley-Wilmott方法。Zakamouline方法能够保留Hodges-Neuberger模型中大部分的有用特性，Whalley-Wilmott方法可以很好地简单近似，我们这一期就这两个方法进行简单的讲解。
Whalley-Wilmott的渐近解
非交易区间边界公式： Whalley和Wilmott(1997)是在假设交易成本相对于BSM公式中的期权价格而言很小的情况下，通过对最优化系统的渐进分析，提出了一个相对容易实行的对冲方法。这个方法提供了一个决策规则，并根据决策规则在每个时间瞬间监控股价并决定是否进行对冲头寸调整，并且得到一个计算非交易区间的公式，对冲带的边界满足如下表达式： 其中λ是交易成本占标的总金额的比例，tc是交易成本，N是交易标的的总数量，Г是BSM模型的gamma值，γ是风险厌恶系数。 非交易区间边界效果： 图1：WW渐近方法所得到的近似对冲区间与BSM的delta之间的关系 注：数据和图表来自于《VOLATILITY TRADING》
图1展示了一个使用WW方法进行对冲的对冲区间。它使用的例子是波动率为0.3的一年期期权，交易成本为2%，利率和持仓成本为0，风险厌恶系数为1。我们可以看到，使用WW方法会得到一个围绕Black-Scholes模型的delta值的对冲带。当交易成本降低的时候，对冲区间的宽度也会减小，当成本变为0时，对冲区间就变成了BSM的delta线。当风险厌恶系数上升时，对冲区间的宽度会减小，这和上一期完整的HN理论的结论一致。但与完整的HN方法不同的是，gamma多头和gamma空头所对应的对冲区间的不对称现象消失了。
Zakamouline的双渐近解
非交易区间边界公式： Zakamouline(2006)研究了基于效用的对冲策略的特性，并提出了一个对冲策略公式，它能够保持Hodges-Neuberger模型最重要的特性。Zakamouline对冲带的表达式如下： 这个对冲区间不是以BSMdelta为中心的，而是以根据修正后的波动率σm计算出的BSMdelta为中心的： H1是与gamma相关的项，与其在Whalley-Wilmott模型中的作用类似。H0项使得对于深度价外期权而言（gamma可视为0时），对冲带的宽度也不等于0，这与Hodges-Neuberger模型的精确数值解的结果一致。 非交易区间边界效果： 图2：由Zakamouline的渐近方法得到的看涨期权多头对冲区间与BSM delta的函数关系 注：数据和图表来自于《VOLATILITY TRADING》 比起WW方法，Zakamouline方法更接近HN模型的结果。尤其是非交易区间中间的那部分与BSM没有重叠，这是由于使用了修正过的对冲波动率。 注：上述内容均来源于《VOLATILITY TRADING》。
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