权益类局域波动率模型 - 沪深300指数实例

之前朋友提到过雪球期权，我们刚刚介绍过权益波动率的SVI模型，今天我们来谈下局域波动率模型。局域波动率模型到目前为止，仍然是绝大多数投资银行的主要估值和风控模型（譬如用于结构性产品autocalls），虽然它的理论架构建于二十多年前，但在实际工作中，有很多投资银行仍然为它苦恼，主要还是其稳定性和可操控性的问题。今天我们拿沪深300指数波动率曲面来聊聊。

在金融衍生品估值理论里，我们常假设标的（权益或外汇）符合对数随机模型，

这里\sigma是标的波动率，\mu是标的漂移项，W是布朗随机过程。如果我们定义标的波动率是时间和标的值的非随机函数，那这个模型就叫做局域波动率模型（local volatility model）。经过随机过程的一些复杂数学演算，我们知道对于局域波动率模型来说，波动率和期权价格存在如下非随机数学关系（Dupire公式），

这里，经过正则化的行权价和价格定义为，

F0为标的远期，Z(0,t)为现金流贴现率。

Dupire公式告诉我们，如果我们有期权价格的连续函数曲面，那我们就可以得到其隐含局域波动率曲面，从而用于估值产品。由于期权价格可由Black-Sholes公式通过市场波动率计算获得，换句话说，我们可以从市场波动率的连续函数曲面得到局域波动率曲面。很显然，我们需要市场波动率的以下偏微分数值，

数学上，这就需要市场波动率曲面有非常多的密集点群（t，k），而金融市场却往往只有很少的点，所以传统上，为了创建波动率模型，投资银行一般用一些二阶光滑曲面去拟合不多的市场波动率，但这种方法实际工作中存在很多问题，

- 光滑曲面的函数选择非常主观，任何数值插值都会引入额外的假设，这些假设往往是最后估值风控问题的根源- 光滑曲面不能保证波动率曲面无套利，给使用Dupire公式带来问题- 因为数值问题，实际工作中，Dupire公式产生的局域波动率曲面会出现不可预测的尖峰或深谷，会严重影响模型稳定性（不稳定的估值，不可靠风险值，不准确P&L预测）虽然有以上的问题，就我们了解仍然为数不少的投资银行和机构在用Dupire公式做局域率模型，而交易员和数理团队经常花大量的时间在解释由于模型不稳定带来的估值风控问题。至少在我们看来，直接套用Dupire公式已经是较为过时的局域波动率模型的实现。

我们用最先进的局域波动率模型，它有以下传统Dupire公式不具备的优点和稳定性，
- 只用现有市场波动率来校准模型，无须创建二维高阶光滑市场波动率曲面- 由于校准模型只依赖于市场波动率，因此可以直接提供准确的对冲值- 市场波动率曲面无须严格无套利，校准模型动态观测标的密度时间分布函数，自动严格去除市场波动率曲面存在的套利（碟式和日期套利）- 局域波动率曲面较光滑，无不可预测的尖峰和深谷，从而提供稳定的估值风控- 实时的校准（以下示例小于0.5秒）
现在我们来用2021年某天的沪深300指数市场波动率曲面来看看。由下图所示沪深300指数市场波动率，短期有很强的波动率微笑，随着时间的变化，波动率微笑慢慢变平，这也符合金融理论（期权价格和到期日平方根的关系）。

但注意到，我们拿到的低行权价区域市场波动率存在很明显的日期套利，如下表所示，全方差的增长出现负值，

我们提前创建了人民币贴现曲线和沪深300指数的远期曲线，结合先进的局域波动率模型，我们在Excel里校准以上非套利处理过的沪深300指数市场波动率曲面。

如下图所示，局域波动率模型输出波动率曲面（图左）几乎完全匹配市场波动率曲面，而且其隐含局域波动率曲面（图右）也相对平滑。

尤为重要的是，xFIN的局域波动率模型自动严格去除了市场波动率曲面的存在的套利。如下曲线所示，负方差增长完全被成功去除。

xFIN的校准模型同时还输出标的的动态时间密度分布函数，如下图所示，我们很清晰的看出密度函数随着时间从即期变化至远期的动态过程，尤其重要的是，可以看出xFIN局域波动率模型严格保证了密度函数为正，从而确保曲面的严格无套利，为复杂衍生品的估值提供准确的保障。

局域波动率模型，依旧是绝大多数投资银行估值风控的首选，但对于特殊的产品，它有其局限性，这就导致了随机波动率模型和随机局域波动率模型的产生。后面我们还会陆续谈到。