权益类波动率微笑 – 粉笔下的SVI模型

在权益类波动率倾斜和微笑的拟合中，我们有一个算是还流行的参数模型 - SVI（stochastic volatility inspired），网上也有些证券公司和其他机构中文文章介绍。今天，我们也来谈谈SVI。

SVI英文全名，是由随机波动率启发的模型，但在我们看来倒是有点过于夸大了，它只是个曲线模型，首先我们来看看如何用高中数学去开发这个SVI，

这里k是log行权价，\Omega是波动率，这里我们拟合全方差。

我们的目的是在坐标平面上拟合一个光滑的凹曲线。我们可以用粉笔在黑板上这样开发，

-    Step I - 既然是凹曲线，我们首先从一个以m为中心的轴对称V曲线开始，最简单莫过于，


很显然m必须为正；

-    Step II - 这个轴对称V曲线不可以控制凹凸性，那我们就在加个凹凸性控制项


随着\sigma变大，V曲线趋于平；
-    Step III - 现在这条曲线是只是轴对称，我们得让它可以转动，那就再加一个以m为中心的转动项，显然最简单的是线性函数k-m, 为了顺逆时针都可以转动，我们还得加一个系数


rho可正可负，但我们需要它在[-1,1]之间，不然会有负值；
-    Step IV - 为了能控制最终曲线的曲率，我们再加一个乘积因子，


b必须是非负，b值越大，曲线更陡峭；
-    Step V - 最后为了能控制最终曲线的绝对值水平，我们在加一个上下平移项


这儿 a不一定是非负，但是其取值必须要保证最终函数值为正。

这就是SVI模型，基本只用到了高中数学老师黑板上用粉笔徒手画函数的方法。通过这样的简单创建办法，我们也清楚的知道这些参数的取值范围和其对最终曲线的影响。

很显然，用不同的基本函数，我们可以画出无数这样的凹函数。

到目前为止，SVI曲线和金融模型没有半点关系，我们再次强调它只是一个曲线函数，即使学术界生硬的用它和随机波动率Heston逼近做比较，但对于交易员来说，这些参数a，b，\rho，m，\sigma，几乎是没有任何意义，如果让他们去用这些参数去管理波动率，基本不可能。

交易员需要和市场相关的参数，尤其对于做市，直觉感观非常重要，那交易员怎么办？他们重新把SVI的参数转换至另外几个他们能理解的市场参数，这边举一个简单例子，我们可以用，

-    ATM波动率
-    ATM波动率的斜率
-    低交割价的波动率斜率
-    高交割价的波动率斜率
-    最低波动率

经过一些计算，我们有，

这样交易员就相对直观可以理解了（但也不是最佳，外汇交易员有更直观的参数），且这些参数需要满足，

这些约束条件对于交易员来就很有市场意义了，他们也容易根据对市场的理解来管理。注意到在上面的约束条件，最后一个是无碟式套利（Butterfly Arbitrage）的必要条件，但不是充分条件！

再次强调，SVI不是无套利波动率模型，通过我们最开始的曲线拆分办法，可以很明显的看出它只是一个简单曲线拟合办法，没有任何无套利金融理论的支持，一定要小心使用！下面我们举两个关于SVI的问题案例及我们的解决方案结果。

案例I - SVI 负密度分布

学术界已经讨论很多SVI在一定参数下会导致负的密度分布，这会造成很明显的碟式套利，下面是一个经常被提起的Axel Vogt参数，就会有这样的问题，

(t, a, b, m, \rho, \sigma) = (1, -0.0410, 0.1331,0.3586,0.3060,0.4153)

用这个参数我们去建一个SVI波动率微笑，如下图所示，乍眼看上去，波动率拟合曲线没什么异常，但如果仔细分析它的密度分布函数，会发现在高行权价区域出现负密度，这就出现了很大碟式套利问题。我们必须对它做严格修正，我们用自己的数学办法，通过对密度函数的控制，在保证不影响其它区间行权价波动率的前提下，重新修正拟合过的SVI，如图绿虚线所示，修正过的密度函数更平滑也没有负值，而且修正前后，波动率曲线（蓝色实线）只是在高行权价区间有所调整，其他区域基本没有变化。

案例II - SVI 不稳定性

学术界更加关心SVI的明显的负密度问题，其实SVI还有其它实际问题。接下去，我们说另外一个SVI的真实问题案例，在这个案例里，我们会发现即便没有负密度，SVI拟合函数也需要严格修正，不可以直接用来估值和交易复杂奇异产品。

如下图所示，我们拿了SP500某一个交易日的6M的真实市场波动率数据（图中红圈蓝圈），注意到，市场上只有不超过行权价130%的波动率。灰线代表SVI拟合曲线。很显然，对于低行权价区域，SVI拟合的很好，但是在高行权价区域，虽然SVI拟合波动率产生的密度函数（黄虚线）都是非负，但我们发现有一个凸峰，这显然不合市场逻辑，交易员会问为什么，市场在那个区域发生了什么？很显然，这是SVI模型导致的假象。我们在实际工作中必须解决这样的问题，因为没人知道这种模型假象会在什么时候发生，尤其会给风险极大的复杂奇异产品带来什么严重估值和风控隐患。

同样，我们用符合金融无套利理论的数学办法，通过对密度函数的控制，在保证不影响其他区间行权价波动率的前提下，重新调整SVI曲线，如图中所示，成功修正了高行权价的波动率问题（“xFIN Vol”蓝色实线），得到的相应的密度分布（“xFIN Density”绿色虚线）也更平滑没有凸包。

到目前为止，我们只讨论了对于特定行权日的波动率曲线，把这些不同行权日的波动率曲线在时间轴上拼接在一起，然后就得到了波动率曲面。很显然，随意简单拼接有很大的问题，譬如会存在日期套利（Calendar Arbitrage），学术界从SVI衍生出了Surface-SVI去解决这类问题，但实际工作中，因为不够灵活，基本很难很好的拟合市场波动率曲面。这就要求我们对SVI曲面做很严格的后期处理，这里有很多细节。在xFIN，我们通过跟踪处理密度函数的动态时间变化，从而严格去除波动率曲面的存在的套利。

一个无套利光滑的波动率曲面对管理复杂奇异产品的尤为重要，是所有复杂波动率模型的基础。很显然，不做严格处理的SVI曲面很难满足这样的要求。