外汇波动率曲面的简单介绍

继上次人民币结构性存款案例，我们注意到市场上很多类似结构挂钩于外汇汇率或贵金属。今天我们就简单介绍一下外汇和贵金属(譬如XAUUSD)的波动率微笑曲面，这对于正确估值外汇波动率衍生产品和挂钩外汇的结构性产品非常重要。

不同于利率、权益、商品及信用指数波动率曲面，外汇的波动率曲面不以行权价为单位，而是以期权的Delta为单位，数学上即，

这里T_expiry是期权到期日（注意不是交割日），\Delta是看跌或看涨期权的Delta值。如下表所示，

在同一个汇率波动率曲面上，不同的到期日的Delta会有不同的定义，我们有以下几种，
- 即期Delta- 远期Delta- 即期Delta含溢价- 远期Delta含溢价这是很容易理解的，用Delta做曲面单位，因为贴现率的问题，5年的期权和3个月的期权的即期Delta值会差很多，所以对于到期日较长的曲面部分，曲面就自然需要切换成远期Delta为单位。

对于ATM，也可以有不同的定义，我们常有，
- Delta Neutral Straddle (DNS)- 平价远期在某种给定类别的Delta，这里DNS行权价的定义就是满足以下条件，

有些朋友可能会问，为什么在彭博端口，会看见外汇曲面以平价，风险逆转策略（risk reversal），和碟式策略为单位（butterfly）作为参数，这是因为他们存在简单数学关系，

因此我们有，

大概了解了波动率曲面结构，那现在下一个问题就是如何得到任意到期日和行权价的波动率呢？这就需要我们去做插值和外延。

行权价方向

因为外汇曲面是Delta曲面，很自然的我们可以选择在Delta（或等价量纲上）单位上做插值，可以用样条插值，VV插值等等。譬如下图，我们用EURUSD的-10D，-25D，ATM，25D，10D五个市场数据点做插值和外延。

到期日方向

很显然，最自然的办法就是线性插值全方差，这样可以保证无日期套利。实际工作中，交易员往往需要做更细致的插值，可以这么说，时间方向插值比行权价方向插值更为复杂更需要知道市场交易知识，譬如交易员往往需要插值方法包含一系列重要交易日的特征，打个比方，央行利率决策日，交易员认为外汇波动率就会稍大，等等。譬如下图，我们用我们两种不同插值方法，其中“类型II”考虑到简单节假日的因素。这些细致考虑对于短期外汇期权交易尤为重要，譬如之前提到过的人民币短期挂钩外汇结构性存款。

最后一个问题，之前在外汇的市场惯例文章提到过，外汇的市场波动率是基于外汇的标准格式的，譬如EURUSD，如果我们想得到其USDEUR的等价Delta曲面，我们则需要结合插值方法和期权价格不变的规则下重新计算微笑曲面，而不是简单的翻转曲面，因为它们不是严格等价的。

尽管外汇和权益在估值模型上很类似，但在外汇波动率曲面的交易使用上，相对权益波动率曲面还是较为复杂的。