Vega与波动率曲面

Vega是期权到期时间等于停时的隐含波动率敏感度。对于一个非普通期权，Vega更精准的解释是指从起始到停时市场上远期波动率的敏感度。任何凸性结构都会有Vega。
本文重点讨论到期时间确定的欧式期权的简单Vega。

上式中是期权到期时的隐含波动率，F是衍生品价格。计算该值得最佳数值方法是用不同的波动率给产品重新定价。通常Vega表示为一个离散的测度（即波动率的离散变化）。此外，很多人经常用该值乘以波动率的方法得到一系列波动率变化的百分比变化下的对应值。例如，如果隐波为18%，Vega是0.5，那么期权价格会在波动率提高1%到19%时，升高50单位。
大部分期权的Vega随时间减少。与Gamma和Theta一样，很容易看出Vega为钟形，最大值出现在平值期权出。当波动率上升时平值期权的Vega不变，但平值两边的期权Vega会提升。
风险管理的规则：平值期权的Vega相对于波动率是稳定的。平值两侧的期权在波动率买家看来是凸的，在卖家看是凹的。因为期权价格相对于波动率的二阶导数，在行权价等于远期的位置上是0，当行权价远离该点时就是越来越大的正值。原始的Vega对于单一期权来说是有意义的，但对于交易头寸组合的风险来说意义不大。对单一期权有效的往往对于整个交易头寸无效。这会对传统Black-Scholes公式导数技巧的人的实际操作风格带来负面影响。交易单一期权和交易整个交易头寸组合是不同的。从数学上讲，在低阶矩上的中性交易头寸很容易在高阶矩上失去稳定性。通常在低阶矩上是平的，但在高阶矩上暴露了各种不同的风险敞口。不过一个单一期权不会在高阶矩上有很大敞口。

Vega与Gamma

Vega和Gamma需要以一种奇怪的方式联系起来，因为它们看起来以各自不同的方式演化。Vega是整个期权存续期内Ganma利润（即预期Gamma调整带来的损益）在某个波动率上的积分，同时减去在另一波动率上的同类积分。直观上，对于期权买家而言，波动率走高而造成Vega出现的损益等于未来一段时间内当市场符合预期时在Camma上的总盈利。这正好就是获得相应更高损益的Gamma对冲者得到的差异。一个跨式期权的交易者，注意到3个月的跨式期权头寸价值增加了100000美元，是由于市场波动率从15%增加到16%。这恰恰意味着，如果这个更高的波动率有效，他不包括滑点的Gamma收益会正好等于100 000美元。数学上Vega表示为：

式中，S是资产价格，t是到期时间，是波动率。

修正Vega

两个未经过加权调整的、不同到期日的Vega不可以被用来比较、相加或相减。修正Vega（Modified Vega）是用不同到期日波动率的方差得到的简化单因子模型，来提高对冲精度。修正Vega虽然比未加权Vega更加有效，但推荐使用更高级的修正远期Vega，我们之后会讨论。由于各个到期日对未来波动率变化的反应不同，所以有必要修正Vega以更好地对冲和管理风险。
考虑做多1个月期权等值100000美元Vega，以及做空对应相等的2年期权Vega（这意味着2年期权的数量会相对少于1个月期权的数量）。如果股票市场明天就要崩盘，一个月的期权会涨很多，不过这种波动率水平估计难以持续一整年，一年期权的波动率也会涨，但比短期期权涨得要少。人们会预期市场在一段时间后平静下来，所以到期日较远的期权只会在早期受到影响。如果市场保持一段时间沉静，就认为市场的波动率发生结构性变化是不合理的。修正Vega 反映了期权头寸组合对于整个波动率水平非平移变动的敏感性。除非信息具有持续性，否则短期波动率变化会更敏感。但也应保持警惕：当发现由于某种原因Vega表现出相反的状态时，也需要对权重重新评估。

式中，V是以不同到期日分段的Vega，F是波动率权重。
常规做法是选用3个月左右到期的波动率作为因子。3个月是一个中等时间长度，而且流动性足以满足风险管理的需求。所有期权都会以这个到期时间来对比它们的敏感度。

如何计算简易权重

对于波动率的风险管理来说，最重要的时要意识到某种权重的存在。交易员用的大部分方法。虽然复杂程度不同，但得出的结果类似。
“理论”权重。用各自到期时间的平方根作为波动率权重，通常被交易员成为“理论上的”。这意味着长期波动率是常数，期权波动率以到期时间平方根倒数的速度向已知的长期波动率水平的方向回归。这种想法基于认定长期期权交易价格反映了一个长期波动率度量。但是这往往被证明是错误的，因为SP100和SP500指数的波动率一直在衰竭。
经验权重。根据市场上观察到的价格行为得到的波动率权重被称为经验权重。计算方法是交易员选择一个参考到期日，然后就其他月份的相对波动率来计算各自权重。相对波动率可以通过以下典型的比例计算得到：
某个期间波动率变化绝对值之和/另一期间波动率变化绝对值之和

远期隐含波动率

两个时刻之间远期的隐含波动率，表示这两个时刻之间的预期波动率，可以从期权价格中推导出来。

图1.现货波动率曲线

图2.远期波动率曲线
有时可以根据分段的远期波动率明显过高或过低找到一些套利机会，但由于期权是在即期而非远期波动率交易，所以这种套利机会较难发现。
对于普通期权来说分段Vega是有效的风险管理工具，对于路径相关的期权来说是唯一可能分析风险的方法。普通期权对于方差有线性的分段敏感度，而路径相关的期权在时间分段上有不均匀的敞口。比如敲出期权，可能在一个时间分段上多Vega，而在另一个分段上空Vega。

图3
那么对于普通期权来说，如何把普通的Vega转换成远期分段的Vega。假设有以下风险敞口的期权，如果交易员买入3个月的期权，那么会在3个月的那个分段中显示对应的Vega，即0-90.然而交易者需要修正。假设路径无关的期权对时间的敞口是线性分布的（例如3个月的期权有1/3的Vega敞口对应第一个0-30分段，有1/3的敞口对应第二个30-60分段，有1/3的敞口对应第三个60-90分段）。交易者需要考虑分块的不均匀性，对于近端的时间切片比较窄，末端比较宽，那么一个一年的期权可能呈现如下状态：50%的敞口在180-360分段；25%的敞口在90-180分段；9.33%的敞口在0-30、30-60和60-90的分段上。表4展示了如何拆分敞口。

表4.传统分段敞口的拆分步骤

多因子Vega

高级的Vega处理方法包括建立远期波动率的相关性矩阵。
第一步：建立一个远期分段变化百分比的相关性矩阵，比如时间切片成0-30、30-60、0-90、90-180、180-270、270-365、365-730，以此类推。通过历史分析，可以得到不同分段间的相关性。（见表5和表6）

表5.波动率分段的相关性矩阵

表6.变化量的年化波动率
这类相关性矩阵会出现的统计问题主要是，过去多久的历史数据是有意义的。太长的采样周期所包含的历史波动率行为可能和现在完全不同，太短的采样周期存在可能损失统计意义的风险。另一个问题是涉及如何选择处理相关性的线性方法，可能不宜使用最小二乘法处理。
第二步：通过简单的矩阵运算可以得到一个以数字表示的最终敞口。这种分析除了解释Vega的权重之外，还有敞口的稳定性。相邻的分段会表现出更强的联动性，它们之间的敞口比两个分隔较远的分段敞口更好地相互抵消。远期分段的波动率是：

接着交易者通过波动率变化10%（即波动率从15%变动到16.5%带来的损益）的Vega来建立敞口向量E。由于交易头存中的波动率存在非线性，敞口通过一个局域范围来计算更好（比如这里的10%），而不是把波动率变为0来获取一个可能是被严重扭曲的“面值Vega”。

然后交易者建立远期波动率的相关性矩阵：方差的单位对应于波动率的百分比变化。通过计算时间序列的自然对数之差可以得到：

E的转置再乘M，再乘以E，得到的数字就是整体波动率水平变动一个标准差的损益。
例如：之前的敞口表见表7。该敞口用单因子加权波动率架构，展示出头寸整体是平的（见表8）。可以通过传统的方法重新组成“原始”的分段来分析头寸，Vega（0，90）可以通过中间的分段来重新组成：
Vega(0,90)=Vega(0,30)+Vega(30,60)+Vega(60,90)
该头寸的在险价值是21000美元，也就是说根据精确地历史数据，尽管头寸是平的，但平均每天会有21000美元的波动。

表7.分段敞口

表8.单因子分段敞口
除了时间分段，一个有趣的做法是加入潜在偏度位移。可以进行平移、旋转和凸性改变。如以下三图所示。

一阶：平移（图9）

二阶：旋转（图10）

组合变化（图11）

波动率曲面

波动率曲面是市场上隐含波动率的值通过到期时间和行权价的函数来表现。它倍用来获得“局部”波动率曲线。显然局部波动率相对于远期波动率就好比是对角线价差相对于日历价差。
同一个行权价上的买权、卖权在相同的波动率上交易，毫无疑问满足了买、卖权评价关系。相对原始行权价来说，“价值状态的百分比”指标更有意义。通常这个倍定义为“log(标的资产/行权价)”。图12展示了价值状态的百分比的波动率曲面例子，图13展示了对应着波动率作为行权价和到期时间的函数。

图12.波动率曲面

图13.波动率作为远期与行权价比例的函数

使用方格法进行风险管理

把敞口按照时间段拆分得到波动率矩阵来计算多因子Vega和测试对冲稳定性的方法，同样适用于把头寸拆分成行权价与到期时间的方格阵。这种方法的优点是可以揭示头寸相对不同形变的敏感度。例如对偏度的稳定性，见图14。

图14.通过方格拆分Vega
方格法是通过把头寸分割到单位方格内，然后估算每个方格的Vega。对于有“偏度”的市场，这种做法是有必要的。之后交易员计算不同方格之间波动率的相关性矩阵来更清晰的描述风险。这种方法同样对于偏度明显的产品很有必要。最终Vega的敞口可以通过计算一个很大的矩阵，然后重复运用之前所说的多因子Vega的方法获得。

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