期权波动率专题1-- 波动率微笑（4）

如何刻画波动率微笑？

波动率微笑是一条曲线。描述曲线时有两个重要特征，曲度（curvature）和偏度（skew）。

曲度分为凸性（convexity）和凹性（concavity）。
偏度分为左偏（left skewed 或negatively skewed）和右偏（right skewed或positively skewed）。

1 曲度

如下图所示在一个曲线上任意两点之间连线，如果连线位于曲线上方，那么这个函数具有凸性（如图一），如果位于曲线下方，那么这个函数具有凹性（如图二）。

对于波动率微笑，如果凸性越大代表两侧高于中间的越多。如下图绿色曲线有更大的凸性。

2 偏度
不同于正态分布（Normal distribution) 曲线两侧对称，左偏或右偏的分布并不对称。左偏（负偏）的分布左尾更肥（fat tail），而右偏（正偏）的分布右尾更肥。如下图。
在金融市场中收益一般都是左偏分布。以股市为例，即多数时候，每天有小的正收益，而少数几天会有极大的负收益。这就是典型的左偏分布。

下图是左偏分布对应的波动率微笑。可以明显发现，波动率微笑的左测更高。

下图是右偏分布对应的波动率微笑，可以看见波动率微笑右测更高。

在汇率期权（curreny option）市场，我们用三种期权可以刻画出一条波动率曲线。

第一种：平价期权（ATM)。平价期权定义了对应strike 的隐含波动率。

第二种：蝴蝶期权（Butterfly或BF)定义波动率微笑的曲度。

在到期日相同的前提下，用25delta 看涨期权隐含波动率和25delta看跌期权的隐含波动率的均值减去ATM（即50delta）的隐含波动率。简单来说就是两侧和中间的差。
BF25 = (25 Delta Call + 25 Delta Put ) /2 – ATM
BF衡量的是波动率微笑的曲度，即两侧的高度，又称翅膀（wings）如下图。

第三种：风险逆转期权（risk reversal 或 RR）定义波动率微笑的偏度。
RR是计算同样delta 看涨和看跌的隐含波动率之差。简单来说就是两侧的差。

RR25 = 25 Delta Call – 25 Delta Put。如下图

市场报价（market quotations）

因为给定波动率用BS公式可以直接求出价格，所以外汇市场期权价格都是以波动率形式给出的。
对相同maturity的期权，一般来说有5个报价，如下图

下图分别是Bloomberg 和 Reuters 的报价。

波动率微笑加上波动率的期限结构（term structure）共同构成波动率曲面（volatility surface）。在交易时我们既可以交易波动率微笑，也可以交易期限结构。掌握波动率微笑对于波动率交易至关重要。

马上圣诞节了，祝大家周一工作愉快。

享受最后的周末。

明天见