期权波动率专题3-- Gamma 交易基础

Gamma交易的本质是凹凸性。

只要是买期权，不管是call还是put，payoff 都是凸函数，对标的物价格为凸性。Short 期权不管是call还是put ，payoff都是凹函数。

图1

图2

图3
如图1，2，3 long call，long put，long straddle 都是凸性。
凸性有下面几个特征：

1 凸性即二阶导数大于0。所以只要是买期权就是long gamma。
2只要是凸性，期权时间价值为正。所以随着时间流逝期权时间价值不断减小（time decay），即每天的成本是theta 。

3期权payoff对volatility为凸性。即 vol gamma大于0 。所以，做vega hedge时可以向gamma hedge一样买卖vanilla option。在vol高时卖在vol低时买。
4 买期权vega大于0。

总结一下只要是买期权等价于long gamma，long vega，short theta。（买凸性，买波动率，受到time decay影响）。
反之卖期权就是short gamma，short vega，long theta。

下面我们用泰勒展开（taylor expansion）看一下在非常短的时间里期权的价值变化。我们假设波动率为常数，那么期权价值就是关于时间和标的资产价格的函数。

如果在非常短的时时间内，delta 对冲掉，则期权pnl变为

图4

如图4所示，价格变化后，期权gamma 的 payoff 为

可以看出 gamma交易和标的物变化的平方成正比。所以无论方向只要标的物价格变化就会有gamma收益。（非方向性）。盈亏实质来源于期权收益对标的物价格的凸性。做delta对冲，冲掉了我们不想要的方向性风险，保留了我们想暴露的风险（gamma）。

所以delta 对冲的 gamma pnl主要是gamma 和 theta的权衡（tradeoff）。
买期权，gamma为正，theta为负。所以theta就是我们的成本。每天标的价格波动必须大于一个临界值，我们才能通过交易gamma获利。

图5

如图5所示，我们的临界值为

或者表示为

图七的公式我们进一步理解一下，即想要盈利每天的实现波动率必须大于隐含波动率。但注意这只是必要条件不是充分条件。

Gamma交易最终盈亏取决于gamma的大小而gamma的大小不是定值。这个公式只适用于很短的时间间隔，如果计算在整个期权生命周期中gamma pnl，需要沿着标的物价格路径进行积分。

同时，用vanilla期权通过delta hedge来做波动率交易是不纯粹的波动率交易，因为gamma既会受标的物价格影响，又会受期权到期日的影响。

图6

如图6所示 gamma 在strike 附近最大在两侧减小所以用vanilla期权交易gamma 时，标的物价格变化会对最后的pnl有很大的影响。也就是说gamma交易是路径相关的。

图7

如图7 所示，时间对不同moneyness 的 gamma 影响也不同。

圣诞节快乐！