【波动率微笑】离散对冲对于损益的影响

除非我们可以根据实际波动率进行期权的再平衡调整，否则单纯提高复制期权的调整次数并不能显著降低复制策略带来的损益误差。如果无法按照实际波动率来对期权进行对冲，边际损益dP&l(I,R)中始终包含一个跟（ΔI-ΔR）dS成比例的变量。而dS项会给损益带来一个随机噪声，这个随机噪声的标准差不会因为对冲频率的增加而减少。实际波动率跟对冲波动率差异越大，这个随机变量也就越大，通过提高再调整频率而降低误差的效果就越差。
当对冲的频率等于实际波动率的时候，提高对冲频率有助于提高期权复制的精确性。对冲频率提高4倍，复制的误差会减少一半。
对于一个多头期权头寸来说，有如下结论：

# 如果你能够正确预测未来的实际波动率，并且以此为依据进行连续对冲，你的损益就应该恰好等于期权的价值。

# 如果你按照实际波动率进行离散对冲，损益中会包含一项随机变量。随着对冲频率的提高，损益就会越接近BSM模型计算的期权价值，对冲误差会按照1/√n的速率递减，其中n表示对冲再调整次数。
# 如果隐含波动率不等于实际波动率，你按照隐含波动率进行连续对冲，损益就会表现出路径依赖，并且具有不可预测性。损益的最大值是在期权gamma值取最大时，也就是在期权到期日前的某时刻，股票价格接近于期权行权价的时候。

# 如果按照隐含波动率进行离散对冲，你的损益会表现出路径依赖以及不可预测性，此外，损益中也会包含一项随机变量，这是由于（这种情况下）对冲只具有瞬时精确性，在再调整区间内对冲是不精确的。

在实践中，交易员最喜欢的是按照隐含波动率进行对冲。隐含波动率与实际波动率差异越大，交易员通过增加对冲再调整次数带来的好处就越少。