波动率交易的路径依赖与其应用

波动率交易的路径依赖与其应用

在上一篇文章中，笔者提到了波动率交易的盈亏是由买卖期权的隐含波动率与未来兑现的实际波动率之差决定的，公式为：

（买入期权损益）
文章发布后，有朋友问起为什么是这样一个公式，在本文中我先来梳理一下这个公式的来源。

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作为比特币期权博文，推理过程中我们就适当应用简化手段，按照Deribit交易所的处理方法，把无风险利率r设置为0。

假定我们使用隐含波动率作为计算期权Delta的依据，并且该隐含波动率在整个交易期间是常数，不发生变化。

现在，我们建立一个组合头寸，买入权利金为Vi的看涨期权（在隐含波动率Implied Volitility, i下价值为Value, V的权利金），并用Δi的标的去对冲（在隐含波动率i之下计算得出的Delta）。

Forward, F为比特币永续合约或者期货的价格，那期货对冲头寸的价值是－ΔiF 。

整个头寸的现金情况为：支付Vi购买期权，卖出期货视作收到现金（贴现率为零），从而总量为－Vi＋ΔiF。

初始持仓构成和价值如下：

经过了一段微小的时间dt之后，期货价格变为F+dF，期权的价值变为Vi＋dVi，标的价值－ΔiF－ΔidF（卖出Δi的期货，乘以新的期货价格F+dF，展开），由于没有利息也不存在分红，现金价值不变，依然为－Vi＋ΔiF 。从而获得下表：

经过dt之后，持仓构成和价值如下：

拿每个组成部分的价值去减去初始构成时的价值，获得经过dt之后的盯住市场波动率的瞬时损益

应用伊藤引理：

Θ
为Theta，期权的时间价值

为使用隐含波动率计算得出的Theta

σ
为Sigma，注意这里是真实波动率，不是隐含波动率。因为这一项和标的的真实随机过程有关，和波动率市场对标的未来波动率的预测无关。
Г
为Gamma，期权方向的加速度

为使用隐含波动率计算得出的Gamma

从而

基于贴现率=0，看涨期权的时间价值可由BSM公式推导出：

而

可得

从而

这是瞬时损益。将这个瞬时损益从t0积分到到期T，获得整个持有期间的损益：

（买入期权损益）
仔细观察这个公式，Γi这个项目是整个损益路径依赖的来源。

我们知道Gamma的分布是在行权价附近最大化，越远离行权价是越小的。

即便实际波动率高于买入的隐含波动率，如果在刚买入没多久，价格就远离行权价很多，从而Gamma变得很小，那整个损益就会缩小很多。

所以如果你Long Gamma的话，你会希望币价走得暴烈一些，而且在行权价附近来回倒，这样收益是最大化的。

接下去问题来了，当行情走得暴烈的时候，它会在同一个位置来回倒吗？一般都是先有个方向，走出个大的漂移，然后在新的位置才会来回倒。

买入平值期权Long Gamma就处于不利地位，因为当真实波动率起来的时候，标的价格的中心就偏离了行权价了，从而降低了Long Gamma的收益。要修正这一弱点，Long Gamma玩家可能不仅仅要对未来真实波动率有一个预测，还需要对币价可能的落脚点有一个预测。

然而当偏离平值去买入期权时，由于波动率微笑的存在，虚值期权的隐含波动率要比平值还要高，为了提高Long Gamma的收益，需要支付更高的成本。

将立场倒转，如果是作为波动率的卖方，其损益将为：

（卖出期权损益）
卖出平值期权的玩家，在起始位置会获得最大的Gamma。

当币价一路平稳到期，币价的中心估计没有偏离行权价多少，从而Gamma始终处于最大化，最终损益也将最大。

当币价开始狂暴，狂暴地越凶猛，很可能偏离行权价越远，Gamma就被大大缩小了。最终损失会大幅收缩。

没错，这是一个圣杯，卖出波动率赚钱时收益最大化，亏钱时损失最小化。

通过把损益公式转化为Vega表示的近似解，我们可以进一步做个模拟测算。

首先来进行近似解的转化，这也是上一个帖子中未曾展开，也有网友问及公式从何而来的问题。现在一并做个解答。

根据BSM公式延伸推导，可以得出：

而

可得

从而

塔勒布在《动态对冲》一书中提到一句话：

The vega is the integral of the gamma profits (i.e., expected gamma rebalancing P/L) over the duration of the option at one volatility minus the same integral at a different volatility.
...
Mathematically, it is:

翻译一下。Vega（收益）是期权存续期间以一个波动率获得Gamma收益的积分（即通过反复平衡Gamma/Delta获得的利润）减去另一个波动率获得的Gamma收益的积分。

其实用公式表达是这个意思：

将Vega和Gamma的互相转化的公式，代入到卖出波动率的损益公式中，我们把损益的基准换成Vega：

继续推进我们的近似解：

（卖出期权损益）

是Vega进行标准化后的数值，它将不会随着到期时间的临近而改变，而只会和Moneyness有关，即只与当前币价和行权价的距离远近有关。可以用距离行权价有几个标准差去测度。

（按年标准化后的Vega金额）
波动率下降，初始：

Vega
=1000

=100

=50
PNL = 1000 X 50 = 50,000

当波动率上升时，由于币价偏离了行权价很多:

Vega
=500

=50

=100
PNL = 500 X -50 = -25,000

从而收益和损失是不对称的。
PNL = 1000 X 50 = 50,000
希望这篇文章对大家的思考和交易有所助益。

Jeff Liang
2020年5月21日

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