期权价格可以为负吗？面对负值的油价，芝商所究竟如何调整期权的结算价？

本周的第一天，WTI五月期货合约的价格一度暴跌至-40美元/桶，这造就了期货史上价格为负的奇观。不过，这场奇观的演绎还没有结束，今天早间的一则新闻：“受到国际油价暴跌等因素的影响，当地时间4月21日，芝加哥商品交易所（CME Group）决定于4月22开始允许报价为负的原油期权上市。”
看到这些消息，一个期权交易者关心的问题来了，标的价格为负，期权价格也会为负吗？究竟是期权价格为负还是行权价格为负？交易所又是用什么模型来对期权价格进行结算呢？带着这些问题，我们可以在芝商所的官网上寻找到相关的信息。图：CME关于结算价调整计划的一份公告

数据来源：CME Group

最后查询到的结果是：芝商所已经早有准备，在今年4月8日公告了一份关于结算价调整计划的文件，声称“对于任何月份的WTI原油期货，当它的结算价低于8美元/桶时，WTI期货期权的结算价计算模型将从原来的模型切换到Bachelier模型”。看到这份公告的瞬间，我心中不由地感叹：“期权定价百年的历史，绕了一圈，最终竟然绕回到了原点”。为什么这么说呢？期权被誉为衍生品皇冠上的明珠，而期权定价又是无数聪明数学家前仆后继钻研的领域。在目前的业内，不论是交易所，还是期权做市商，绝大部分机构最常用的期权定价公式都是被誉为“集大成者”的布莱克-斯科尔斯-默顿公式（简称BSM公式），它就像一个中央处理器一样，一面把影响期权价格的五大因素（标的价格、行权价格、无风险利率、波动率、距离到期时间）输入进去，然后用一个公式输出对应的认购与认沽期权价格。图：BSM期权价格公式

不过，在这个美丽公式的背后，却蕴含着众多约束和假设，这些假设被后世的精英们不断地挑战、不断地优化。可是讽刺的是，在那么多的假设前提里，有一条假设几乎被认为是“万年靠谱”的一条假设，它便是：“标的价格的分布服从对数正态分布”，言下之意就是，标的价格可能的区间在0到正无穷大之间，标的价格不能为负。那么，当标的价格为负时，BSM公式究竟还能不能用，回答是不能用了！由于它触犯了模型假设的“天条”，不论您用excel还是matlab，都会显示错误。图：Matlab环境里，输入负的标的价格会得到出错的反馈

可是在这“活久见”的市场里，美油期货价格确实已经跌破过0值，这个时候，BSM公式已然失效，期权报价怎么报？就在这个时候，从芝商所的公告中，我们惊讶地发现，一切回归到了原点！——芝商所允许在一定的条件下，把结算价模型修改成了巴舍利耶（Bachelier）期权价格模型。这是个什么样的模型？我想，对于学过金融数学的朋友，这是一个令人无限敬仰的名字！若要真的追根溯源，或许金融数学的起源应该在1900年的巴黎，当时的开山鼻祖不是别人，正是法国数学家——路易斯.巴舍利耶（Louis Bachelier），他在1900年一篇名为《投机理论》的博士论文中，首次用描述热循环的扩散方程来刻画股票市场的价格，并探索出了最早的期权价格公式，这个期权价格公式就是Bachelier定价公式。图：Bachelier年轻时照片

只是可惜的是，他的论文当时被所谓的权威们给轻视了，甚至都没有找到一份像样的教职，直到50年后，他的论文才被美国经济学家保罗.萨缪尔森（Paul.Samuelson）在图书馆里重新翻出并大大用于了期权定价的领域中。 Bachelier的期权价格公式长成下面的形状，它也是一个显性的公式，只是它背后的假设要比BSM模型更为宽泛，它假设“标的价格服从正态分布”，这就意味着它允许标的价格可以取负值，标的价格的取值可以位于负无穷大到正无穷大之间。图：Bachelier期权价格公式

上世纪50年代，Samuelson把“标的价格服从正态分布”修改为“标的价格服从对数正态分布”后，几乎没有任何人会怀疑这一点，都觉得这是一种飞跃性的优化。然而，当标的价格真的出现负数时，芝商所的选择让我们看到了一种“原始的回归”，选择了最早的Bachelier期权价格模型来计算结算价，这就是所谓的“一切回到原点”吧！有一些消息报导称，美油期货价格为负，美油期权价格也会为负，这种说法是不是正确呢？模拟胜于雄辩！我们若用传统的巴舍利耶定价模型做个模拟，答案就会自然揭晓了！假设标的价格为0，波动率为50%，距离到期还剩一个月，于是针对不同的行权价，它们所对应的Bachelier估算价格大致如下面两张图所示：图：行权价格在-30到30之间的Bachelier估算价格

图：平值附近的Bachelier估算价格

继续假设标的价格为负-10，波动率为50%，距离到期还剩一个月，于是针对不同的行权价，它们所对应的Bachelier估算价格就如下面这两张图所示：图：行权价格在-40到20之间的Bachelier估算价格

图：平值附近的Bachelier估算价格

从理论上来说，不考虑超买、超卖等供求关系导致的偏差，即便用Bachelier公式对期权进行结算，期权的价格也不会出现负值，会出现负值的是标的价格，或是交易所加挂的行权价格。所以，早间新闻里，所谓“允许报价为负的原油期权上市”，应该指的是行权价格为负。通过上面的估算，我们还会发现，用传统的Bachelier模型计算出的期权价格，除了平值附近的期权，其他期权的时间价值很小、甚至为0。这一点我们很容易想象，由于它允许标的价格可以取一切的数值，也就是标的价格今天30，明天有可能会变成-30，因此对任何一个行权价的认购期权，一旦我行权后拿到标的，标的都有很大的概率跌到0以下，于是这份期权的时间“魅力”就极大程度地降低了！当然，上面的估算只是按照最传统的巴舍利耶期权定价公式（1900年）进行估算的，芝商所很有可能会根据油价的历史数据适当调整美油价格分布函数的峰度，但无论如何，在当前的价格乱局下，芝商所求助于一百多年前的定价模型来度过运行上的难关，这真的称得上是一种百年难遇的轮回了吧！