学习笔记|含有嵌入式期权债券的价格波动性

含有嵌入式期权债券的价格包含两部分
第一部分是如果该债券不含嵌入式期权时的价格，也就是无期权债券的价格
第二部分是所含有的嵌入式期权本身的价值

换句话说就是
含有嵌入式期权债券的价格等于无期权债券的价格加上或者减去嵌入式期权的价值

最常见的两种嵌入式期权是可赎回期权（或者可提前偿付期权）和可售回期权
一种是可赎回期权，当市场利率下降时，发行者或许会在计划的本金还款日之前，提前赎回或者提前偿付负债义务。
另一种嵌入式期权是可售回期权，该期权赋予了投资者要求发行者以特定的价格购买该债券的权利。

今天我们介绍一下含有嵌入式期权的债券的价格和收益率的关系以及价格波动性的应用。

一、含有可赎回期权和可提前偿付期权的债券

含有可赎回期权和可提前偿付期权的债券被称为可赎回债券。

对于可赎回债券，形成价格和收益率这种非寻常关系的原因如下：

当可比较债券当前的市场收益率高于可赎回债券的票面利率时，
发行者不可能赎回债券。
由于债券不可能被赎回，所以可赎回债券与可比较的无期权债券的价格收益率曲线很相似。
结果，当当前的市场利率高于可赎回债券的票面利率的时候，可赎回债券将会被看作无期权债券一样进行估值。

然而，由于可赎回债券仍存在可赎回期权，这些债券不会完全无期权债券一样进行交易。这是因为，即使当前市场利率高于可赎回债券的票面利率，但在未来，仍然有可能当利率下降时，发行者将赎回债券。而对于无期权债券，不存在这种可能性。

随着市场收益率下降，关心的是发行者将赎回债券。

发行者并不是在市场利率一降到低于票面利率就必然会执行赎回权。
但是嵌入的可赎回期权的价值会随着收益率从高于票面利率逐渐接近票面利率而上升。

比如，可赎回债券的票面利率为7%，当市场收益率为7.5%时，发行者很大可能不会赎回该债券。但是当前的市场收益率水平会使得投资者担心，如果收益率进一步下降的话，该债券最终会被赎回。

可赎回债券的价值等于无期权债券的价值减去可赎回期权的价值。

随着收益率下降，可赎回期权越来越有价值，因此相对于无期权可比较债券的价格，期权会减少可赎回债券的价格。

如果熟悉期权理论的话，这一特性也可以这样表述：

当票面利率低于市场收益率时，嵌入的可赎回期权被称为“虚值期权”（或者“价外期权”）；
当票面利率在市场利率之上时，嵌入的可赎回期权被称为“实值期权”（或者“价内期权”）。

某一指定收益率相对应的可赎回期权的价值可以用无期权债券的价值和可赎回债券的价值之间的差异来衡量。
当收益率位于低水平时，可赎回期权的价值很高。

下面来比较一下可赎回债券和无期权债券的价格波动性

回想一下无期权债券的价格波动性的第四个特性：

特性4:对于收益率大额的变化，无期权债券的价格上升的百分比大于价格下降的百分比。
（注意：特性四完整的表述是：对于收益率相同数量的大额的变化，收益率下降引起的债券价格上升的百分比大于收益率下降引起的债券价格下降的百分比。以下为了表述简便，直接将“收益率下降引起的债券价格的上升”表述为“价格上升”，将“收益率上升引起的债券价格的下降”表述为“价格下降”）

对于可赎回债券也是这样吗？
尤其是可赎回债券与无期权债券的价格收益率曲线相分离的部分，这个特性四还成立吗？

在该部分价格收益率曲线上，特性四将不再成立，而是相反。
也就是说：在该区域内，对于指定的大额的收益率变化，债券价格的升值小于价格的下降。

这是可赎回债券的一个重要特性：
当收益率大额变化时，债券价格的上升小于债券价格的下降。

这被称为“负凸性”，在数学上，这种形状称为“凹状”。

需要注意的是，可赎回债券并不是在所有的收益率水平上都表现出这种特性。

当收益率高（相对于票面利率）的时候，可赎回债券的价格收益率曲线和无期权债券的价格收益率曲线相同，因此，当收益率处于高水平的时候，可赎回债券同样呈现出资本利得大于资本损失的特性。

市场参与者将可赎回债券的价格收益率曲线与无期权债券的价格收益率曲线相分离的部分称为呈现“负凸性”，将无期权债券的价格收益率曲线称为呈现“正凸性”。
这样的话，可赎回债券的价格收益率曲线在利率水平低的区域呈现出负凸性，在利率水平高的区域呈现出正凸性。
在负凸性区域，当收益率大额变化时，债券价格的上升小于债券价格的下降；而在正凸性区域，当收益率大额变化时，债券价格的上升大于债券价格的下降。

从图形中可以看出，当一个债券呈现出负凸性时，随着收益率下降，债券的价格是压缩的。也就是说，在一定的收益率水平下，当收益率下降时，价格只有非常小的上升。当债券处于这个区域时，该债券表现出“价格压缩”（price compression）。

二、含有可售回期权的债券

可售回债券的持有者可以在契约约定的日期按照约定的售回价格售回债券。
通常情况下，售回价格是面值。

对于投资者，优势是，当收益率上升引起的债券价格下降到可售回价格时，投资者将执行可售回期权。

当售回价格等于面值时，这就意味着，当收益率上升到票面利率以上时，债券的价值将会下降到低于面值，投资者将会执行可售回期权。

可售回债券的价值等于无期权债券的价值加上可售回期权的价值。

因此，可售回债券的价值和无期权债券的价值之间的差异就是嵌入的可售回期权的价值。

在低收益率水平区域（低是相对于票面利率而言的），可售回债券的价格与无期权债券的价格大致相同，因为可售回期权的价值很小。
随着利率上升，可售回债券的价格下降，但是价格下降的幅度小于无期权债券价格下降的幅度。

在一个指定的收益率水平上的可售回债券的价格与无期权债券价格的差异是该收益率水平下可售回期权的价值。

当收益率上升到一个水平，在该水平下，债券的价格将下降到可售回价格以下，那么债券在这些收益率水平下的价格就是可售回价格。

中英文对照

embedded option 嵌入式期权
call option（在债券市场中）可赎回期权
put option（在债券市场中）可售回期权
prepay option 可提前偿付期权
prevailing 盛行的，当前的
necessarily 必需的，必定的，必然的
negative convexity 负凸性
positive convexity 正凸性
compress 压缩
price compression 价格压缩
redeem 赎回，偿还
specified 指定的
indenture 契约
callable bond 可赎回债券
putable bond 可售回债券

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