期权书钞：《动态对冲》与影子gamma

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来源：上海证券报

作为基础希腊字母中唯一的二阶导数，gamma的重要性却从来应当归入第一序列。它可能是盈利之源，正gamma在市场的每一次波动中都为投资者积攒更有利的delta头寸。它也可能暗藏风险，非中性的gamma使此一时的delta中性头寸，在下一刻就因股价的轻轻移动而偏离中性。

它还可能是悬于头顶的达摩克里斯之剑，震荡市场中的负gamma头寸将让风险管理者面临两难选择，是低卖高买对冲逐渐侵蚀盈利，还是放任头寸暴露而彻夜难眠。欲要管理好gamma头寸，首先需要准确地测量它。塔勒布在《动态对冲：管理普通期权与奇异期权》一书中，对于gamma提出了一些颇有参考意义的看法。
　　
在实务中，仅通过投资组合当前gamma值来度量风险，至少有以下几个问题：
　　
（1）由于gamma随时间变化、不同到期月份合约波动率敞口可能不同等原因，跨期合约gamma不能简单相加，如组合中有+100的3个月到期合约gamma和-100的6个月到期合约gamma，不意味着组合没有gamma风险；
　　
（2）随着组合内期权合约数量的增加，gamma的“局部性”特征将愈加明显，例如gamma可以在股价100元时为正，101.65元时为负，在股价更高时又为正；
　　
（3）股价变化与波动率变化相关，未考虑波动率变化的gamma值计算可能存在偏差。
　　
塔勒布对于上述问题或多或少介绍了一些处理技巧和思路，在此重点介绍考虑波动率变化的gamma调整方法。
　　
传统gamma的定义相信大家都已非常熟悉，即股价关于标的价格变化的二阶导数：
　
Gamma=F/U
　　
塔勒布则提出了影子gamma（Shadow Gamma）概念，即在计算delta变化时，考虑波动率的变化及其对头寸的影响。影子gamma定义如下：初始时标的资产价格为，有x’< x0 < x，且初始时标的波动率为V。假设标的资产价格从x0移动到x时，波动率会提升Sig(x)。则
　
影子上Gamma=（Delta（x,V+Sig(x)）—Delta（x。,V)）/（x—x。)
　　
影子下Gamma=（Delta（x。,V）—Delta（xˊ,V+Sig（xˊ）)）/（x。—xˊ）

关于影子gamma，有几点说明：
　　
（1）影子gamma以离散代替连续，分别观察股价向上和向下波动后的gamma。这是为了使测度更为准确，例如在某类组合中，股价向上或向下变动时，两边的gamma符号相反，采用传统方式计算可能获得一个具有欺骗性的轧平头寸。
　　
（2）有大量研究讨论关于波动率与资产价格变动的关系。例如在许多市场，波动率和收益率负相关，且负收益引起的波动率上升幅度高于正收益引起的波动率下降幅度。又如，波动率变化与股价变化不一定线性相关，小幅股价波动不一定带来波动率变化，股价变动突破一定阈值后则可能带来波动率跳跃。通过对特定市场的长期观察，凡是较有把握进行预测的波动率特性，都应当纳入包括影子gamma在内的风险分析中。
　　
（3）因为包括波动率变化存在非线性等复杂特性，塔勒布在书中所举的例子大多使用场景分析，而非数学建模，而这也是他推荐交易员在实务交易中应做的。
　　
（4）股价变化不仅可能带来波动率变化，还可能带来包括利率等其他因素的变化，为此他还提出了考虑利率和波动率的高级影子gamma。
　　
最后，以塔勒布虚拟的“希达维亚选举”案例来说明为什么需要使用影子gamma。
　　
假设希达维亚国正面临1个小时后的决定性选举：是否成为无政府国家。选举前6个月，希达维亚国风平浪静，所有到期期限期权的波动率都是14%，然而随着选举气氛变得紧张，现在一个月到期期权的波动率已升到20%。假设一位交易员持有的头寸全部都是一个月到期的不同行权价的期权，该交易员对自己的头寸进行了表1的场景分析。其中，横向为波动率假设（14.7%、20%、29%），纵向为资产价格假设（从93到107），表1展示了不同波动率及资产价格假设下的组合损益和delta值。从表中标注的“初始点”数据可以看到，按传统方法计算，该交易员当前的持仓delta为0，gamma在当前价格附近也基本是平的。
　　
表1 希达维亚选举场景分析

　　
通过与同行讨论，该交易员对于不同选举结果下资产价格、波动率等变量情况预估如下：

　　
假设1小时后仅有表2所述的两种状态，不存在中间对冲交易，因此交易员只应关注表1中对应于两个场景的组合损益及delta情况。可以看到，场景A下资产价格下降，波动率上升，组合亏损181；场景B下资产价格上升、波动率下降，组合亏损15。因此传统gamma测度给出了关于组合风险的错误判断，在影子gamma的维度下，实际上该组合是卖空gamma的，这在剧变将至的当下恐怕不是个合适的选择。希望这名交易员还来得及在1小时内调整头寸！