由“负油价”引起的期权定价模型“复古”？

受前一交易日“负油价”的剧烈冲击，国际油价再度遭到重挫。当地时间4月21日，美油6月合约收跌35.78%，报13.67美元/桶。盘中还一度暴跌近70%，最低报6.5美元/桶。芝加哥商品交易所（CME）称，美原油6月合约当日触发三次熔断，其中美国中部时间凌晨4:10和4:33下跌触发两次熔断，随后在凌晨4:45又一次触发熔断。
4月22日一大早，笔者看到CME下发通知，为应对能源期权标的价格为负的现状，根据4月8日已经做好的技术安排和预告，CME将上线“负行权价”的期权合约并将对应的期权定价模型调整为巴舍利耶模型。

图：CME Clearing综合清算平台公告，2020.4.21

在过去的数十年中，布莱克-斯科尔斯-莫顿模型（BSM模型）作为衍生品定价模型的金科玉律，在实践中得到广泛应用。为何在原油期货价格历史性地变“负”的情况下，百年交易所改用巴舍利耶模型？这是因为目前主流的期权定价模型都是基于标的资产价格不为负的假设。那么，巴舍利耶何许人也？

120年后“天才富二代”再现，资产价格真的可以为“负”
1900年，巴舍利耶（Louis Bachelier）的博士论文《投机理论》THE THEORY OF SPECULATION不仅第一次对布朗运动给出数学描述（爱因斯坦1905年才从物理学的角度解释了布朗运动），构建了资产价格随时间变化而变化的模型（随机游走模型），由此给出了衍生品定价的数学思路，也开启了金融数学的时代。
巴舍利耶的一生颇为“怀才不遇”，原为“富二代”的他成年不久就遭遇双亲身故，辗转多年才进入巴黎大学学习。期间，为了补贴家用，巴舍利耶在当地证券交易所兼职。他的博士论文《投机理论》不仅提出了期权定价取决于时间和标的资产波动率，更涵盖了后面几十年多个数学和金融学的重要成果，却由于理论太过超前，这篇论文在当时并没有得到足够重视。直到1955年，著名经济学家保罗-赛缪尔森发现这篇论文，并将之收录至自己论文集。
巴舍利耶定价模型的基本原理包括（1）假定市场是充分流动的，标的资产价格在连续变化；（2）标的资产在“真实价格”附近波动；（3）标的资产价格变化相对缓和。根据巴舍利耶公式，期权认购和认沽的表达式可以写成下面的形式：

尽管过去了120年，巴舍利耶公式并没有过时。比如，我们仍然可以通过巴舍利耶公式推导出平值期权（=X时）的数值，即。

巴舍利耶定价模型与B-S-M定价模型，孰优孰劣？
在过去的金融教材和实践中，由于巴舍利耶定价模型的假设前提是资产价格遵循正态分布，假设资产价格变化过程是绝对的布朗运动，因此标的资产价格有为负的可能——这违背了市场常识，导致巴舍利耶定价模型没有得到足够的重视。然而，这一开创性的公式给出衍生品定价的基本思路：标的资产价格变化是一个可以用布朗运动描述的随机过程——衍生品价格是这一随机过程的函数——通过求解随机微分方程得到衍生品价格模型。
此后，期权定价模型经过Sprenkele公式、Boness公式和Saumelson公式，不断调整，最终Black和Scholes教授在多个假设前提下通过无套利理论推导出B-S模型，BSM模型中关于标的资产的认购和认沽期权定价公式如下：

实际上，巴舍利耶模型和BSM模型的异同并不代表绝对的优劣，从二者相同点来看：
（1）两个模型对市场的假设基本一致，都发轫于巴舍利耶提出的“有效市场”基本假设，巴舍利耶模型就是无套利原理的简单形式；
（2）两个模型都要求标的资产价格连续变化（尽管现实难以实现）；
（3）两个模型对标的资产波动率和时间价值具有相同的单调性，即均为严格单调递增；
（4）如果标的资产波动率和时间价值取值合理，两个模型的期权定价公式差别很小，巴舍利耶模型和BSM模型的理论期权价格之差在数量级。
而从二者的不同点来看：
（1）巴舍利耶模型要求标的资产价格围绕其“真实价格”波动，BSM模型不符合这一条件；
（2）巴舍利耶模型要求的资产价格波动率较小（论文中给出“息票”的数据约为2.4%），而BSM模型对资产价格波动率没有要求；
（3）巴舍利耶模型的假设从标准布朗运动出发，在模型的假设中标的资产价格是可以为负的，在现实中不合逻辑，而BSM模型从公司的有限责任出发，假定股价是不为负的；
（4）BSM模型价格关于σ的变化更合理。
（5）巴舍利耶模型确定的期权价格对标的资产价格变化更为敏感。
总之，巴舍利耶模型和BSM模型有相同的主要缺陷，但是只要σ和T的取值合理，两个模型的期权定价效果相差无几。当然，如果σ趋向于无穷大或者T趋向于无穷大时，BSM模型更有实际意义。

别慌！股票价格不会为负！
本次CME宣布上线“负行权价”期权，给一些境内期权投资者带来疑惑：“金融期权”会不会有可能遭遇同样的“厄运”？首先需要说明，原油期货价格为负在历史上属于首次，是基本面影响下期货空头对多头逼仓的极端行情，正常情况下基本不会发生。其次，从标的上说，商品由于承运、仓储、交割等多种原因，可能出现交易价格为“负”的现象或期货价格为“负”的现象，但是公司是作为以资本为基础的法人，不会出现股票价格为负的现象。
此外，巴舍利耶模型的适用对于期权定价而言仍是非常有限的，此次“出山”只是临时救火，目前主流的BSM模型等期权定价公式仍然是市场主流，投资者不必惶恐。
参考文献
THE THEORY OF SPECULATION,byL. BACHELIER,1900, Translated by D. May,2011
HOW CLOSE ARE THE OPTION PRICING FORMULAS OF BACHELIER AND BLACK-MERTON-SCHOLES? WALTER SCHACHERMAYER AND JOSEF TEICHMANN
《Bchelier模型与Black-Scholes模型的比较研究》，肖小勇

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