为什么平值期权的时间价值最大？

所谓时间价值（Time Value)就是期权价格和期权的内生价值（Intrinsic Value）之间的差。

我用Call Option(看涨期权）举例方便讨论，看懂之后Put是同样的道理。这里假设你的期权的收益函数(payoff function)是一个关于股票价格的连续函数，至于为什么在答案最后有讲。还有你从我的公式里面可以看出，我这里已经假设利率，波动率，到期时间以及行权价是常数，不过我下面说的不需要这个假设条件，只不过在方便讨论而已。
好了，让我把上面公式再写开

当
的时候，内生价值为零，此时我对等式左右对进行求导就得到

这个时候等式右边不就是期权的Delta吗？由于这是一个看涨期权，所以它的Delta是非负的，而Delta必须小于1。（我在答案最后有解释）
现在我们来考虑的时候，这个时候期权的内生价变成了不是吗？如果你再对等式两边求导得到的是

我概括一下

换言之，期权的时间价值在期权是虚值的时候(Out of Money)的时候在随着股价增加而增加，在期权是实值的时候(In the Money)的时候，期权的时间价值随股价增加而减小。所以..时间价值在期权平值（At the Money)的时候达到峰值。
就是这样，我还可以再严谨些，不过我懒了...还有看跌期权(Put)的情况反过来就好了。
为什么Delta的绝对值不能超过1？
你可以拿着期权定价公式去看Delta小于1，但是我们同样可以从直觉上来理解为什么必须这样。因为期权含有杠杠啊，而这是因为收益曲线是非线性的啊。好吧说通俗点，你看上图期权的收益函数，也就是内生价值曲线，它最低就是0，换言之相比于股票来说你的最大损失是确定的了。而Delta表示的是期权价格相对于股票价格的变动速率，由于期权内生价值的非线性，当股票价格变动的时候，期权价格的变动要小于股票价格。
为什么需要假设期权的收益函数(payoff function)是一个关于股票价格的连续函数？
当这个函数不连续的时候，比如说Digital Option,导数是不存在的，是无穷，这个时候Delta就不再绝对值小于1了，因为这个时候Delta是没有定义的。