美式期货期权平价套利原理及策略

美式期货期权平价套利原理及策略

自国内欧式期权各品种上市以来，经典的欧式期权平价公式（Put-Call-Parity,又称PCP平价原理）在期权上市初期便展现出较大的获利空间。众多机构投资者更是因此获得中国期权市场的第一桶金。针对目前上市的美式商品期货期权合约，美式期权是否具有PCP平价公式？本篇报告着重于对美式期货期权的平价公式及其原理进行详细介绍，同时结合大商所豆粕期权行情揭示美式期权的PCP 套利操作方法。

1. 美式期货期权平价原理虽然期货期权和vix.shtml" target="_blank" class="relatedlink">50ETF期权的标的资产不一致，但是欧式期货期权平价公式与50ETF期权类似，其PCP公式原理如下：

（1）
其中，
为欧式看涨期货期权的权利金，
为欧式看跌期货期权的权利金，
为期权的行权价格，
为期货初始价格，
为无风险利率。我们从（1）式可知期货价格行为类似于红利收益率
等于
的股票价格行为[1]。
进一步地，根据欧式期权和美式期权的关系
,我们可以得到美式期货期权的平价关系满足如下不等式（2），并可对其进行理论证明（理论证明详细过程可以参见附录）。

（2）
在理论证明过程中，我们分别运用
和
来表示欧式看涨期货期权和看跌期货期权的权利金；
和
分别表示美式看涨期货期权和看跌期货期权的权利金，无风险利率用
表示，这里所涉及的期权到期期限为
,同时令
时刻期货价格为
（
）。
2. 美式期货期权平价套利策略根据上述美式期货期权平价关系不等式（2）式
，我们可以进一步得到美式期货期权的套利策略方法。
（1）  若
,则投资者可以卖出美式看涨期货期权、买入美式看跌期货期权、持有金额为
的现金存款，同时持有期货多头合约头寸。关于该条件下的套利操作可参见下表1所示。
表1.
条件下的期权套利示意表

根据表1中的
条件下的套利示意表可知，在平仓了结头寸的t时刻，我们有套利的盈利为：
。
在
时刻，则有套利空间为：
。
（2）    若
,则投资者可以买入美式看涨期货期权、卖出美式看跌期货期权、持有金额为
的现金存款，同时持有期货空头合约头寸。关于该条件下的套利示意图可参见下表2所示。
表2.
条件下期权套利示意表

根据表2中的
条件下的套利示意表可知，在平仓了结头寸的t时刻，我们有套利的盈利为：
。
在
时刻，则有套利盈利空间为：
。
3. 美式期货期权平价套利策略实例3.1美式期货期权平价套利策略模拟行情实例

根据前述套利策略原理，根据豆粕期权的行情实施该平价套利策略。以
的套利实例来说明美式期货期权的套利策略的执行（这里不考虑交易费用和因缴保证金所引发的资金成本）。
2020年1月17日接近收盘时刻，标的资产为M2005，行权价为2450的看涨看跌期权存在
的套利机会，其行情数据主要如下表3所示。对于无风险利率的选择我们采用3月期限的SHIBOR。
表3.
下的套利行情机会

开仓:在策略执行上，投资者在发现套利机会时可以执行如下操作：
（1）卖出1手行权价为2450的美式看涨期货期权（权利金收入为1129.5元/吨）；
（2）买入1手行权价为2450的美式看跌期货期权（权利金支出528元/吨）；
（3）买入并持有期货合约M1705多头1手（期货合约成本价为2916元/吨）。
持仓了结头寸可能情况：
n  在某时刻
，该投资者的看涨期货期权被强制行权，假设此时M2005的报价为
，此时美式看跌期货期权报价为
。则投资者的头寸状况如下：
（1）看涨期货期权账户盈利11295元；
（2）看跌期货期权账户盈利
）元；
（3）看涨期货期权被执行后持有成本价为2450的期货合约空头，该头寸和持有的M1705期货合约相对冲掉，则有期货账户盈利为
元。
此时总组合的盈利状况为：

n在某时刻
， M1705的报价为
，此时投资者完全可以持有到期，不行使美式看跌期货期权。则投资者的头寸状况如下：
（1）看涨期货期权账户盈利11295元；
（2）看跌期货期权账户盈利
）元；
（3）持有的M1705期货空头，则有期货账户盈利为
元。
此时总组合的盈利状况为：

经过上述分析可见投资者运用
不合理的价格关系可以获得套利利润。
3.2美式期货期权平价套利策略风险

（1）交易成本
首先，期货交易和期权交易（包括可能行权发生的费用）会为套利带来一定成本压力。另外更重要的是，因为涉及多个合约的交易，为了尽可能的同时成交，将会被迫接受合约不利的买卖差价，或者在不能同时成交时遭受价格波动干扰，这对套利交易的最终盈亏结果将会造成很大的影响。
（2）资金成本
理论上，平价套利公式中，我们并不考虑保证金的使用，而在实际套利操作中，期货及期权空头还需要缴纳保证金，这笔保证金的机会成本也应该包含在套利成本中。除此之外，在行情极端的情况下，整个投资组合可能还将面临保证金追加，甚至某些头寸被强行平仓的风险。
附录1.不等式关系
的证明
为了证明上述美式期权平价关系不等式（2）的前半部分
，本文构造下面两个投资组合：
组合A：一个欧式看涨期货期权
（该看涨期货期权的标的资产、行权价格和到期期限与B组美式看跌期权一样）和持有金额为
的现金，并且该现金以无风险利率
投资；
组合B：一个美式看跌期货期权
，持有期货多头(持有期货头寸初始价格为
)，同时持有现金
，并以无风险利率
投资。
组合A：
在初始时刻，组合A的投资组合价值为：

在到期日T时刻：
（1）若
，则组合A中的看涨期权选择行权，则获得持仓成本为K的期货合约多头头寸，则期货账户资产为
；同时持有的金额为
的现金进行无风险利率投资，得到现金资产为
。我们得到此时刻组合A的价值为：
。
（2）若
，则组合A中的看涨期权选择放弃，则期权账户资产为0；同时持有的金额为
的现金进行无风险利率投资，得到现金资产为
。我们得到此时刻组合A的价值为：
。
综上可见，组合A的价值为：
。
组合B:
在初始时刻，组合B的投资组合价值为：

在初始时刻和到期日T之间的任何时刻t：
（1）若
，投资者不会选择行权。这种情况一直持续至T时刻，则有期权账户资产为0，期货账户资产为：
，同时持有的
现金金额进行无风险利率投资，得到现金资产为
。我们得到此时刻组合B的价值为：
。
（2）若
时刻，投资者如果选择行权，则获得持仓成本为
的期货合约空头头寸，该期货空头头寸和先前持有的期货多头冲销可得到期货账户资产为（
），同时持有的
现金金额进行无风险利率投资，得到现金资产为
。我们得到此时刻组合B的价值为：
。
综上可见，组合B的价值为：

   综上比较组合A和组合B在T时刻的价值。我们可以得到：在无风险利率r大于0的情况下，

据此我们可以判断在初始时刻，组合A的价值大于组合B的价值（否则存在套利机会），即有：

根据美式期货期权报价高于欧式（
），可以得到：
。即不等式关系
得以证明。
2.不等式关系
的证明
为了证明上述美式期权平价关系不等式（2）的后半部分
，本篇报告运用同样的方法来构造下面两个投资组合：
组合C：一个美式看涨期货期权
，持有期货合约
空头头寸加上金额为
的现金,该现金以无风险利率
进行投资；
组合D：一个欧式看跌期货期权
（该期货看跌期权的标的资产、行权价格和到期期限与C组美式看涨期权一样）加上金额为
的现金（现金以无风险利率
进行投资）。
组合C：
在初始时刻，组合C的投资组合价值为：

在初始时刻和到期日T之间的任何时刻t：
（1）若
，投资者如果选择行权。则投资者持有成本为K的期货合约多头和先前的期货合约
空头对冲，则期货账户资产盈利为
，同时持有的
现金金额进行无风险利率投资，得到现金资产为
。我们得到此时刻组合B的价值为：
。
（2）若
时刻，投资者不会选择行权。这种情况一直持续至T时刻，则有期权账户资产为0，期货账户资产盈利为：
，同时持有的
现金金额进行无风险利率投资，得到现金资产为
我们得到此时刻组合B的价值为：
。
综上可见，组合C的价值为：
。
组合D：
在初始时刻，组合D的投资组合价值为：

在到期日T时刻：
（1）若
，投资者放弃行权。则投资者持有的
现金金额进行无风险利率投资，得到现金资产为
。我们得到此时刻组合B的价值为：
。
（2）若
时刻，投资者选择行权,则投资者持有成本为K的期货合约空头，则期货账户资产盈利为：
。同时持有的
现金金额进行无风险利率投资，得到现金资产为
。我们得到此时刻组合B的价值为：
。
综上可见，组合D的价值为：

进一步，我们可以得到如下关系式

即有：我们从而得到组合C的未来现金流价值
组合D的未来现金流价值。根据无风险套利原理，我们将组合C和D的组合价值推导到初始时刻则有：
。
根据美式期货期权报价高于欧式（
），可以得到：
。即不等式关系得以证明。

[sup][1][/sup] 该结论是一般性结论，不管对利率、波动率等做何种假设，它对任何期货价格成立。详细可参见Jhon C.Hull的“Option,Futures,And Derivatives”的page319-320。