为什么考试很多人不及格时，老师会将学生的实际分数开根号再乘 10 让大家及格？这个算法是怎样来的？

热心小回应 · 2020-3-5 22:08:37

因为大学考试不像高中考试那么好控制难度和范围。

高中考试这么多年的大样本重复试验，已经总结出了套路，能够保证区分度的同时，还能控制好试题难度。

而大学则不然，如果老师手一抖，出题特别难的话，可能一个班也没几个人及格，这种情况有时候都算教学事故，而且这课第二年也别指望有人选了。例如上海交通大学电院有门课，就因为挂科率太高引起了争议（转自BBS：请放学生一条生路-信号与系统挂科率近50%！ - 【人人分享-人人网】）

因此在大学考试中，算分公式便是非常重要的。有句老师名言叫做“你及格不是你努力的成果，而是我努力的成果！”

其中比较常见的便是：

其中
代表原始分数，
代表算分后的分数，所以只要同学的卷面成绩大于36分，那算分后的成绩就会大于60分。

这个函数好在：

单调递增；
上凸函数；
能保证0分还是0分，100分还是100分；

基本上凸函数都能满足算分需求，只是效果不一样。我还听说过一个更变态的，那就是：

这个算分公式16分就能及格，而且也是单调的，而且100分还是100分。

简单就是如下图所示：

热心小回应 · 2020-3-5 22:08:38

把一个区间连续单调地映射到同一区间，有一个普遍方法，就是图像处理中的
校正 (Gamma correction)。考虑函数
, 对任意
, 有
且
在
区间内连续单调。通过调节
值的大小，可以调节函数在
区间内上升的缓急。
如果映射的区间不是
怎么办呢，如一般分数的值是
, 此时只需要用一个线性变化把值先转换到
之间，用
变换处理一遍，再用先前的线性变换的逆变换回到相同区间。对于分数
映射到新的分数
.

整理好得

.
这是一个
的伽马校正。
为什么选
? 因为开根号是一个简单的操作，就算在没有计算器的时代还可以手动演算，如果是
那就远没如此容易了。现在有计算器了，这里不需要太过拘泥，假如你当老师，想让 48 分以上的同学都及格，而不是 36 分以上，那只要求解
即可。
如果满分不是 100，而是 120 或者 150 呢，也只需要把上式的 100 替换成实际分数即可。

热心小回应 · 2020-3-5 22:08:39

中国科学技术大学档案馆
「他还介绍了中国科大考试分数中“开根号乘以10”公式源自钱学森的趣事。」

http://alumni.ustc.edu.cn/view_notice.php?msg_id=1072

钱先生的考试是1962年1月的一个上午，事后和老师谈起钱先生的考题，老师都做不出来！考试第一道题是概念题，30分，拿到20分没有问题。第二道题是“从地球上发射一枚火箭，绕过太阳，再返回到地球上来，请列出方程求出解。”题目很明确，可我们就是没法下手，因为边界条件确定十分困难。从8：30开考到中午无人交卷，我们明白火箭速度必定要达到第二宇宙速度，但先脱离地球的引力，也即首先达到第一宇宙速度，再加速至第二宇宙速度；火箭的运行轨迹一定要与地球绕日轨迹在同一平面，但地球附近还有月球，地球本身还在自转。这些条件交织在一起，造成考场上四个人晕倒，包括乌克力，还有一位女生，反正四个人被抬出去。原始成绩95％不及格，钱先生想了一个办法：所有的成绩开方之后乘以10，36分换算之后是60，加上平时成绩，大部分都及格了。我考试时方程列出来了，边界条件也用上了，但是地球自转时产生的科利奥利力忘掉了。这个考试终身难忘，心惊肉跳！

热心小回应 · 2020-3-5 22:08:40

调分函数的作用是什么？
调分函数的自变量（可以认为是一个连续型随机变量）是一整个班（或者整个学校）某门期末考试的卷面成绩。这个卷面成绩根据题目的难度等各种参数的不同遵循着不同的分布函数。
而调分函数的作用就是把原本的pdf给变成Normal Distribution。
此外调分函数要保证一点：若f(x)的定义域是[0,100]，值域则必须是[a,100]，a>0，并且f要把100映射到100。
这个normal distribution的参数怎么定比较合适呢？
很显然，平均分应当在75~80分（别问我为什么，你想回家过年没这平均分能看？），即μ=80（平均分越高学生越开心啊！）。
考虑到优秀率的限制，85~100分段的人须只有30%，那么我们就可以解方程了：

Mathematica得到两个数值解，大约分别是10.910和17.175。显然如果方差太大那么正态分布函数会显得太胖，因此90~100分段的人相较85~90分段的人会有点过多，因此取方差小的结果。

这是我们得到的
然后我们把题主的调分函数y=10\sqrt{x}反着代进去，得到卷面分数的分布如下：

你瞧，原本的分布平均分在60出头，优秀率只有10%；调分后平均分到了80，优秀率则到了30%，皆大欢喜不是吗？
当然，老师和学校的决定权也很重要！

热心小回应 · 2020-3-5 22:08:41

调分函数要满足以下几个条件：
1. 严格递增。
2. 上凸。
3. 零分和满分为不动点。

根号乘十就是这种函数中比较简单的一个。

为什么考试很多人不及格时，老师会将学生的实际分数开根号再乘 10 让大家及格？这个算法是怎样来的？

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