高考纪念册~ 期权背后的点点滴滴，无处不在的数学回忆

   又到了一年一度的高考季，还记得那本“灿烂在六月”吗？高考这个词，伴随着我们青春与回忆，承载着我们曾经的理想与期许。高考就像一份期权，只是标的走势就像每个学生十年寒窗的努力。记得在高中的时代里，我们曾经上知天文，下知地理，我们能背好多诗词，也能分析运动轨迹。曾经，从不等式到复数，从指数对数到三角函数，从解析几何到排列组合，我痴迷于那些极富想象的数学原理。或许我们会认为生活中的数学就是加减乘除，或许我们很难想象高中时代的数学会在日常生活中发挥什么作用，但让我们吃惊的是，当我们有一天需要进阶交易期权时，当我们需要深究期权背后的那些原理和逻辑时，高中数学的影子便会无处不在。

1、期权盈亏图——双曲线的渐近

   还记得每一本期权教科书上都会画出的期权到期盈亏图吗？买认购、卖认沽、买认沽、卖认购！这些图很直观，方便人们从图形的角度搞清期权到期的收益情况，而发明它的人正是一位法国人——勒菲弗（Lefevre）。19世纪70年代，勒菲弗发明了这种理解期权的几何学方法，它的最初目的只是用于教育，但很快地，他就意识到这个方法具有非常实际的应用价值。通过画线，投资者们就能很快地知道他们的交易结果，也能够画出任何一组期权组合的盈亏结果，这一方法沿用到今天！

   这些图的背后蕴含着一个重要的数学思想——它叫做“数形结合”，在高中数学里，一提到数形结合，就会想到解析几何，一个号称由数学家笛卡尔做梦所创造的数学分支。在解析几何中，不知您还是否记得双曲线这类曲线，不同于椭圆和抛物线，双曲线是具有渐近线的，也就是随着某个参数的变化，双曲线会逐步地、无限地趋近于它的渐近线。再想想期权的价格是不是就是这样呢？Completely yes！从下面这张图中，您就会发现红色的实线是期权在到期前的价格曲线，蓝色的虚线时期权在到期时刻的价格曲线，我们平时提前平仓的盈亏都是基于红色的实线的，而非蓝色的虚线，随着到期日的临近，提前平仓损益的曲线会逐渐逼近到期平仓的损益曲线，这背后的内在逻辑就是期权价格曲线本质上是双曲型的曲线。

2、期权BS定价公式——指数、对数与正态的同体

   1973年是期权历史里划时代的一年，因为同年发生了两件大事。一件是两位芝加哥大学的教授费舍尔.布莱克和迈伦.斯科尔斯（F.Black and M.Scholes）发表了《期权、权证和其他证券的一个理论定价公式》，这一论文中推导了著名的期权BS理论定价公式，同年罗伯特.默顿（R.Merton）的在《理性期权定价理论》一文中殊途同归，也推导出了期权的定价公式，这一成果在1997年被授予了诺贝尔经济学奖，这个公式直至今日都是每个期权交易端里必备的理论价格计算器，也是大部分做市商确定买卖报价的中枢价格。

   那么这个期权的定价公式中又蕴含着哪些高中里的数学呢？我们不妨把BS公式好好地写一遍出来：

   在整个BS公式的表述中，您会看到太多过去中学里的影子，一个短短的公式里有着高一年度里的指数函数（以e为自然底的指数函数），对数函数（以e为自然底的对数函数），还有在高三学期中所提及的正态分布函数（N（.））。当我们用二叉树离散的算法逼近期权BS定价时，数列极限的思维悄然起到了关键的作用，当我们把认购价格减去认沽价格时，我们又能神奇地得出期权的平价公式。一想到我们在进行“权利”的游戏时，交易的价格里都蕴藏着exp，ln和N（.）这样的函数，是不是顿时觉得期权的交易有一种特别高大上的感觉。

3、隐含波动率——反函数与二分法

   期权的隐含波动率，一个神秘的类似于“股票市盈率”的变量，通俗地说它其实就代表着每一个期权合约的供求关系，一份期权合约买的人多了，期权价格就会上涨，导致其隐含波动率出现上升，一份期权合约卖的人多了，期权价格就会下跌，导致其隐含波动率出现下降。于是，把每一个期权合约的隐含波动率看成点，“一颗两颗三颗四颗”，不同行权价的波动率就连成了一条波动率曲线，这就是著名的波动率偏斜曲线（Volatility Skew Curve）。

   对于BS隐含波动率，按标准化的说法它是期权市场价格通过BS公式反推而得的波动率。从中，我们所能看到的是高中时代反函数的概念，以及二分法的算法。把其他变量看成常数的情况下，如果期权价格是波动率的正函数，那么隐含波动率就是期权价格的反函数，只是期权BS公式关于隐含波动率的反函数没有显性的表达式，所以实盘中，包括各大交易软件背后都会运用类似高中时代的二分法去计算每个期权合约的隐含波动率。
   隐含波动率的升级版指标就是波动率指数，在一般投资者平时对波动率指数的运用中，我们也一直会涉及一些诸如中值回归、极端分位数、偏度斜率等统计知识，这些也都是高中时代那些无处不在的数学原理。

4、Delta与Gamma——奇函数与偶函数的转换

   期权是标的资产的衍生产品。两者之间就像是“父子”一样，父亲的一举一动无时无刻不在影响着孩子的行为。父亲的这种影响力就是Delta。
   以50ETF为例，当ETF价格发生变化时，期权价格也会随之改变。ETF与期权之间的价格关系可以用Delta来刻画：当ETF价格变化0.001元时，对期权价格的影响就是0.001*Delta元。
   认购期权是“乖孩子”，当“父亲”ETF价格上涨的时候，认购期权价格也会上涨，认购期权的Delta大于零；而“坏孩子”认沽期权则恰恰相反，当ETF价格上涨时，认沽期权的价格反而是下跌的，它的Delta小于零。
   然而，不管是“乖孩子”还是“坏孩子”，总是会受父亲的影响，但父亲的影响力并非一成不变。Gamma就是用来描述父亲影响力变化的。用数学语言来说， Gamma就是Delta随标的价格变化而变化的幅度。即当ETF价格变化0.001元时，Delta变化0.001*Gamma。
   以买入单腿认购期权为例：

   在上图中，您会发现delta非常类似我们高中时代提及的奇函数，gamma则非常类似过去提及的偶函数，奇函数是中心对称的图形，偶函数则是轴对称的图形。由于Delta类似于高中物理中速度的概念，而Gamma则类似于加速度的概念，Delta和Gamma的关系正好相差一阶导数，因此我们立刻可以联系到这样的一个原理，那就是“奇函数的一阶导数是偶函数，偶函数的一阶导数是奇函数”，基于这个原理，我们就可以根据任何一种期权组合Delta的图形，极速地画出这一组合的Gamma图形。

   举两个例子，比如，下图左侧是牛市价差策略的Delta图形，它就很像cos(x)余弦函数一样的偶函数，于是牛市价差策略的Gamma图形，就会很像右侧所示的，类似sin(x)正弦函数一样的奇函数。

   又如，下图左侧是买入日历策略的Delta图形，它就很像sin(x)正弦函数一样的奇函数，于是买入日历策略的Gamma图形，就会很像右侧所示的，类似cos(x)余弦函数一样的奇函数。

最近三期的文章回顾：
1、越是遇到降波时，越得理解双卖背后的那些事（附统计数据）
2、爱智篇：学期权的正确路径是为了一个体系
3、解惑篇：牛市通道的信心多少，期权调仓的比例多少？

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