市场对称性及其在组合选择中的运用

导读

1、作为西学东渐--海外文献推荐系列报告第四十六篇，本文推荐了Wang Y和 Wang D.等人于2019年发表的论文《Market Symmetry and Its Application to Pattern-Matching-Based Portfolio Selection》。
2、市场对称性是同时从与当前市场相似或相反的两种信息源获取信息，来指导当前市场的配置。本文用定量的手段刻画了市场对称性，并且从市场对称性出发，通过增加与当前市场相反的信息源，改进了原有的模式匹配策略。
3、从实证结果上看，所有的成熟市场都有一定的对称性，考虑市场对称性的模式匹配策略显著优于原有的模式匹配策略，且与其他种类策略对比，考虑市场对称性的模式匹配策略在大多数数据集上取得了最优的夏普比率。
4、我们在A股的实证结果表明，A股有一定的对称性，不过显著弱于成熟市场。但考虑市场对称性的模式匹配策略显著优于原有的模式匹配策略。从业者在开发量化策略中，往往是从相似的市场环境出发，本文定义的市场对称性启发了我们，可以将相反的市场状态作为一种信息源，提供了不一样的视角。
风险提示：文献中的结果均由相应作者通过历史数据统计、建模和测算完成，在政策、市场环境发生变化时模型存在失效的风险。
1、引言
组合选择的目的是通过在一组资产中进行适当地配置，达到增加收益降低风险的目的。已有的最早的组合选择方法是均值方差理论，但这种方法不适合在线交易，而且在很多情况下，该理论得出的有效组合与实际的最优组合差别很大(Hakansson 1971)。而另一个关于投资组合的理论：资本增长理论，致力于多期的多资产选择问题，已经被许多从业者所接纳。文章所谈论的方法正是基于资本增长理论
1.1
通用组合理论（UP理论）
资本增长理论的关键结论是：在市场平稳且遍历的情况下，存在一个在线投资策略（在线投资策略：每个时刻都可以利用该时刻前的所有信息，给出组合配置的投资策略）可以表现的与最优的连续再平衡策略（CRPs）相当。这些投资理论叫做通用投资组合（UP）选择方法(Cover 1991)。基础的UP理论的主要思路是，如果可以设计无穷多的CRP即连续再平衡组合，那么可以基于这些组合的历史数据给这些组合配置权重，即可得到一个UP组合(Cover 1991; Algoet 1992; Gyrfi andSchafer 2003)。因为每个CRP都能输出一个组合，可以称之为子组合（也称专家组合）。尽管UP理论的前提（市场平稳且遍历）不总是成立，但该理论在实际中效果很好，更重要的是它为在线组合选择提供了坚实的理论基础。
基于模式匹配的UP算法
尽管UP理论很坚实，但构造无数个CPR是不可能的。一种替代方案是用有限但高质量的CPR得到UP即通用组合。模式匹配方法遵循这一思路，用模式匹配算法设计高质量的CPR，分为两步：（1）模式匹配；（2）组合优化，具体如下：
   模式匹配：选择相似的历史时段（两个时段的相似性由他们的状态向量来衡量）。最简单的状态向量是，t期的状态向量由t期前w个交易时段的价格序列构成，w为窗口长度。根据相似性度量，可以选出与当期时期相似距离不超过ρ的历史时段。
   组合优化：为了使组合在上步得到的历史时段中收益最大化，对组合进行优化。
因为模式匹配步收集的历史时段与当前市场最为相似，组合优化步得到CRP组合质量通常会比随机的CRP更好。可以调节w和ρ(即窗口长度与相似距离阈值)获取许多高质量的CPR组合，用于构建UP组合。这种方式称作模式匹配UP方法。(Gyrfi, Lugosi, and Udina 2006; Gyrfi, Udina,and Walk 2008)证明，几种简单的模式匹配算法可以得到一个真正的UP组合，即该组合与最优的CPR收益相同。
1.2
市场对称性与模式匹配
   模式匹配的核心假设是相似的交易时段下市场表现相似。这种相似时段——相似表现的对应关系很直观且每天从业者都在使用。该方法的另一个假设没有那么合适：即与当前时段不那么相似的时段，信息不足可以被简单忽略。尽管乍一看似乎很合理，但并非完全没问题，一个典型的情况是当市场状态相反时，市场表现也更易相反，我们称之为市场的对称性假设。
市场对称性对股票交易员和投资经理并不陌生，举例来说，在图形分析中，一些上行模式对应着市场在另一个状态下的相应的下行模式。当看均线图时，某条均线可能是上行的阻力位，但对应另一种市场状态下，就是下行的支撑位。尽管市场对称性在实务中广泛运用，但尚未广泛运用到资产选择领域。主要的障碍是如何定义市场的对称程度尤其是相反的状态。受到以相似性为基础的模式匹配方法启发，我们基于相似性定义了市场的对称性。通过此定义，在一个有对称性的市场下，相似的与相反的市场时段，分别视为两个不同的信息来源，两个时段都可被用于组合优化。这种方法可以进一步拓展为更加通用的方法。
2、文献综述
这部分我们从两方面进行对以前的研究进行回顾，一方面是技术分析里的模式匹配方法，另一方面是组合选择中已经存在的方法，关于这些方法的细节可以参看(Gyrfi and Walk 2012; Li and Hoi 2014)。
2.1
模式匹配文献综述
      交易员已经广泛运用模式匹配，基本假设是市场在相似的状态下表现相似，这是传统的图表分析和趋势策略，图形策略的基础。Lo, Mamaysky, and Wang (2000) 把这种方法定量化予以实现，定义了10种技术形态如头肩底，三角顶等，经过平滑后（如核回归）将历史价格序列分为这10种模式，这种方法使得市场是可被预测的。Tsinaslanidis and Kugiumtzis(2014)提出了另一个方法，首先确定重要的特征，基于这些特征，运用动态时间变形算法获取相似的历史时段，再用这些相似的历史时段预测市场趋势。还有人研究过在变换空间中运用模式匹配：Zhao, Zhang, and Qi (2008);Hsieh, Hsiao, and Yeh (2011); Kao et al. (2013);Bagheri, Peyhani, and Akbari (2014)用这种模式匹配，用离散小波变换把时间序列的数据转换为小波空间中的数据。
      随着机器学习的飞速发展技术，基于统计模型的模式匹配模型已被广泛研究。人工神经网络（ANN）最受欢迎，有部分原因是因它具有用复杂信号建模的能力(Choi, Lee, and Rhee 1995; Guo,Liang, and Li 2007; Zhou and Hu 2009; Guresen,Kayakutlu, and Daim 2011)。其他的研究人员(Kamijoand Tanigawa 1990; Saad, Prokhorov, and Wunsch1998; Chen, Zhou, and Dai 2015; Rather, Agarwal,and Sastry 2015; Nelson, Pereira, and de Oliveira 2017)使用ANN的变体RNN（专门为时序设计的人工神经网络）来展开研究。除了神经网络模型，其他机器学习模型也有人研究，如支持向量机 (Kim2003),k近邻 (Teixeira and DeOliveira 2010), 和隐马尔科夫模型 (HMM)(Hassan and Nath 2005)。也有研究人员研究了将不同的模型进行集成，Qiu, Song, and Akagi (2016)运用了GA算法和仿真退火算法克服了BP算法中的局部收敛问题，从而提升了ANN模型的预测精度。在Hassan, Nath, and Kirley(2007)的研究中,ANN的结果用于作为HMM模型的输入，用GA算法优化HMM的初始参数。Bisoi and Dash (2014)训练了一个动态的神经信息系统预测股价。Chen and Wang (2015)将遗传网络规划和平均条件VaR模型进行了集成。
前面所提到的研究大多数集中在单一资产的价格信号模式，前面提到的用于多资产的模式匹配方法(Algoet 1992;Gyrfi and Schafer 2003; Gyrfi, Lugosi, and Udina 2006; Gyrfi, Udina, and Walk 2008)可视为单资产的拓展。本文提出的市场对称方法属于这类模式匹配方法。
2.2
组合选择文献综述
Algoet and Cover （2011）证明了在完全了解市场的情况下，在一个平稳且遍历的市场中，可以得到一个最优的组合，获取最大的收益率。有趣的是，即使市场的底层分布未知，仍然可能得到一个与前者相同收益的组合策略（如UP组合），尽管市场平稳且遍历在理论中十分重要，但其在现实中常常不满足。现在已有多种动态的在线组合方法，这些方法根据目前观察到的市场情况调整组合，对于动态市场的在线交易适用。总的来说，这些在线方法所使用的假设相比UP理论宽松很多。
关于资产或者组合表现的一个很自然的假设是其具有动量，即过去一段时间表现好那未来一段时间更大可能表现的好，反之同理。动量假设源于著名的follow the winner策略，UP算法也用到了赢家策略，它给过去表现好的资产权重更大(Cover 1991; Helmbold et al.1998; Agarwal et al. 2006; Singer 1997)。这个策略在一个趋势市场内更加有效。
还有种假设是过去表现好的资产或者组合下一时段表现会比较差。尽管有些反直觉，但其内在假设是价值准则，即价格由内在价值决定，价格高或低都将回归这个内在价值。这种均值回归假设启发了如下的follow the loser的策略(Borodin, El-Yaniv, and Gogan 2004; Li et al. 2012, 2013, 2015)实际上，均值回归可以视为我们即将要讨论的对称市场的一种表现。这种策略在一个平稳的市场更加有效。
关于市场的第三个假设是相似的市场时段会有相似的表现，即模式将会复现。这个理论指引了前文所述的诸多模式匹配方法(Gyrfi, Lugosi, and Udina2006; Gyrfi, Udina, and Walk 2008; Li, Hoi, and Gopalkrishnan 2011)。Gyrfi, Lugosi, and Udina(2006)对模式匹配的研究具有较好的代表性：这项理论中，他们使用了非参数的核方法（BK），如果两个时段的欧氏距离小于阈值则会被视为相似。Gyrfi, Urbán, and Vajda (2007)同样基于BK方法提出了一种新的策略，计算效率更高，他们在另一篇文章中，使用KNN方法仅使用最相似的k个时段。Li, Hoi, and Gopalkrishnan (2011)提出了一个非参的学习策略(CORN)，在选择相似时期时用Pearson相关系数替换掉前人研究中的欧氏距离。这看似简单的改变，提供了一种衡量市场对称的方法。
2.3
市场对称性文献综述
在市场定量分析中，对称常常指代平衡或同质。如Fabricand (1989)提到：自由市场中，每个人的权利和信息都是等同的，没有人可以获取额外的好处。这与Samuelson 1974的发现是相同的，专业的基金收益率不比随机选择的结果要好。另一个更加定量的定义是：资产的价格常常表现为对称的图形。例如，几乎所有市场都有明确的界限：价格下跌时有下限（支撑位），价格上涨时有上限（阻力位），因而无论在时间轴还是在边界上都有很强的对称性。另一个例子是传统的基于图形的策略(Lo, Mamaysky, and Wang 2000)：在这个策略中，一些图形模式可以找到对称的模式，说明了模式对称的存在。
本质上讲，上述的对称性或多或少与市场周期有关，且反映了人类情感在交易中的对称性。这种对称性是市场的特征，一旦打破了对称性，往往意味着市场的动态发生了变化，如一个新的趋势产生(Bouchaud and Cont 1998)。许多实用的交易策略都是基于对称性的，尤其是基于系统崩溃，包括有名的箱体策略，趋势策略，基于图形的策略，波浪策略(Lo, Mamaysky, and Wang 2000)。
尽管市场对称性众所周知，但其定量研究有限，且大多数研究集中于对称性存在的测试。如Lillo and Mantegna (2000)研究了单资产或资产组合的收益对称性，发现在平时的市场上，这种对称性是存在的，但在暴跌和反弹的市场中，这种对称性不存在。其他研究针对市场在面对利空和利好时的波动对称性(Bekaert and Wu 2000; Neabbes, Salah, and Ellouze 2013)。研究人员发现有效的市场中对称性通常较好，而在弱有效的市场（如A股）对称性经常失效。所有这些关于市场对称性的定量研究都很有趣，但是大多数研究集中在市场的统计性质上，而不是价格序列的对称性。因此，它们丰富了我们的关于市场的知识，但对我们开发实际的交易策略几乎没有帮助。
3、问题定义与核心算法
3.1
问题描述

显然，如果市场完全对称，则任何市场状态的改变都会造成市场表现的确定性的改变。如果市场完全不对称，市场状态的改变与市场表现的改变不相关。大多数真实的市场环境都是一个较低水平的正对称市场（市场对称程度略大于0）,市场状态和表现之间存在着带噪声的相关性。反对称性的市场则不太可能存在。

需要强调的是市场状态的相关性基于窗口长度w中m个资产的价格关系。市场对称程度对于不同的资产（如不同的市场或板块）和不同的窗口长度是可能有很大差别的。我们认为对称性可以表征市场，指导交易。如某些特定资产的高对称性意味着套利机会，再比如如果某个窗口长度w下的市场对称性特别显著，那么说明这个窗口长度下市场有很强的周期性。
相关系数度量的组合对称性
市场对称性假设是说市场的状态与表现之间存在相关性，我们最终的目标是建立市场表现与最优组合的关系，定义如下：
   组合对称假设：两个时刻与下市场表现与的相关系数越强，则这两个市场下最优组合的欧氏距离越小。
我们通过蒙特卡洛模拟来检验这一假设，假设股票收益服从高斯分布，我们采取如下步骤：首先，根据同一个协方差矩阵生成20000个市场表现向量，然后计算他们两两之间的相关系数与各自最优组合的欧氏距离。我们将相关系数从[-1,1]分为40组，每组内的欧氏距离进行平均。资产个数从3测算到15，以3为间隔。

图表1展示蒙特卡洛模拟的结果，从中可以看出，市场表现与最优组合之间有着较强的相关性，市场表现的相关系数对于最优资产的关系来说是一个好的衡量指标。再考虑市场对称性假设，我们建立了市场状态相关系数与最优组合的关系，因此可以根据市场状态进行最优组合的选取。
3.2
CORN-K算法

3.3
SCORN-K算法

3.4
FCORN-K算法

4、实证部分
我们的实验分为两个部分，首先，我们测试市场对称性假设；然后，我们验证两种基于市场对称性的模式匹配组合选择方法：SCORN-K算法和FCORN-K算法。
数据集
我们使用6组数据集，在学术研究中常用的4组数据的基础上，增加了2组现代市场的数据集，分别是标普500和恒生指数10只市值最大的股票（分别是2003年与2005年的）。如下图所示：

4.1
实证1：探究市场对称性
这部分我们检验市场对称性假设（如历史状态之间的相关系数与市场表现相关系数之间是相关的）。由于状态的相关系数R_S与表现的相关系数R_B的相关系数有很大噪声，所以我们取其平均值。对每个时段t，我们选择一系列时段,计算平均的市场状态和平均的市场表现向量的相关系数：

这里我们以MSCI数据集为例，首先，我们根据传统的CORN-K算法选出相似的时段，Li, Hoi, and Gopalkrishnan (2011)研究发现最优的阈值经常接近于0，我们设置阈值ρ=0，窗口长度w =1。第二步，我们根据SCORN-K算法，用相同的参数，选出相反的时段。结果如图表4所示。

可以看出市场状态相关系数与市场表现相关系数有着清楚的关系，如左图所示，市场状态相关性较高时，市场表现相关性通常较高，如右图，市场状态相关性较低时，其市场表现相关性也相对较低。我们认为这种相关性是基于相关系数的组合选择算法如CORN-K能够盈利的核心因素。
接下来，我们计算对称性程度，即R_S (t)与R_B (t)的相关系数。结果如图表5，窗口长度由1到5，结果显示所有的市场均有市场对称性，MSCI数据集中对称性最高。下节，我们将会看到使用市场对称性的算法在该数据集上取得了最高的夏普。

4.2
实证2：对称性组合选择的策略表现
这部分，我们会评估SCORN-K与FCORN-K，以及两个新的同样利用市场对称性的基于模式构建组合的方法。我们用到的数据与前面相同，计算三个指标累计收益（RET），夏普（SR），最大回撤（MDD）。我们首先说明下实施的细节，然后比较他们的表现。
实施细节
接下来的实验中，将会比较CORN-K,SCORN-K,FCORN-K。对于CORN-K与SCORN-K，最大窗口长度W = 5， ρ= {0,0.1,…,0.5}。FCORN-K算法，根据经验λ取值范围是Λ={10,100,500}。我们也对比了OLPS工具箱（Li, Sahoo, and Hoi 2016）里的一些基础策略。参数的设定总结如下：
1. UBAH：平均买入持有策略，即市场策略。
2. UCRP：平均的连续再平衡组合策略（每期等权组合）。
3. UP：Cover (1991)提出的UP策略，参数ρ_0=0.004,ρ=0.005,m=10,S=5
4. EG: Helmbold et al. (1998)提出的指数梯度算法，η=0.05
5. ONS: Agarwal et al. (2006)提出的在线牛顿步策略
6. ANTI：一种ANTICOR算法(Borodin, El-Yaniv, and Gogan (2004))的变种。W = 30
7. PAMR-2：Li et al(2012)提出的消极对抗的均值回归策略，=0.5 C=500
8. CWMR-Stdev: Li et al. (2013)提出的置信加权的均值回归策略的变种，φ=2 =0.5
9. OLMAR-2: Li et al. (2015)提出的在线移动平均回归策略，=10 α=0.5
10. B_K: Gyrfi, Lugosi, and Udina (2006)提出的基于核方法的移动窗口策略，W=5 ;L=10 ;c=1.0
11. B^NN: Gyrfi, Udina, and Walk(2008)提出的非参数的近邻策略，W=5,L=10,p_1=0.02+0.5(l-1)/(L-1)
12 CORN-K: Li,Hoi, and Gopalkrishnan (2011)提出的基于相关系数的非参数学习策略，W=5,P=1,ρ=0.1
策略效果

如图表6，其中相对CORN-K有所提升的部分已经标粗，从收益上看，除在SP500(O)上，SCORN-K均能跑赢CORN-K。FCORN-K在所有数据集上相对CORN-K有很大的提升，尤其是TSE,NYSE(N),SP500(N)和HIS上，提升分别高达477%，4846%，138%,184%。对于最大回撤，SCORN-K与CORN-K表现类似，但除SP500(N)上，FCORN-K都表现更好。对于夏普率，我们提出的两种方法（SCORN-K FCORN-K）在所有数据集上都有所提升。尤其是，FCORN-K取得了6个数据集中5个的最优夏普，唯一的例外是TSE数据集，虽然不是最优，但仍然比CORN-K强很多。
夏普上的提升比收益率和最大回撤上的提升更加重要。实际上，根据风险厌恶水平，很容易单独的调节收益与最大回撤（典型的例子如调高收益但同时最大回撤也在变大，缩小最大回撤但同时收益也随之降低），但夏普综合考虑这两个指标，是一个比较全面的指标。如OLMAR2算法那在NYSE(N)数据集上同时取得了最好的收益与最差的最大回撤。可以在图表8中更加清楚地对比SCORN-K与CORN-K。
显著性检验
为了验证结果的显著性，我们实施了学生t检验(Grinold and Kahn 2000)。首先，我们做一个回归，将组合每日收益对基准收益进行回归，分离出基准相关的收益和与基准无关的收益。回归公式如下s_t-s_t (F)=α+β(s_t (B)-s_t (F))+(t)其中s_t为策略的日收益，s_t (B),s_t (F)分别表示基准策略和无风险资产的日度收益（这里简单处理成1.000156即年化4%）。检验的目标是α是否显著非0，检验结果以p值展示。检验结果如图表7，可以看出CORN-K算法在所有的数据集上均接近于0，同时，我们提出的方法比CORN-K更加显著。

参数敏感性
为了检验SCRON-K与FCORN-K的参数敏感性，我们改变窗口长度w,阈值ρ, 规模因子λ。图表8展示了结果，可以看出ρ越接近1，SCORN-K的表现越差，因为这样的话所用到的历史时段就越少。所有数据集中，ρ的最优参数是0到0.5，且除SP500(O)外最优值都在0.1左右。对于w，对所有数据集没有共同的特征，说明该参数高度依赖具体市场。这些结果大多数与Li, Hoi, and Gopalkrishnan (2011)一致。

对于FCORN-K，有一个比例因子α，我们取0.1到1000。结果如图表9所示。可以看出，首先，相同的w和ρ，策略的表现随着α的改变缓慢变化，说明算法对于激活函数不是很敏感。第二，大多数情况下，最优的α在最大值与最小值之间，且当α很大时，FCORN-K的激活函数退化为SCORN-K，这与我们观察到的FSCORN-K大多数情况都优于SCORN-K一致。

      CORN-K策略不同于其他的专家策略，他需要根据表现对多个专家策略进行集成。选取专家策略用于集成的比例同样也是一个参数，我们在图表10中展示了比例从0.01到1的情况，步长为0.01。可以看出大多数情况下，较小的比例表现最好，但不同市场的最优参数不同。比例较小时，策略的收益方差很大，但当比例变大时，策略的表现越来越稳定。通常，把比例设定为0.15对于SCORN-K与FCORN-K来说都有不错的表现。

      我们在图表11中展示了不同交易成本下的效果，交易成本范围是0-0.01，步长为0.001。SCORN-K与FCORN-K能够承担更多的交易成本，成本在0.1%时，他们能够打败市场，但大多数其他策略（CORN-K和BNN）都不如市场。

结论
      我们用公式定义了现实中很重要的市场对称性，通过该定义，市场对称性可以度量和比较。基于市场对称性，我们在CORN-K的基础上提出了SCORN-K策略和FSCORN-K策略，这两个策略相对CORN-K都有显著的优势，FSCORN-K在所有的算法中表现最好。这些说明考虑市场对称性可以提高组合选择的表现。
      市场对称性还需要进一步探索，尤其是在金融和经济上的含义与矛盾需要进一步的研究，在不同市场的不同也需要进一步理解。市场对称性的运用也很重要，其意义不仅仅在于得到一个更好的组合。
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第二部分：原文献实证分析在中国市场的研究
我们提取了2006年1月1日至2019年6月30日10只最大市值（区间末）的股票的日度数据，首先我们用A股的数据进行了实证1分析。图表12分别与图表4和图表5表征的内容一致，展示了A股市场状态的相关系数与市场表现的相关系数的散点图，4个成熟市场与A股的对称性程度。可以看到，从散点图上看，市场相关系数较大的区域，市场表现相关系数并没有明显的在0轴之上，右图也是一样，实际上，图表4 MSCI数据集上，左图0轴上的点的比例与右图0轴下的比例分别是68.69%与68.62%，而A股的数据分别是51.33%与51.16%；根据图表13中可知，我们复现的结果与原文献基本一致，且A股的对称性程度显著弱于其他成熟市场，这两个图表都说明了A股的市场对称性较弱。

我们在进行A股测试时，为了更加接近A股的实际交易，对涨跌停和停牌的信息进行了考虑，且t日收盘计算出的权重以t+1日开盘价成交（原文献数据未考虑涨跌停停牌信息，以t日收盘价成交）。

从图表14中，我们可以看出，A股数据上，FCORN-K与SCORN-K无论是净值还是夏普比，最大回撤，都强于CORN-K策略。且SCORN-K取得了所有策略中次高的夏普比。

从图表15的结果看，FCORN-K和SCORN-K策略alpha的显著性p值都比较小，但如果以0.05为是否显著的阈值，则只有SCORN-K显著。同时，CORN-K的表现不如市场，alpha并不显著也在预期之中。

      图表16,17分别展示了SCORN-K与FCORN-K的在不同参数下，各个专家策略的累计收益，从图表16可以看出，A股的策略表现在w和ρ都较小时取得最优，之后表现则不够连贯。而FCORN-K则在w=0,ρ=0.5的参数上表现最好，除此之外，并没有很显著的规律。

      图表17专家策略选取比例方面，与其他数据集上的结果较为一致，都是在比例较低时，净值的方差较大，当比例趋于1则逐渐稳定。

从图表18的结果看，表现类似SP500(N)的表现，在施加双边共千分之一成本后，三个策略都无法获取超越市场的收益。
风险提示：文献中的结果均由相应作者通过历史数据统计、建模和测算完成，在政策、市场环境发生变化时模型存在失效的风险。

往
期
链
接

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注：文中报告节选自兴业证券经济与金融研究院已公开发布研究报告，具体报告内容及相关风险提示等详见完整版报告。

证券研究报告：《西学东渐--海外文献推荐系列之四十六》。
对外发布时间：2019年10月17日
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