金融数学的历史回顾
关于金融数学的起源最早可以追溯到1900年
l 法国天才Bachelier Louis在Einstein和Wiener（正式建立了Brown运动的数学模型1905年）之前1900年就已经认识了Wiener函数的一些重要性质，即扩散方程和分布，并在其博士论文The Theory of Speculation中首次给出了欧式买权的定价公式。
l 1952年Harry M. Markowitz(1927-)（纽约市州立大学，1990年诺贝尔经济学奖获奖者之一）提出投资组合的选择（Portfolio selection）理论。如果一个投资者为减少风险同时对多种股票进行投资，那么什么样的投资组合最好？均值方差最优投资组合模型。
l 1958年Modigliani，F.(1985年诺贝尔经济学奖获奖者之一), Miller，M.H.（1923-2000）（芝加哥大学，1990年诺贝尔经济学奖获奖者之一）提出Modigliani-Miller定理（MMT），他断言，在一定的条件下，公司的市场价值只依赖于它的利润流，而于它的资本结构无关，即与债权与股权之间的比例无关；也于它的分红策略无关，即与债权者与股权者之间的利润分割无关。William F. Sharpe(斯坦佛大学，1934-)资本资产定价理论模型（CAPM）。Markowitz, Miller, Sharpe 获1990年诺贝尔经济学奖。
l 1964年，Sprenkle提出了“股票价格服从对数正态分布”的基本假设，并肯定了股价发生随机漂移的可能性。同年，Boness将货币时间价值的概念引入到期权定价过程，但他没有考虑期权和标的股票之间风险水平的差异。
l 1965年，著名经济学家萨缪尔森(Samuelson)把上述成果统一在一个模型中。1969年，他又与其研究生Merton合作，提出了把期权价格作为标的股票价格的函数的思想。
l 1971年Robert C. Merton (1944-哈佛大学教授，数学硕士)首次提出了最优消费与投资组合问题，用随机动态规划的方法引入金融数学。Robert C. Merton，Myron S. Scholes1997获年诺贝尔经济学奖。
l 1973年Fisher Black(1938-1995哈佛大学应用数学博士)和Myron S. Scholes(1944-（斯坦福大学教授，工程学士）)在《政治经济学杂志》发表具有划时代意义的“期权定价与公司财务”一文，该论文首次提出了金融衍生品的期权定价理论，获得了Black-Scholes期权定价模型。Robert C. Merton (1944-)进一步完善和系统化这一理论。1973年在Black和Scholes用几何Brown运动来刻画价格波动规律，用无套利复制的方法建立了欧式期权的定价公式。
两种证券：股票 债券
欧式看涨期权
，
在B—S模型之前，虽然众多学者已经建立了各种各样的期权定价模型，但这些模型几乎不具备任何实用价值，因为它仍或多或少地包含一些主观的参数，如投资者个人对风险的态度、市场均衡价格等。
1973年Robert C. Merton (1944-)在《经济和管理科学》发表题为“理性期权定价理论”论文，后来和Black，Scholes合作发表了多篇文章，并对经典的Black-Scholes模型从多方面做了进一步改进和发展（如股票价格的跳扩散模型）。
他们的工作被称为华尔街的“第二次革命”，B-S公式被成千上万的投资者每天是用，被誉为有史以来用的最多的数学工具，同时他们开创性的工作也大大推动了数学在经济学金融学的应用和发展（如随机分析，随机控制，随机微分方程，数值计算，优化理论，数理统计，非线性数学等）。
Black-Scholes “期权定价与公司财务”一文的发表过程曾被两次退稿，第一次《政治经济学杂志》主编退稿的理由是：金融内容太多，经济学内容少；《经济与统计评论》退稿时甚至没有说任何理由。后来《政治经济学杂志》换了主编，在Miller的推荐（“打招呼”）下，在1973年才得以发表。而B-S公式的实证论文在1972年就在《金融学杂志》上发表。B-S公式是使用频率最高的数学公式之一，该文的引用率高达一万三千多次（13299次）远远高于其他经济学诺奖的获奖者（如Samuelson 为3993）。
l 1976年Ross,S.A.(1944- )针对资本资产定价模型（CAMP）提出了一个多因子模型，即套利定价模型（ATP）,其主要结论是：无套利假设等价于某种等价概率测度的存在，这使得每一种金融资产对该概率测度的期望收益率都等于无风险证券的收益率。
l Harrison 和 Krops(1979), Harrison 和 Pliska(1981),奠定了期权定价鞅方法的理论。主要结论是，在给定的市场模型下，如果等价鞅测度存在，则市场是无套利的，如果等价鞅测度存在且唯一，则市场是完备的，即市场上的任意未定权益都是可达到的。完备市场上任意未定权益有唯一无套利定价，即为未定权益的折现价格在等价鞅测度下的数学期望。完备市场是以理想的市场模型，现实市场多为不完备市场。
l Follmer 和 Sondermann(1986)首次用均值方差准则研究了不可达未定权益（non-attainable claim）的套期保值问题，依此准则，Martin Schweizer (1994)，在假定风险资产的价格过程是满足一定形式的半鞅并且未定权益满足F-S分解的条件下，给出了任意未定权益的最优套期保值策略和近似定价。 |
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