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今天我们就给大家介绍一下随机波动率的经典模型之一——Heston模型。
作为期权定价最经典的理论模型，B-S模型取得了巨大的成功，然而B-S模型还有一些明显的不足，其中重要一点就是对于标的资产波动率固定的假设。期权的价格可以体现在隐含波动率上，而期权的隐含波动率一般是变化的，行权价格和到期时间不同的期权合约，隐含波动率通常也会不同，而这些显然与B-S模型的假设不相符。
为了克服之前所提到的诸多问题，更加准确地为期权定价，我们使用随机波动率模型来优化期权价格的计算。随机波动率模型认为波动率本身随着价格变化而变化，并且这一变化过程符合随机过程。主要思路是将标的资产价格的波动率描述为一个由价格水平、波动率均值回归趋势和波动率方差控制的随机过程。这样一来就可以对波动率的变化进行动态刻画，从而提供对期权进行更加准确定价的可能。随机波动率模型中比较经典的就是Heston模型。Heston在1993年提出这种模型，该模型假设资产价格服从一个扩散过程，并考虑资产价格和资产波动率的相关性。在这个模型中，期权的价格是通过计算看涨期权到期时落在实值区域的概率得到的。Heston模型考虑了波动率与标的资产价格回报之间的相关性，相关性参数的刻画尤为重要，它反映了价格变动的偏度，也很大程度上显示了价格回报尖峰厚尾的特点。
下图展示了不同相关性条件下标的收益率的概率分布情况，当相关系数ρ>0时，价格回报厚尾右偏，因为波动率随回报的变大而变大，会对价格变动起到放大作用。与之相对，当相关系数ρ<0时，价格回报厚尾左偏，因为波动率随回报的变大而变小，会对价格变动起到减小作用。相关系数之所以重要，主要是因为通过对波动率变化的精确捕捉，可以在不同相关关系背景下为期权找到正确的价格。
由于B-S模型和Heston模型对于标的资产波动率假设的不同，二者对相同期权产生的定价也势必会不同，下图是假设波动率与回报相关系数ρ分别为-0.5和与0.5时，Heston模型与B-S模型对看涨期权定价的差异随标的价格变动的变化情况（图中期权行权价格均为100）。
从上图中可以看出，当波动率与回报正相关时，实值看涨期权（标的价格高于行权价格100）若以Heston模型定价会比B-S模型定价便宜，但若是虚值看涨期权（标的价格低于行权价格100）则会比B-S模型定价更贵。相反，若波动率与回报为负相关时，实值看涨期权以Heston模型定价会比B-S模型定价更贵，虚值看涨期权则会比B-S模型定价更便宜。
在现实市场中，虚值和实值看涨期权的交易价格通常都会高于B-S模型所给出的价格，所以我们可以认为对看涨期权定价时，若期权为虚值状态，设置其相关性为正相关，反之为实值状态时，设置其相关性为负相关以拟合实际的市场状况。如此，我们便能得出更符合市场状况的隐含波动率曲线。
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