基于SABR模型的美股期权波动率日内套利策略

SABR 随机波动率模型


1. 模型简介
SABR 模型是由 Hagan在 2002 年提出的一种随机波动率模型，抛弃了原始的 BSM 模型中对于波动率为某一常数的假定，将隐含波动率设定为标的价格和合约行权价的函数，将标的物远期价格 F 和波动率α都分别作为一个随机过程，两个随机过程之间是相关的，相关系数为ρ。并且将隐含波动率设定为标的价格和合约行权价的函数，结合了隐含波动率修正模型的两种思路（BSM 模型和局部波动率模型），更为准确的动态刻画出吻合市场特征的隐含波动率曲线。
2. 模型假设

它假设标的资产远期价格和波动率动态服从以下随机过程：



其中远期价格和波动率的初始值为：



3. 解的形式


由 SABR 模型导出的一个近似（Taylor 级数展开）的隐含波动率显式解公式如下：




特殊地，在值状态（at-the-money）的隐含波动率如下：




4. 参数意义
SABR 模型包含了四个参数α，β，ρ，μ：
    α：描述波动率曲线的水平位置，α增加时，波动率曲线整体向上移动；
    ρ：描述标的资产与瞬时波动率的相关性，描述波动率曲线的偏度；
    β：与ρ对波动率曲线的影响相同；
    μ：波动率的波动率，描述波动率曲线的弯曲程度。


5. 参数较准
由前文可知，SABR 的四个参数描述了包括曲线整体位置，曲线倾斜程度，曲线弯曲程度在内的三个性质。其中ρ和β重复地描述了曲线的倾斜程度，因此在实践中，我们先确定β的值，再优化其他三个参数。
选取 F 与 K 相近的 ATM 期权，它的 SABR 模型的隐含波动率可表示为：


两边取对数得：


根据上式用市场上的 log（σATM）和 log（F0）回归可得β。


对于α，ρ，μ，采用最小二乘法同时校准这三个参数，即求解下列优化问题：




6.实证检验



选取特斯拉（TLSA）2019年1月2日早盘10：35的虚值看跌期权，绘制行权价与市场隐含波动率和SABR模型拟合波动率的关系如下图所示:




可以发现：在某些时刻，某些行权价，期权的市场隐含波动率与SABR模型所拟合的隐含波动率有较大差异，我们可以做空vega并进行delta对冲，当市场隐含波动率回复至模型所给出的隐含波动率曲线时存在获利机会。

交易信号构建


1. 期权收益分解

期权 pnl 分解公式：



      
其中 Theta 的本质就是每天的 pay decay，根据 gamma 与 theta 的关系：




进行 delta 对冲后的公式如下：





2. 交易策略构建



第一步：记录数据。从北京时间晚上21点30分开盘就开始记录TSLA相关期权的买一价（因为我们是要卖出期权，利用实时的盘口数据计算波动率曲面）， 用tick回调函数记录最新的价格，策略从北京时间晚上21点35分开始 第一次下单。
第二步：选择期权合约。9点35分根据TSLA的最新的买一价确定要卖出的期权，对虚值的8个执行价的看跌期权计算波动率曲线，我们选择期权的到期日规则是星期一到星期三选择本周五到期的期权，星期四到星期五选择下周五到期的期权。例如如果今天是星期三，我们选择本周五也就是20190826到期的期权，假设21点35分TSLA的价格是251.33，TSLA的期权的执行价间隔为2.5，我们选择如下8个期权合约计算波动率曲线：
1.'TSLA`p`250`20190823'，
  2.'TSLA`p`247.5`20190823'，
3.'TSLA`p`245`20190823'，
4.'TSLA`p`242.5`20190823'，
5.'TSLA`p`240`20190823'，
  6.'TSLA`p`237.5`20190823'，
7.'TSLA`p`235`20190823'，
8.'TSLA`p`232.5`20190823'；
每个五分钟选择的， 期权合约都是不一样的，要先根据TSLA最新的买一价来选择。


第三步：分别计算8个期权的隐含波动率。


第四步：选择需要卖出的期权合约。计算8个期权的实际隐含波动率和满足无套利条件的隐含波动率的差值，如果差值的最大值大于0.02且差值最大的那个期权的行权价处于虚值3档的范围以内，则选择差值最大的合约进行卖出操作，卖出1手。


第五步：计算初始对冲delta_init。卖出 -delta_init * 100股的tsla进行对冲，例如计算得到delta_init = -0.7，则卖出70股对冲期权的delta。


第六步：判断止盈止损。每五分钟计算一次利润率。如果未进行动态对冲，利润率 =  ((初始卖出期权价格 - 该期权最新卖一价价格)* 卖出手数 * 100 + (初始卖出股票价格 - 股票最新的卖一价) * 卖出股数)/(初始卖出期权价格 * 卖出手数 * 100 + 初始卖出股票价格 * 卖出股数)。如果进行了动态对冲，利润率 = ((初始卖出期权价格 - 该期权最新卖一价价格)* 卖出手数 * 100 + (卖出股票价格均价 - 股票最新的卖一价) * 当前卖出股数)/(初始卖出期权价格 * 卖出手数 * 100 + 卖出股票价格均价 * 当前卖出股数)。如果利润率大于等于0.0125（止盈）或者小于等于-0.05（止损），立刻平仓全部股票和期权，如果平仓的时候在北京时间凌晨3点之前，则在平仓之后立刻从第二步开始重新执行，如果如果平仓的时候已经超过了北京时间凌晨3点，当天不再进行操作；如果未发生止盈止损，继续第七步。


第七步：北京时间凌晨3点55分强制平仓。如果当前时间超过北京时间凌晨3点55分而且还持有期权和股票的仓位，立刻平仓期权和股票全部头寸，当天不再进行操作。
第八步：动态对冲：从初始开仓开始，每隔五分钟计算一次持仓期权的最新的delta_new计算和当前持仓期权的最新的隐含波动率，买入int((delta_new - delta_init) * 100)股的股票。例如，初始计算的期权的delta_init是-0.7，期权的最新的delta_new是-0.5，则需要买入 int((-0.5 - (-0.7))*100) = 20股的TSLA股票。


3. 回测表现
我们使用特斯拉（TSLA）及特斯拉看跌期权按照上述策略进行交易（5_min_bar），在2019-01-02 09:35:00~2019-03-18 15:35:00的范围内进行回测，以下是回测得到的收益曲线：



分析回测结果可以发现：对于特斯拉股票，市场情绪常常不稳定，隐含波动率出现显著偏差时，该套利策略提供了较高的收益。

神了，可惜现实比理想骨感的多

这么能赚？

文章是写的不错！