美式期权，定价原理与算法

今天的文章会比较technical，需要有一定的数学功底。但没办法，美式期权算是流动性高的期权中最难的一种。如果对原理篇没有明白，其实也不会很影响实际操作，有兴趣但又不能搞懂原理的朋友可以直接跳到算法部分。1，寒暄篇美式期权和传统欧式不同的地方在于，美式期权的持权人可以在到期日之前的任意时间行权。由于这种兴行权的灵活性，美式期权的价格总是大于或等于相对应欧式期权的价格的。在现实里，很多个股的期权都是美式，因此美式期权实际上拥有很大的市场。很多人可能会认为，既然美式期权这么灵活，那么持权人只要在可以获得收益的时候行权不就可以了吗？这有点类似barrier嘛。那可就大错特错了。因为你如果是持权人，即使你的行权可以给你带来收益，你其实还可以选择不行权，而是把期权卖出去。你要对这两种方式的收益进行比较，如果行权带来的收益大，则行权，若卖出收益大，则卖出。因为某个时刻期权的价格其实就是在那个时刻期权本身的continuation value，我们在美式期权可以行权时，实际上就是在比较美式期权的continuation value（H_t）与strike value（E_t）。
2，原理篇

实际上，美式期权的定价公式由下式表示

其中N用来表达一个测度。之所以这里不用利率的discount factor是为了保证它更加general。

在实践中，我们往往需要用一个百慕大期权（只有在某些特定日期可以行权）去逼近一个美式期权，我们不妨就假设它只能在下述日期行权

因此，结合着最开始的式子，我们现在的美式期权价格就应该满足这个Bellman equation（dynamic programming principle）

其实也就是一个Backward Induction Algorithm（逆向递推算法）。而根据Dynamic programming，我们其实有最优行权时间就是

3，算法篇
根据上述原理，美式期权的定价和其他期权相类似，但区别在于要进行一个strike value和continuation value的比较。举个例子，在GBM的setting下，美式call的PDE和terminal condition和欧式call是一模一样的，但不同之处在于在solve pde的过程中每一步都要比较一下节点上strike value和continuation value的大小。如果strike value更大，则在这点用strike value来替代原有的continuation value。这便是美式期权定价的PDE方法。但和传统PDE方法一样，这种方法对于高维度和强路径依赖问题比较鸡肋。另外还有一种在业内更为广泛使用的定价方法，叫作最小二乘蒙特卡洛法（least square Monte Carlo，简称LSMC），也叫做regression-based Monte Carlo。这种方法的执行策略是这样：1，正向模拟标的的路径，在terminal time求payoff value2，往前返回一个时间节点，利用未来的discount value，用regression方法估算当前节点的continuation value；3，比较当前节点的continuation value与strike value，取二者最大做期权在当前节点价格4，重复2、3步骤直到初始节点。很清楚的能发现，LSMC实际上就是把计算continuation value的期望用回归的方法得了出来。因此LSMC在业内被广泛的应用到nested Monte Carlo问题之中。而且实际上，按照上述LSMC做出来的价格是有bias的。我们可以保留我们在LSMC中得到的在每个时间节点上的regreasion parameters，然后在重新模拟一次MC路径，然后利用这些regression parameters，在新MC路径里重新回归得到continuation value，然后再正向地search每条路径第一次strike value大于continuation value的时刻，然后将这些时刻上的折现期权价格求mean即可。之所以这么做，是因为LSMC在进行定价的同时，其实也通过这些regression parameters得到了这个期权的Optimal strike boundary。而我们第二次MC利用已经Optimal的boundary去search，可以有效的减少误差。除这两种方法，还有二叉树方法（可以很直观的得到对冲策略的估算），stochastic mesh，以及一些通过人工神经网络的方法，我在这里不讲过多，只希望朋友们能有个大概了解。

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