风险中性高阶矩怎么来？

写在前面的废话：
我们最近介绍了风险中性世界和现实世界，我和若基的分工是：他写点现实世界，我学习一下风险中性世界的故事。为了把两个世界区别开，前两天我在给几个人做期权策略分享的时候，直接用了期权世界和股票世界来替代，其实我想真正做交易的话，不用太计较这两个的区别，交易始终是在一个比较的过程，比较横截面的信息：期权市场的隐含信息，股票市场的信息；比较时序上的信息，过去、现在和预期。

这两天市场最火的文章，应该是vix.shtml" target="_blank" class="relatedlink">50ETF期权持仓量超过400万张，很多文章打出多空对决的标题，我昨晚和VEGA老师谈论这个事情，我们决定暂时不这样扎热点探讨，所以就没写这个文章。虽然没写文章，但是想了想，我个人认为站在交易的角度来看，由于下周几个事件的时间窗口叠加，看起来确实很像要有大事发生了，站在衍生品交易的角度来看，我又觉得需要谨慎看待，做衍生品交易其实最重要的是对现货市场的研究，至少截止在昨天（18号）现货市场并没有什么异常的事情发生，成交量、市场情绪都非常平淡，多空对决可能喊得就有点早，而且我个人的波动率预测指标给出的波动率并没有要大幅上涨的意思，今天盘后可以观察一下。站在市场发展的角度，我猜测自从192倍以后，期权市场的投资者结构可能已经加快发生变化了，这个如果能拿到结算公司的账户数据统计一下就知道了。400万张的持仓应该集中在虚值合约上，虚值合约由于杠杆比较大，尤其是浅虚值的合约流动性一直是比较好的，信息含量也更丰富，因此很多提取隐含信息的方法在筛选合约的时候都选择了虚值合约。看过CBOE关于VIX编制白皮书的朋友们都知道，CBOE用的是认购和认股的虚值合约来计算的，难道是巧合？为此我梳理了一下关于隐含波动率计算的方法，这里说的隐含波动率是指我们前面说的整个市场的隐含波动率，比如VIX是30天的隐含波动率，他是整个市场的特征代理变量，是一个加权结果，当然如果你懒，那你就用平值吧，或简单做个加权也不是不行。
CBOE那个计算VIX的方法大家其实都很清楚，如果不清楚的话，想要了解的朋友可以在后台留言，我们下次再写篇文章介绍一下，今天想说的是另外一篇文章，是一股脑计算风险中性波动率、偏度、峰度的文章。这个文章的本意是研究偏度的，所以后面在讨论偏度的时候我还是会不断提起它，今天先把它的一些算法思想简单罗列一下，如果大家想要比较仔细的推导过程，可以在后台给我们留言。许多上古的文章，我们就不介绍了，毕竟不是搞学术，因此很多都是一笔带过，当然有兴趣的朋友可以私底下问我们要文章的pdf，我们很乐意共享，大家一起讨论学习。
今天这个文章题目是《Stock Return Charcacteristics, Skew Laws, and the Differential Pricing of
Individual Equity Options》,作者是Bakshi，Kapadia，Madan 2003年发表的，按照习惯我们称之为BKM2003。BKM2003计算的方法基础其实是Bakshi和Madan2000, Carr 和Madan2001的结论：any payoff fuction with
bounded expectation can be spanned by a continuum of OTM European calls and
puts.其实就是任何回报函数都可以用欧式认购和认沽期权进行复制，用数学公式就是下面这样：

然后你两边在风险中性测度下贴现再取期望值，就是回报值了：

这个结论还隐含着一个道理，就是只要市场有足够多的期权，那么你可以复制出任何你想要的回报函数。发挥一下想象力，在一个平面上，认购多空和认股多空的回报曲线是不是把整个平面都覆盖了，是不是可以堆出任何的你想要的曲线呢?就像下面这样：

这个就是BKM2003中介绍的一种风险中性下的隐含高阶矩的计算方法。不过隐含波动率和偏度等有很多种计算方法，这只是其中的一种。关于BKM2003的应用，当然除了这个文章本身对偏度的解释和研究外，国内也有高校金融工程团队用BKM2003，不过当时受到数据的限制，一般是基于香港数据或者台湾数据，有兴趣的朋友可以用50ETF期权数据算一下。