【财通金工】期权小课堂（1）：期权定价中的行权概率该如何理解？

投资要点
期权小课堂第1期正式发布
期权小课堂第1期正式发布，本期我们讨论期权定价中最为经典的BS模型。
在期权小课堂后续的系列报告中，我们会为大家继续分析期权市场的各种现象，并对期权、指数以及波动率做更为深入的研究。

BS模型中N(d1)和N(d2)和分别代表什么？
N(d1)的经济含义为：在风险中性测度下，按照股票价格加权计算的行权概率；
N(d2)的经济含义为：在风险中性测度下，期权的行权概率。
一般情况下，我们认为：
N(d1)代表一个看涨期权的delta值；
N(d2)代表一个看涨期权的行权概率。

风险提示：本文所提供的信息仅供投资参考，并不构成任何投资建议。

B-S期权定价模型的基本概念 1

B-S模型的推导思路及各部分的经济含义 2

如何理解B-S模型中的N(d1)和N(d2) 3

实际案例分析 4上一节中我们分析了N(d1)和N(d2)的经济含义，在这一节中，我们设置一些具体的参数来观察和的数值情况，我们将分别对平值期权、实值期权和虚值期进行分析。
平值期权：S0=2.5，K=2.5，r=0.05，sigma=0.3，T=0.3
将其带入B-S模型计算可得：N(d1)=0.57，N(d2)=0.50，可以看到N(d2)小于N(d1)，符合我们前文的分析。平值期权的行权概率在0.5左右。随着到期时间的延长，行权概率会相对上升，并且，当临近到期期限时，平直期权行权概率会不断接近0.5。

实值期权：S0=2.5，K=2.3，r=0.05，sigma=0.3，T=0.3
将其带入B-S模型计算可得：N(d1)=0.76，N(d2)=0.70，可以看到N(d2)小于N(d1)，符合我们前文的分析。实值期权行权概率一般大于0.5，随着到期时间的延长，行权概率会相对下降，并且，当临近到期期限时，平直期权行权概率会不断接近1。

虚值期权：S0=2.3，K=2.5，r=0.05，sigma=0.3，T=0.3
将其带入B-S模型计算可得：N(d1)=0.37，N(d2)=0.31，可以看到N(d2)小于N(d1)，符合我们前文的分析。虚值期权行权概率一般小于0.5，随着到期时间的延长，行权概率会相对上升，并且，当临近到期期限时，平直期权行权概率会不断接近0。

关于N(d1)和N(d2)几个常见的问题 5问1：当标的价格S0等于行权价格K时，为什么行权概率N(d2)不等于0.5？
答：因为标的价格不是服从正态分布，而是服从对数正态分布，所以标的价格上涨和下跌的概率可能会不同，行权概率也就不一定等于0.5，还取决于无风险利率r和股价波动率sigma，若r+0.5*sigma^2大于0，那么N(d2)大于0.5；反之，N(d2)小于0.5。
问2：当标的价格S0等于行权价格K时，为什么delta大于0.5？
答：同样的，这也是因为标的价格服从对数正态分布，根据B-S模型，delta=N(d1)，当标的价格等于行权价格时，又有r+0.5*sigma^2大于0恒成立，所以d1恒大于0，即delta=N(d1)大于0.5。

问3：N(d1)和N(d2)的大小？
答：N(d1)总是大于N(d2)。
问4：S0为标的价值的现值，N(d2)为行权概率，为什么标的的预期收益不是S0*N(d2)？
答：因为标的在T时刻的价格和行权概率N(d2)之间不是独立事件，两者之间有联系，所以不能通过简单的相乘计算预期收益。

（附注：浙江大学的实习生傅俊豪参与了本项研究，对本课题有重要贡献。）

证券研究报告：《期权小课堂（1）：期权定价中的行权概率该如何理解？》
发布时间：2019年6月29日
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