《计算数学》青年评述 | 类Hartree-Fock方程的数值方法

《计算数学》自1979年创刊以来，一直记录与见证着中国当代计算数学的进步与发展，为我国当代计算数学的学术交流和人才培养做出了重要的贡献。计算数学青年学者是富有创新精神和创造力的群体。为有效地展示优秀青年科研人员的成果，《计算数学》特设“青年评述”栏目，刊发华人计算数学领域优秀青年科研人员研究工作的短篇综述论文。
本栏目采取“特约栏目编辑”制。文章由特约栏目编辑推荐，通过绿色通道审稿，录用后快速发表。第一届特约栏目编辑由中国科学院数学与系统科学研究院刘歆、清华大学吴昊和北京大学张磊担任。

内容介绍：
《计算数学》2019年第2期发表了综述文章“类Hartree-Fock方程的数值方法”，介绍了近年来大基组下的类Hartree-Fock方程数值求解的一些进展。类Hartree-Fock方程出现在Hartree-Fock理论和杂化泛函的Kohn-Sham密度泛函理论中，是电子结构理论中一类重要的方程。该方程在复杂的化学和材料体系的电子结构计算中有广泛地应用。由于计算代价的原因，类Hartree-Fock方程一般只被用在较小规模的量子体系（含几十到几百个电子）的计算。从数学角度上讲，类Hartree-Fock方程是一个非线性积分-微分方程组，其计算代价主要来自于积分算子的部分，也就是Fock交换算子。
关于类Hartree-Fock方程的数值解法，有小基组方法和大基组方法。小基组方法的优点是可以直接计算和存储离散Kohn-Sham矩阵和密度矩阵，但是计算复杂度较大为O(N[sup]4[/sup])，并且基组选择依赖于经验，难以系统地改善精度。大基组方法的优点是其更接近传统计算数学处理微分方程的方法，因此精度可控，并且可以通过各种方法提高计算效率。近年来，大基组方法被广泛地应用在量子物理与材料领域，也是本文的讨论重点。
作者根据近年来的研究成果，介绍了三类降低类Hartree-Fock方程计算代价的方法：自适应压缩交换算子方法（ACE），投影的C-DIIS方法（PC-DIIS）方法，和插值可分密度近似方法（ISDF）。将这三类方法结合，可以将1000个硅原子体系的数值计算效率提高40倍以上。这将杂化泛函的计算代价降至到了CGA泛函计算的水平，为半导体掺杂、表面物性研究等较大规模体系应用提供了可行的计算方案，也为积分-微分算子特征值问题数值方法的发展提供了新思路。

作者简介：

林霖，加州大学伯克利分校数学系副教授、劳伦斯伯克利国家实验室计算科学部研究员。2007年和2011年分别在北京大学和普林斯顿大学获学士和博士学位；2011-2013年在劳伦斯伯克利国家实验室从事博士后研究工作。主要研究领域为数值分析、计算量子化学、计算材料科学、多尺度建模和并行计算等方面。曾获DOE Early Career Award (2017-2022)、NSF CAREER Award (2017-2022)、SIAM Computational Science and Engineering (CSE) Early Career Prize (2017) 和Alfred P. Sloan Fellowship (2015-2017) 等。截止目前，在国际期刊上发表学术论文70余篇。

本期特约栏目编辑：
吴昊，清华大学数学科学系