白话详解期权交易的波动率问题

psycholiuzhao

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近期有很多朋友比较集中地问到了期权交易时的波动率问题。从这个现象中老貔发现期权市场中的交易者整体水平出现了比较大的提高，三四年前我想跟人说波动率的时候，必须得面对的一个问题是“了解波动率有啥用？”现在有很多人经历过很多次的沽购双杀之后，我终于可以不用再解释这个问题了。

今天5月4日了，劳动者的节日过完了，该到年轻人过节的时候了。像老貔这种不太油腻的中年人又得开始工作了。那我就趁着年轻人过节的时候，详细说说波动率的问题吧！

波动率是所有期权定价模型都需要面临的一大难题。因为波动率没法从市场中直接观察到的，而且波动率发生变化的时候又会去期权价格带来很大的影响。为了理解波动率及其在期权估值中的重要性，必须先了解理论定价模型的原理和基本逻辑。
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期权定价的原理和基本逻辑是什么？

不管你炒股票还是炒期货，你买入一支股票或者一个期货合约，都是因为你认为你买入的标的价格会上涨。但你能确定它一定上涨吗？显然不能。所以，实际上你所认为的是你买的股票或期货合约将会有更大的可能性上涨（确切的表述应该是收益期望值为正，这里还有一个可能是小概率的大幅度收益）。因而，所有的交易决策其实都是基于概率论而来的。

股票价格会有更大的可能性上涨，这种说法是一种主观判断。然而理论定价模型不能依靠主观判断。模型中的参数都需要有确切的赋值，即要用具体的数值化概率来表述股票价格上涨或者下跌的概率。
假设我进入市场并买了标的合约。如果忽略掉交易成本、利率以及冲击成本这些不同的市场中会有差异的影响因素，我能否计算出当前合约的合理价格呢? 既然要计算的是合理价格，那我们就得假定成交易期权合约买方和卖方在交易的过程中都没有占便宜也没有吃亏。这个假定更加学术化的表述叫做市场无套利机会。虽然在现实的市场交易中，无套利机会的假设是显然会被违背的，但所有的期权定价模型都是在这个基础之上建立起来的。
想要知道某个时候某支股票的确切价格显然是不可预测的，但我们至少可以计算出到期价格可能发生的概率是多少。假设某支股票一个月后的价格为90元的概率是10% ，95元的概率是20%，100元的概率是40% ，105元的概率是20%，110元的概率是10% 。用5个可能的一个月后的价格分别乘以其对应的概率，然后相加的总和是100元。这个100元就是该股票一个月后的期望价格，如果现在以100元的交易价格买入或者卖出该股票，那么你处于不赔不赚的水平。如果这些假设的价格和概率都是正确的，并且市场交易价也刚好是100元，这就是专业交易员所说的无套利机会(arbitrage-free)。
当我们把无套利机会假设应用于期权定价的时候，情况又会有所不同。假设我在上面的例子中没有买入作为标的资产的股票，而是买入的行权价格为100元的认购期权。到期时的价格将会是多少呢？
先不考虑为认购期权付出的权利金，也暂时不关心权利金的大小或者潜在的赢利和亏损。现在我们再用上述的方法计算认购期权在到期日的价值是多少。
如果我们买入的是股票，那么结果是损益平衡的，也就是说，到期时候股票价格高于100元我们会获利，而股票价格低于100元我们也会有相应的亏损。对于行权价格为100元的认购期权，如果到期时标的股票的价格为100元，那么期权价值是0。与股票不同的是，当标的价格继续下跌的时候，期权的价值依然是0，而不是出现亏损。由此可以看出，期权损益并不对称。
对比买入标的物和买入期权的期望收益如下：
买入股票的期望值是
10% × 90+ …… +l0% × 110=100

买入行权价格为100的认购期权的期望收益是
20% × 5+10% × 10=2. 00
加总各个场景下的概率，得到行权价格100元的认购期权的价值为2元。也就是说，基于概率计算的结果是以2元的价格买入此期权，在到期日时期望收益会达到损益平衡，不赔不赚。
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各种价格的发生概率是怎么来的？

理解理论模型的第一步是要认识到所有模型都是基于概率的。最大的难题在于如何确定准确的概率。

所有的理论模型，其原理本质上是一致的。要求推测出标的资产到期时一系列可能的价格及价格对应的概率。然后基于这些价格的概率分布计算期望收益，得出模型的理论价值。
期权定价有各种各样的理论公式，但不管是布莱克一斯科尔斯公式、还是二叉树模型，或者其他的什么新型计算公式，其本质上使用的都是相同的推理过程。最大的区别在于不同的模型赋予各种可能价格的发生概率有所不同。
一些模型根据历史数据来分配概率，一些模型则利用数学公式，还有一些模型利用其他的数学理论。但是，所有模型都有一个共同的特点：它们分配概率时都假设，如果以现在的价格交易标的合约，一般能在到期时达型损益平衡。换言之，任何一个公认的模型都假设标的市场无套利机会。
你不必同意这些理论定价模型中的任何假设，不过要想成为成熟的期权交易员，想正确地运用期权，你就必须得了解这些假设。
前面提到所有模型都假设为标的所处的市场无套利机会，但这会引出一个问题。你是否做过股票、期货或者其他衍生品的交易? 如果你做过，那在你进行这种交易的时候，你就已经违反了理论定价模型的市场无套利假设了。因为模型都是假设是成你不能从中获利，在无套利机会的市场中，你应该达到损益平衡，不赔不嫌。而人们在买卖股票和期货合约时，都认为自己是可以获利的，也就是说市场并非是无套利机会的，而且在很多时候有很多人也确实从交易中获利了。
在定价理论中，或者说模型的基本理念中存在一些很理想化的假设。可是进行交易的人并不认同这些假设，大家都知道理论模型并不是在完美地反映真实世界。但是我们都在用理论定价模型，也会修正模型，利用模型更好地交易，或者让交易更加贴近真实世界。
给标的合约的价格分配概率还存在一个较大难题。难点在于我在上述的例子中只给出了5个可能的到期日价格。可是在真实世界中，标的物的可能价格会非常多。因此，如果要建立一个非常好的理论定价模型，必须考虑无限多个可能的价格，必须为每一可能的价格分配概率。
大部分理论定价模型假设交易价格是正态分布的。该分布就是著名的钟形分布，中间部分集中了大部分概率，离中间越远，概率将逐步降低。这与我们对市场的直觉认识是基本一致的。因为越远离现价，达到极端价格的概率将变得越来越小。实际上，在大多数情况下，这样的定义也还是比较准确的。

这就是正态分布，其实它很变态

正态分布并不是只有一种分布，而是一组（理论上无限多个）分布。在描述正态分布曲线特征的时候，有一个比较重要的参数——标准差。标准差是用来衡量一个正态分布的离散程度的，如果标准差比较大，就意味着这个正态分布的分布曲线比较矮和比较胖，如果标准差比较小，则意味着这个正态分布的分布曲线比较高和比较瘦。
在这老貔要提醒各位朋友一个非常值得注意的问题，我们在考虑期权价格的时候说到的波动率，其含义与我们平时比较关注的涨跌幅或者振幅并不是一回事，它是指期权合约到期时标的证券的可能价格分布的标准差。虽然这个标准差的大小的确与标的证券的涨跌幅和振幅有比较大的关系，但有些情况下他们会不一致的。

这种曲线的高矮胖瘦可不只是审美的问题，那都是会影响到期权合约价格的。如果曲线比较矮胖，也就意味着在相同的时间内价格的偏离幅度会比较大，这个时候期权合约也就会比较高；反之，如果分布曲线比较高瘦就意味着相同时间内价格偏离的幅度会比较小，这个时候期权合约会比较便宜。
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分布形态如何影响到期权价格？

仍然假设标的合约的交易价格为100元，行权价格为120元的认购期权的价值该是多少呢?要想计算这份认购期权的价值，标的物未来的可能价格分布是一个重要的影响因素。
假设距离到期还有90天，期权的价值取决于期权变成实值的可能性。换言之，它取决于分布曲线中有多少价格高于行权价格。
如果标的物的价格每天上涨或下跌的均值为0.25元。那么行权价格120的认购期权变为实值的可能性有多大? 即便是没有谈到正态分布，你也很可能会回答：“如果标的合约每天上涨或下跌0.25元，为了达到120元，它必须连续上涨80天，因为每天涨0.25元，需要80天才能够涨20元。基于正态分布的假设，将对应画出一条分布曲线。可以看出行权价格120元的认购期权基本上不可能为实值。在此情形下，该期权的价值将非常小。
现在假设该标的物每天上涨或下跌的均值为2元，那么行权价格120元的认购期权在到期日变为实值的可能性有多大？可能性仍然不高，因为市场必须连续10天，每天上涨2元，标的合约价格才能达到120元。如果按照正态分布画出一条分布曲线，可以发现尽管可能性很低，行权价格120的认购期权还是有机会变为实值的。概率不是很大，但比每日波动0.25元时的概率要大得多。根据该认购期权变为实值时对应的不同价值，并利用定价公式在概率上求积分，就能确定行权价格120元的认购期权现在的价值。
接下来再举一个较极端的例子：假设该标的合约市场每天上涨或下跌10元，那么行权价格120元的认购期权在到期日变为实值的可能性多高?可能性相当高。当画出与此价格波动幅度相关的分布曲线时，你会发现这个结论非常明显。该曲线比其他两种情形下都更加扁平——在期权行权价格的右端有相当一部分的曲线延展。这说明，标的合约价格波动到行权价格120元以上的概率较高。
所以，尽管理论上我做出了标的物市场价格呈正态分布的假设，但在准确地估值认购期权前，我仍需要解决具体利用哪一个分布。
正态分布的基本假设是，市场波动是随机的——你不可能预测市场向哪个方向变动。换句话说，总有50%的概率上涨，50%的概率下跌。可能多数人会觉得这条假设也跟前面谈到的市场无套利假设一样在现实条件下完全靠不住，但实际情况是如果你详细记录自己对市场做的每次判断，你很可能会发现你非常自信的判断并不比随机概率更高，你在各种渠道能接触到的那些“股神”们做的判断也跟瞎蒙一样。老貔和自己的研究团队专门研究过市场指数的走势是否随机的问题，得到的结果是在各种时间级别上都找不出什么规律。换句话说，价格走势就是随机的，那些认为自己把握住了趋势的人，不过是人会普遍把自己的好运气当成是自己的判断而已。这里不得不提老貔研究团队的一名重要成员，就是它：

这只兔子不只会欣赏油画，还会炒股票。2015年，它在14名分析师或者基金经理加1只兔子的炒股比赛中获得了亚军，唯一战胜它的那位是徐翔。在徐翔被捕16个月之后，这只兔子寿终正寝，是中国投资界的又一重大损失。
告诉你这个兔子的故事并不是想说明这只兔子有多牛，只是想告诉你，随机交易的效果会远比绝大多数人想象的要好，反过来也可以说明那些看似靠谱的判断实际上有多差。
通常来说，价格变化是随机的这一点会非常出乎投资新手及很多缺少深度思考的老手的意料。他们一开始常常认为标的市场价格的变动方向是影响期权价格的最重要因素。但交易一段时间并且能动脑思考之后，大部分人就会意识到影响期权价格最大的因素其实不是标的物价格方向，而是对于标的物市场价格变化快慢程度的感知。
如果市场变动非常迅速，那么不论是认购期权还是看跌期权，不论是高行权价格还是低行权价格的期权，所有的期权价值都会增加。同样，如果市场变动非常缓慢，那么不论是认购期权还是看跌期权，不论是高行权价格还是低行权价格的期权，所有的期权价值都会下跌。这就是期权市场的独特之处：与标的物价格变动的方向相比，期权市场受标的物价格变动速度（或者说标的物的波动率）的影响更大。
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波动率数值的现实含义是什么？

波动率标准的定义是：当期权合约到期时标的证券收益率的标准差。在使用期权定价公式计算期权理论价格的时候，在需要代入波动率时放入标准差就可以了。但这里面又出现一个问题，不同期权合约的存续期可能是不同的。即使是同一个合约，随着时间流逝，存续期也会发生变化。当存续期发生变化的时候，到期的可能价格分布自然也会相应发生改变（通常是标准差会变小）。在这种情况下，就需要把波动率的取值也做出一个标准化计算、赋值方法，这样才能让这个数值的含义不产生歧义。尽管并非百分之百正确，但为了简化，一般将波动率定义为以年为时间单位的涨跌百分比的标准差。按照这个波动率的操作定义，波动率为1个标准差，以1年为周期，用百分比表示。比如说，当我们说50ETF的波动率为25%，这句话的完整含义实际上是说，如果50ETF的价格波动特性保持不变的话，在一年以后，50ETF的收益率的概率分布的标准差为25% 。
在实际使用的时候，我们需要的波动率通常都是更短存续期的。那我们如何通过年化波动率获得一定时间内的波动率呢？我想要用月波动率，周波动率，日波动率的时候怎么办？
利用一个相当简单的公式，就可以将年化波动率转化为更短时间的波动率。任意时间长度的波动率等于年化波动率乘以该时间长度的平方根。
接下来简单谈谈日波动率。1天占1年的分数值是多少？1年有365天。但是，当谈论到波动率，是指从一个时间段到另一个时间段的价格变化。市场价格变动的时间段，是指价格能真正变化的时间段。显然，我们感兴趣的交易所合约价格并不是每天都变动的。在周末及假期休市期间，价格都不会变化。因此需要把这些日子从365天里去掉。不同国家的假期也各不同，因而1年里的实际交易天数一般为250～260天。A股市场的实际交易日不固定，但一般会是240多天。为了计算简便，大部分交易员会假定一年有256个交易日，因为256的平方根是整数16。这样把年波动率除以16，就换算成了日波动率。
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期权交易时需要了解哪些波动率？

当我们说波动率的时候，实际上这个波动率里面可能会包含着多重含义。虽然这之间的差别看起来很细微，但是由此产生价差和损益却是不可忽视的。
第一种波动率是未来波动率。它的含义是标的物在未来一段时间的波动率，针对我们市场中的欧式期权，就是从现在到行权日这段时间内标的物的波动率。理论上来说，如果你能知道未来波动率，那么你也就能准确计算出期权合约的合理价格了（这个合理价格依然不是真实价格，因为真实价格要在这个基础之上再加入交易者的心理预期和合约价格的随机变异）。问题是，根本没有人能知道未来波动率是多大，大家都是在猜未来波动率，为了能在猜未来波动率的时候猜得更准一些，才引入了其他几个波动率的概念。
第二种波动率是历史波动率。这个是用标的物在过去一段时间里的价格分布情况计算出来的，目的是通过观察过去的情况对未来做出更准确的预测。考虑到标的物的涨跌很可能是个马尔科夫过程，适用历史波动率去预测未来的时候又有多种可能时间段的选择，所以历史波动率在预测未来波动率的时候到底有多大的作用很难说，我只能说把它作为依据总好过瞎蒙。
我们在交易软件中看到的历史波动率，如果你没有调整过设置，默认值是60日历史波动率。这里需要注意：60日历史波动率并不是60日的波动率，而是以前面的60个交易日为样本计算出来的年化波动率。
第三种波动率是预期波动率。预期波动率是通过借助一些历史数据，通过数学模型去预测波动率。实际上严格来说，历史波动率也可以看作预期波动率的一种，只是这个预测的方法是直接把历史波动率当作对未来波动率的预测了，方法简单、粗暴、不太准而已。
计算预期波动率的人和方法很多，但能够在市面上见到的靠谱算法几乎没有。这个事情也是可以想见的，一个比其他交易者更准确的未来波动率也就等同于比较稳定的超额收益，如果我能找到一种比较好的预期波动率算法我也会自己留着用，不会把它公之于众的。而且就算我有那爱心和共产主义觉悟，把计算结果公布出来了，也是十有八九会把大型投资机构给买断的。
第四种波动率是隐含波动率。隐含波动率是根据期权的市场价格反推出来的波动率。计算期权价格的时候，我们是用行权价格、标的价格、剩余时间、利率、波动率来计算理论上的合理价格。现在如果我们假定市场上的真实交易价就是合理价格，其他4个变量又都是已知的，那就可以根据计算公式反向求解隐含波动率了。隐含波动率可以理解为市场自身对波动率的预测，是所有的交易者通过竞价所达成的对未来波动率的共识。
现在我们国家的场内期权交易时间还比较短，大部分交易者对于隐含波动率会有一些不切实际的幻想。很多人相信市场永远是对的（其实只是不想承认自己是错的），而且经典的金融学理论也都遵循市场有效这个基本假设。可是按照隐含波动率的算法，相信“市场永远是对的”则会让自己陷入到一个比较尴尬的处境。既然市场是对的，那也就意味着我们无论做什么交易，期望收益都是0。如果再考虑到交易成本和资金占用的问题，期望收益会变成负值。换句话说，如果你相信市场是对的，那你就不该出现在这个市场里，除非是你来特意给人送钱的，而不是为了通过交易赚钱的。
关于隐含波动率，还有两点需要额外说明的。
第一点，严格来说隐含波动率其实并不是波动率，而是一个大杂烩。因为在通过市场价格反推隐含波动率的时候假定了影响期权合约市场价格的因素只有标的物当前价、合约行权价、标的物的波动率、合约的存续期以及市场中的无风险利率，所以去掉另外四个因素的影响，剩下的就都算在了波动率的头上。可是现实条件下影响期权合约市场价格的因素不只这五个，类似于交易者风险偏好、交易规则上的一些限制、市场情绪、合约的流动性状况，甚至乌龙指都在影响着期权合约价格。这些没有被纳入到期权定价公式中的影响因素，在通过市场价格反推隐含波动率的时候就都被算作是隐含波动率了。
第二点，按理来说波动率是标的物的波动率，一个标的物在一段时间内的波动率只能是一个值。可是隐含波动率是通过市场价格反推出来的波动率取值，所以每个期权合约都会有一个隐含波动率的值。以行权价或者delta值作为横轴，以隐含波动率的取值作为纵轴，把各个合约的取值都放到这个坐标系里，常常会出现一个两边高中间低，类似于微笑的嘴型的曲线。这个东西被成为波动率微笑。对于波动率微笑的研究是一个还在进行中的研究热点，这个问题研究起来很有意思，研究明白了也能转化成市场中的收益。

最后，需要给大家讲一个关于波动率的悲剧故事。
我们可以通过一些数据去推断波动率会是多大，也可以通过自己对市场的主观判断对这个值做出修正，但是让所有交易者都会感觉头疼的问题是，你在这种波动发生之前你没法确定自己的估计是不是正确的，而在波动发生之后你知道了自己的猜测对与不对，却又没法去改变已经发生了的结果了。

写这篇文章的时候，老貔也知道这篇文章的难度，虽然我已经在尽量让讲的内容看起来不那么难了。能够坚持看到这里，实属不易。如果觉得还有什么地方是没说清楚的，欢迎留言提问，老貔会给回复的。

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如果你爱一个人，让他去做期权吧，因为这里是天堂；如果你恨一个人，让他去做期权吧，因为这里是地狱；如果你想自己把握住自己的财富和命运，抓紧学期权吧，因为这决定着你面对的会是天堂还是地狱。

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