真实简单波动率与复杂定义波动率的具体比较

               真实简单波动率与复杂定义波动率的具体比较
                                          于德浩
                                       2019.5.11
股价波动的原始定义，应该当天的最高价减去最低价，然后除以最低价。为了方便起见，我们只记录收盘价，每天波动的简单定义就是今收盘价减去昨收盘价的绝对值除以昨收盘价。可是，当前的金融统计学，波动率却复杂了，被定义为，今收盘价除以昨收盘价，然后取自然对数；这一组数列的标准差就是股价波动率。
由于每日涨跌幅较小，在0附近，所以泰勒展开ln(1+dx/x)=0+dx-dx^2/2，取一阶近似，这两种方式还是近似相等的。不过，由于数据多，可能偏差会较大，我实际计算一下。
我们统计最近20个交易日的股价波动率。先记录原始数据收盘价。上证50ETF从2019.4.10到5.10的数据如下，{2.964，2.912，2.906，2.906, 3.008， 2.997, 2.987, 3.024, 2.958, 2.963, 2.958, 2.913, 2.880, 2.921, 2.928,2.787, 2.790, 2.745, 2.686, 2.777 }。
牛顿曾经感慨，“算得出天体的运行规律，算不出人性的贪婪与恐惧。”现在事后看，我们应该在3.0高点卖出，在低点2.7买入。可实际上，根据当时的考虑及模型应用，我是在3.0元卖出，然后在2.95元买回；以为股价要突破向上至3.1元以上，可实际股价大幅下跌至2.7元低点。在这个点位，已经没有资金补仓了；或者说仅有的备用金也不敢再补仓了。现在就是持股按兵不动，希望股价反弹上涨。我宁愿我不补仓少赚，宁愿所有的合理的看空模型的可能结论都错，只要股价能高涨，几乎所有股民都高兴。
先看看真实简单波动率的计算。数据处理，(F2-F1)/F1，这就是每天的收盘涨跌幅。加上一个4.9号的数据，收盘价2.949元。
{0.51%， -0.0175， -0.21%，0.00%， 3.51%， -0.37%， -0.33%， 1.24%， -2.18%， 0.17%， -0.17%， -1.52%， -1.13%， 1.42%，0.24%， -4.82%， 0.11%，-1.61%， -2.15%， 3.39% }。
这20个数的算术平均值，也就是期望值估计，mu1=-0.28%。
真实简单波动率就是绝对值的平均值。R1=1.34%，这期间波动还是很大的。
再来看一看这组数的标准差。（x-mu）^2的数据，省去%的平方。
{0.6241， 2.1609， 0.0049， 0.0784， 14.3641， 0.0081， 0.0025， 2.3104， 3.61， 0.2025， 0.0121， 1.5376， 0.7225， 2.89， 0.2704， 20.6116， 0.1521， 1.7689， 3.4969， 13.4689 }。
这个求和再平均，其实主要决定于距离期望值很远的那些大的涨跌幅。正常统计，应该是忽略2倍以外的稀有事例。还是平方和求平均吧。
68.2969/20=3.4148；3.4148^0.5=1.85。即标准差1.85%比绝对值之和的平均1.34%要大不少。

再看看复杂波动率。中信证券的行情软件显示，隐含波动率0.2676，历史波动率大约是0.27。所以，每天的波动率是0.27/16=0.0169，即最近20天的波动率是每天1.69%。这与上一组数据的标准差差不多，但比真实简单波动率要高。
看看具体的计算过程。首先数据处理ln(F2/F1)，
{0.51%， -1.77%， -0.21%， 0.00%， 3.45%， -0.37%， -0.33%， 1.23%， -2.21%，  0.17%， -0.17%， -1.53%， -1.14%， 1.41%， 0.24%， -4.94%， 0.11%，-1.63%， -2.17%，  3.33% }。
这个数据集合与上一个基本近似相等。只是，正向偏多的数据略小，负向偏多的数据略大。这组数的期望值与标准差就不再计算了，应该与上一组基本一样。这个历史波动率，今天周六，股票期权行情软件没显示，如果是29%，那么每天波动率就是29%/16=1.81%。这与1.85%的标准差基本相等。
金融统计学定义的复杂波动率与真实简单波动率定性是一致的，定量上要比简单波动率高40%。方差开平方要比绝对值求和再平均要大。
估计牛市行情的每天上涨期望值为+0.3%及股价波动每天1%，也是基本合理的。