股票期权定价与交易心理

                     股票期权定价与交易心理
                                       于德浩
                                    2019.4.27
一个人为什么要买认购期权呢？是因为他觉得，股价要大概率上涨。另外一个人为什么要卖期权呢？因为他觉得，股价不会上涨，至少不会涨很多。
比方说，股票的每月涨跌幅大约是正负4%，这可以看成是一个标准差。当一个人看涨时，他主要是认为，下个月的期望值与当前值不一样，至少要比当前值高一个标准差。也就是，他认为股价平均要上涨4%，作为下一个月的新的期望值。既然是新的期望值，那么下个月20个交易日内，出现的概率就是100%。就是说，在20次事例中，一般会有14次出现在期望值附近正负1个标准差呢，其中一天出现在期望值附近，肯定是全概率覆盖了。
所以，作为信心满满的多头，认购期权的买家，可以给出4%的权利金。“估计至少会有4%的涨幅出现；如果出现5%，就是月收益（5%-4%）/4%=25%。再差也应该是保本，4%成为月的最大涨幅。”
而作为期权卖方，当然是看跌的。他认为股价大概率下跌，就算是期望值不变，那么最差也就是，股价随机运行到右边1个标准差的地方，涨4%。如果，我收到4%的权利金，这起码不会亏损。在空方看来，即使下个月股价上涨4%，他不认为自己的看跌观点是错的，只不过是运气不好，股价朝右走了一个标准差。一般来说，如果这个月股价出乎意料的上涨4%，下个月空方会更大胆的做空，至少是均值回归嘛。
同理，认购期权的买方是强烈看多的。如果，这个月股价上涨4%，他认为是股价期望值变大了4%，而不是股价的随机右移一个标准差。这时，他坚信自己的看涨观点正确，但会感叹运气不好，竟然没有在新的期望值的右侧运行。
所以，一般期限30天的平值认购期权的定价大约是一个月的平均波动，比方说4%左右。这是期权的卖方和买方都能接受的价格，这就是市场的成交价。
平值期权的价格主要决定于波动率，与无风险利率几乎没有关系。就如同，饭店里一盘炒土豆丝价格20元，与原材料土豆的价格2元一斤几乎没有关系。市场的无风险利率，大约是债券5%的年利息，市场的民间借贷利率月息一分；而认购期权的30天价格一般是4%，是债券利息的10倍，市场平均利率的4倍，高出太多了。
实际案例，当前50ETF价格2.880，平值期权2.9元剩余25天报价0.0745元，占比0.0745/2.880=2.6%。目前的隐含波动率0.2598，比较低。平均每月0.1元的波动，我看还是比较合理的。而且，后面有五一假期，真实剩余交易日只有15天。
虚值期权2.95元认购25天，报价0.0562元；3.0元期权0.0416元，3.1元期权0.0216元。这里可以有一些概率论的推理。按照多方观点，如果认为未来的新期望值是+4%，大约是3.0元，这个达到的概率是100%。那么目标价3.05元就是右边+0.5X，概率就是（1-0.7）/0.5=0.6，这样2.95的虚值期权就大约是0.6*0.0745=0.0447元。这比市场价0.0562元小这么多？同理，达到3.1元的概率就是0.16/0.5=0.32，认购期权3.0元的预估就是0.32*0.0745=0.0238元。预期达标获利0.1/0.0238=4.2倍，而市场价是0.0416元，实际赔率降低为0.1/0.0416=2.4倍。
先不要急着去修正，去牵强附会现有数据。这里的主要原因有两点，一是虚值期权的赔率更大，有边界条件的影响。二是，实际股价是厚尾分布，比正态分布预设的概率要大。
认购期权2.95元的预期达标获利是0.1/0.0447=2.23，这就是赔率；而平值期权2.9的赔率是0.1/0.0745=1.34倍。这得有个修正，折中一下，让预期达标获利减小为1.785。最后的预估价就是0.1/1.785=0.0560，这样就很接近市场价0.0562了。
其实，“与数据相符”是学术模型的追求，但对交易获利并没多大用处。因为，不论有没有这个定价理论模型，市场价就在那儿摆着。完全符合却未必是好事，这有可能只是循环论证。
在上面的实际案例中，这说明一个问题，就是虚值期权如果按照胜率相等，要比平值期权相对更贵。平值期权的胜率是100%，价格是0.0745元；虚值期权的胜率是60%，理应是0.0447元，可实际市场价格是0.0562元之高。如果我们认为市场价是合理的，那么市场在有意降低“以小博大”的预期收益。
关于胜率和赔率。在简单的掷硬币游戏中，公平博弈是，“如果为掷硬币是正面，我赢1元；反面，我输1元”。我的胜率是50%，赔率是2倍，期望收益就是0.5*2=1。如果连续两次为正，我就得到4元；否则，就输1元。这也是公平博弈。0.5^2*4=1。如果连续3次为正，我得8元，否则输1元。这个大赔率的公平博弈，对手方就不愿意接。“一下子我输8元，有点多。要是你赢6元或7元，我才接。”这个大赔率的边界条件就把“以小博大”的50%概率降低为40%。
在实际应用中，胜率是未知的，而赔率都是确定的。“来来来，押10块，赚100。只要你能连续4次掷硬币正面。” 这样的街头赌局是很吸引普通人的，尤其是赌徒。理性的看，这明显很不公平。你只有6%的概率能赢，你至少得参与16次才行；再者，公平赔率是16倍，而这只有10倍。而赌徒是这样想的，“要是成功了，一下子就是10倍呀，多刺激！赢一把就走，老天保佑好运气。”
股票期权交易，对赌博弈，都是专业的金融交易员。这里面的定价大都是合理的，几乎没有无风险套利空间。而且期权交易的手续费是很贵的，现在大约一次买卖1%，是股票0.1%的交易税费的10倍。
股票价格的期望值变化，没有什么模型能去预测，也就是胜率是未知的；而股价每月的波动基本是确定的，大约每月4%左右，这相当于赔率是确定的。一般来说，如果你看涨股价，并且信心十足，你应该去买平值认购期权或浅度虚值期权，不应该去买深度虚值期权。我们要先保证胜率，平值期权的胜率是100%，浅度虚值的胜率是60%，这个参与是应该的。而虚值期权的胜率降低到50%以下时，不管赔率有多高，都应该敬而远之。
在实际过程中，你也要保持自己的信心。比方说，当50ETF股价是3.0元时，你预期下一个月的期望值是3.1元。于是，你买入平值期权3.0或浅度虚值认购期权3.1。如果开局不利，股价竟然降到2.9元了。你不要灰心，就当是股价随机左移了一个标准差。记住，金融交易一定不要朝令夕改。

至于期权市场价格随行权价的升高而降低，我们可以引入物理半衰期的思想，认购期权价格是指数降低的，拟合一两个待定参数就行。当前50ETF价格2.880元，期望值是多头认定的3.0元，标准差是确定的0.1元。平值期权2.9的预期获利是0.1元，概率是100%推定。
p=a*e^(-bx)。当x=0时，p=0.0745元；当x=0.5时，p=0.0562。解得，待定系数a=0.0745，b=0.56。
推算，当 x=1.0时，p=0.043元，市场价是0.0416元；x=2.0时，p=0.0243元，市场价0.0216元；x=3.0时，p=0.0139，市场价是0.0109。x=4.0时，理论价是p=0.0079；对应严重虚值期权3.3元，市场价是0.0065，这个其实没啥意义了。