Black-Scholes方程中为什么会没有股票收益项μ？类似地，为什么二叉树定价和真实概率P无关？

我知道推导，我只想能听到一个感性上的解释，好多年了，总是不能特别好的说服自己

LeeS · 2018-10-17 23:03:56

当我们用驱动方程dS来描述一个标的资产价格过程的时候，通常是在“客观测度“（physical measure）的意义下，这个所谓的客观测度就是使得dw成为布朗运动的那个测度。其实你应该知道，当我们定义一个随机过程的时候，先要在底空间上定义一个概率测度。一个随机过程是不是布朗运动取决于你在空间上赋予什么样的测度。既然你的方程里面出现了dw项，说明你已经承认这个空间上已经有了这么一个客观测度，否则方程本身没有意义。

但是，你再看这个方程，发现它不但有dw项，还有dt项，由鞅的表示定理知道，这时方程描述的价格过程不是一个鞅。不是一个鞅会怎样？说明价格过程的期望值随着时间的变化而变化，它不是一个常数，处理起来会有很多技术上的问题。于是你想知道能不能把它变成一个鞅？

可以。但是需要转换计价单位，即把这个价格过程转化为“相对价格”过程。计价单位选什么好呢？任何一个市场上都有“无风险”证券，比如国债的收益率曲线可以认为是无风险收益率。为了方便起见，我们采用它作为计价单位，记为B，dB = r * B dt。在这个计价单位下，把 d(S/B)用ito公式展开得到一个新的方程，即相对价格过程方程。Girsanov定理说，为了使新方程是鞅，我们需要定义新的测度，不同于客观则度的测度。既然定义了新的测度，那么原来的dw也就不再是一个布朗运动了，而我们有了新的布朗运动dw*。在新测度之下，把dw*带回原方程，这时你发现mu不见了，取而代之的是r。

其实，选无风险计价单位只是为了方便，你可以选任何一个你感兴趣的计价单位，相应的BS方程会表现出不同的形式，比如描述汇率的方程就跟BS方程不同，BS方程本来就有多种形式。

SagittaireX sun · 2018-10-17 23:03:57

任何资产，任何时候，以无风险利率r贴现到现值的期望相等！！！其实就是说我们现在金融衍生品市场中基础的定价模型基本都是以风险中性以及标的价格符合几何布朗运动为假设前提的。那么就是用无风险收益率r替代了定价公式中的最初的漂移率miu（具体参照Girsanov theorem）。而在二叉树定价模型中的上涨或下跌概率也是在风险中性的假设前提下而计算出来的风险中性概率，是与真实的价格上涨下跌概率无关的。

冯源 · 2018-10-17 23:03:59

简单说就是不管mu怎么样，期望意义上你都能把它对冲掉。所以不需要它。

阎兆珣 · 2018-10-17 23:04:00

“风险中性概率定价”这个概念是期权定价有史以来最大的伪概念。正确的提法应该是“鞅测度速算定价”。
可以证明，自融资的调仓对冲方程组可以化简为
d(V/B) = b( d(S/B) )
或者
d(V/S) = a( d(B/S) )
d为微分运算，而a和b为常量
也就是到这一步了，我们似乎可以用常微分方程的方法来解，如果右边的微分是dt那种东西，相信你已经解出来了，是一个幂函数。但是本质上右边既有dt，又有dW，是大杂烩。Harrison假设右边只有dW，那就好办了，我们对两边做积分，得出来的东西必然是均值为初始值的正态随机变量。既然如此，就可以再取期望
E[Vt/Bt] = [Vo/Bo] (当且仅当 d(d(S/B))/dt == 0 )
这不就可以解出来了么？
或者
E[Vt/St] = [Vo/So] (当且仅当 d(d(B/S) )/dt == 0)
这也可以解出来了
教科书一般管第一种叫风险中性定价，第二种叫numeraire分母定价，其实只不过都是鞅速算的实现形式。详细推导请见我在SSRN的论文Illustration on Martingale Pricing without Risk Neutral Measure.

徜徉 · 2018-10-17 23:04:01

μ其实就是标的证券的预期收益率，在BSM偏微分方程推导的过程中，认为在极短的一段时间内，你构建的“标的证券+期权的无风险组合”的瞬时收益率等于该段时间的无风险收益率，因此μ就没了。
不能轻视假设的意义，背后含义是所有参与者都是风险中性的，主观偏好并不影响期权定价。而二叉树是通过密集的离散运算近似连续，时刻保持你的组合是无风险组合，以便在每个短时间间隔上可以使用无风险收益率近似瞬时收益率。构建无风险组合，就是为了扔掉真实概率。但既然是近似，该定价方法自然存在问题，因为真实的参与者是风险厌恶的。

PS：
从结论而言，问题出在下面的公式上：

具体而言，问题出在推导过程中的这一步：

其实，风险中性假定只是一种纯技术假定，加以修改，还是可以适用于风险厌恶的真实情况的。

匿名用户 · 2018-10-17 23:04:02

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venidici · 2018-10-17 23:04:03

无套利等价于风险中性。

在路上0709 · 2018-10-17 23:04:04

前面各种大大已经解释的很清楚了，我来贴一个Pearson Derivatives Market书上的解释，理解的不对还请大神指教
假设风险中性概率为p*，真实的概率为p
p*满足的式子是p*uS+(1-p*)dS=Se^(r-δ)h，其中r是名义利率，δ是股利率
同理，当只有一只股票的时候，有puS+(1-p)dS=Se^αh，这个α就是真实的纯股票回报率，这个式子下没有引入call或put
当用一个portfolio去模拟这个hedged position (比如股票+call）的时候，假设用△单位个股票+B单位的lending能够完全模拟这个portfolio，那么我们可以得到：
e^γh=S△e^αh/(S△+B)+Be^rh/(S△+B)，γ为这个portfolio的回报率，由股票回报+lending回报组成
这个时候的γ才是正确的贴现率
如果这个时候计算Call premium的话，就会发现使用γ作为贴现率的时候，e^γh(pCu+(1-p)Cd)就成立了
也就是说，这个portfolio的风险不仅仅是由股票带来的，而是一个portfolio组成的，option的存在本身就已经hedge了股票的一部分风险，所以不能单纯地用股票的实际概率p来模拟risk neutral，如果对这个portfolio的风险和回报进行修正以后，就可以用真实概率来求解option price了。

li li · 2018-10-17 23:04:05

风险中性下的定价，这样mu 即股票收益率等于无风险利率了。

风险中性下的导出的几个分数成了概率，这个概率是风险中性的。

Black-Scholes方程中为什么会没有股票收益项μ？类似地，为什么二叉树定价和真实概率P无关？

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