趣谈爱琴海边的希腊字母

股票期权作为股票的“孩子”，其脾气秉性自然受三方面的影响：一是自身“基因”的制约，比如：权利属性（认购还是认沽）、行权价（K）、到期时间（T）；二是“父母亲”的言传身教：股价（S）、股价的波动率（）；三是社会大环境的熏陶：无风险收益率（r），那么一份股票期权的价格（V）究竟是如何被这些因素所影响的呢？换而言之，股票价格上涨1％，或者股价波动率上升1%，作为孩子的期权的“脾气”变化多少呢？

为了回答这个问题，我们就必须认识五个“希腊字母”了。毫不夸张地说，这五个希腊字母就是期权价格变化的生命源泉，也是“孩子”与“父母”的纽带。这五个希腊字母就叫做Delta，Gamma，Vega，Theta和Rho。

1 Delta

1.1 Delta是什么？

期权是标的资产的衍生产品。两者之间就像是“父子”一样，父亲的一举一动无时无刻不在影响着孩子的行为。父亲的这种影响力就是Delta。

以50ETF为例，当ETF价格发生变化时，期权价格也会随之改变。ETF与期权之间的价格关系可以用Delta来刻画：当ETF价格变化0.001元时，对期权价格的影响就是0.001*Delta元。

认购期权是“乖孩子”，当“父亲”ETF价格上涨的时候，认购期权价格也会上涨，认购期权的Delta大于零；而“坏孩子”认沽期权则恰恰相反，当ETF价格上涨时，认沽期权的价格反而是下跌的，它的Delta小于零。

1.2 Delta在投资中的两个简单应用

一个是对冲作用。如果我们有着如下对冲组合：由Delta份ETF空头和1份期权多头组成。当ETF价格变化0.001元时，Delta份ETF空头价格会变化-0.001*Delta元，1份期权合约价格会变化0.001*Delta元。两者相互抵消，对冲组合的整体价格几乎不变。因此，我们可以用Delta份ETF空头去对冲1份期权。

另一个是计算杠杆。我们知道期权具有一定的杠杆性。比如ETF上涨1%，期权上涨10%，那么期权的杠杆就是10倍。那么通过Delta，我们可以计算期权的杠杆倍数。假设目前50ETF的价格是3.000元，有一份1个月后到期行权价为3.20的认购期权，现在的价格是0.1000元，Delta为0.33。如果ETF上涨1%，也就是0.030元，期权价格就会上涨0.030*Delta，等于0.1元。从涨幅来看，期权合约上涨了10%。因此，期权合约的杠杆大概是10倍。

1.3 Delta与标的价格的变动关系

无巧不巧，不论是认购还是认沽期权，Delta的绝对值都介于0与1之间，而且越实值的期权Delta越接近于1，越虚值的期权Delta越趋近于0，平值期权的Delta恰好是0.5。因此我们也可以把Delta想象成期权到期实值的概率。

这就好比德国队和沙特队的足球比赛。有一张足球彩票，如果德国队获胜超过3球，每多赢一个球就给多给彩票持有人1元的奖金。当德国大比分（8:0）领先沙特时，几乎可以确定德国队能够以3球以上的比分战胜沙特队。那么，德国队每再进1球，彩票的价值就会上升1元。彩票的Delta接近于1。反之，如果下注沙特赢，这张彩票就一文不值。因此，此时比分的小幅变化不会改变比赛的结果，此时，彩票的Delta接近于零。

1.4 Delta与到期期限的变动关系

我们继续以足球赛为例，当离球赛结束还有很长时间时，落后一方依旧有机会反败为胜，但是到了最后时刻依旧落后，那么他们能够获胜的几率就很低了。以中国队经常出现的“黑色三分钟”为例，在比赛快结束前被进一球，那么在仅剩的时间中是很难再改写比分的，故而此时下注中国输的足球彩票其Delta是很高并接近1的，反之下注中国赢的足球彩票其Delta时近乎为0的。若两队到最后时刻比分依旧持平，双方获胜的可能性五五开，故而此时下注任意一方赢的彩票其Delta接近0.5。

2 Gamma

2.1 Gamma是什么？

不管是“乖孩子”还是“坏孩子”，总是会受父亲的影响，但父亲的影响力并非一成不变。Gamma就是用来描述父亲影响力变化的。用数学语言来说， Gamma就是Delta随标的价格变化而变化的幅度。即，当ETF价格变化0.001元时，Delta变化0.001*Gamma。

在实际交易中，Gamma还有另外一层含义。我们知道，对冲组合由Delta份ETF空头和1份期权多头组成。Delta会随着ETF价格变化而变化。当ETF价格发生变化时，为了保证对冲的效果，需要调整ETF的头寸Delta。当ETF价格变化0.001元时，ETF的头寸Delta也会相应的变化0.001*Gamma。因此，Gamma表示的是对冲风险的难度。

2.2 Gamma与标的价格的变动关系

Gamma是衡量对冲风险的。对冲风险越大，Gamma也越大。那么期权在什么时候对冲风险最高呢？足球比赛中，比赛胶着的时候，结果的不确定性最大；同样当标的价格接近行权价时，期权是否会被行权的不确定性最大，此时的对冲风险也最高，Gamma达到最大值。而当标的价格接近于0时，认购期权近似于一张废纸，并不需要进行对冲，对冲风险很低，Gamma接近于零。当标的价格接近于正无穷时，标的价格每变化1元，期权价格也会变化1元，因此1份ETF可以很好地对冲1份期权，对冲风险也是很低的，Gamma也接近于零。因此，Gamma随标的价格呈现一个先上升后下降的过程，并在标的价格接近行权价时达到峰值。

2.3 Gamma与到期时间的变动关系

我们再次从球赛的角度理解：若某队在比赛刚开始时进了1球，由于剩余时间较长，落后队依旧有机会反败为胜，故而此时1球对于结果的影响不大，此时Gamma较低。但随着比赛进行到中盘，1个进球对于比赛结果的重要性就开始凸显，此时Gamma升高。随着比赛进入最后时刻，若某队领先或落后，1个进球可能无法逆转比赛结果，此时Gamma回落。但如果两队比分持平，此时1个进球对于比赛的结果是具有决定性的，平值Gamma会继续升高。

3 Vega

3.1 Vega是什么？

第三个要介绍的希腊字母是Vega。我们再举一个例子。喜欢篮球的朋友对这里的两个篮球明星一定不会陌生。左边的那位是洛杉矶湖人对的科比，右边那位是骑士队的詹姆斯。假设你是一家保险公司的精算师，两位球星分别在您的公司投保意外伤害险，你会收取相同的保费吗？答案显而易见，保险公司会向有严重伤病史的运动员收取更加高昂的保费，因为他们身体状态具有更高的不确定性。

通常，不确定性越大，风险也就越高，承担风险的一方自然要求更高的补偿。在期权的世界里，预期波动率描述了人们对未来的不确定程度。类似于保费，对于预期波动比较大的资产所对应的期权，期权卖方也会收取更高的期权费。

期权价格和预期波动率之间的关系用Vega来衡量。其他因素不变，期权价格随着标的资产预期波动率的增加而上升，因此不论认购还是认沽期权，Vega都是大于零的。

3.2 Vega关于标的价格的变化关系？

Vega随标的价格的变化与Gamma类似：当标的价格接近行权价格是，期权是否会被行权的不确定性最大时，期权价格对标的价格的波动也最为敏感，Vega达到峰值，而在标的价格极大或极小时，Vega接近于零。

3.3 Vega关于到期时间的变化关系？

喜欢网球的朋友都知道曾经的“费纳决”。费德勒和纳达尔是两位伟大的球员，然而他们所经历的伤病历程却截然不同。费德勒人称“瑞士快车”，几乎很少遭受伤病困扰，一年从头到尾基本都能如约参赛，而纳达尔就不同了，法网过后经常因旧伤复发而匆匆离去（豆粉们请见谅）。如果为他们买个一年期的伤病保险，你觉得两人的保险费差距大吗?答案是肯定的。可是极端地，如果为他们仅买个一天的伤病保险，两人的保险费差距还会大吗？我想两人的保险费之差就会很小了吧。这就说明Vega会随着期权到期日临近而整体趋于0。

4 Theta

4.1 Theta是什么？

接下来，我们来聊一聊Theta。Theta衡量的是期权时间价值的损耗。什么叫时间价值呢？譬如西方有一句谚语：“年轻人犯错误，上帝也会原谅的。”意思是说，对于年轻人，犯错了，跌倒了并不可怕，总是有机会改正错误的。因为对于年轻人而言，只要有时间就有希望，而这就是时间的价值。

大家都看过中国国足的比赛。上半场比赛结束的时候，中国队以0比1落后，中国球迷还抱有一线希望。然而，随着比赛临近尾声，比分还是没有改变。电视荧幕上的解说员总会说出一句脍炙人口的名言——“留给中国队的时间已经不多了”。对于大多数期权而言，随着距到期日的临近，期权的时间价值也会不断损耗。因此，大多数期权的Theta是小于零的。

4.2 Theta也有可能大于0的哦？

当然也有例外，这种例外会出现在深度虚值的认沽期权身上，怎么理解呢？假设现在有一家公司3个月后到期，行权价为100的认沽期权。公司因为经营不善已经宣告破产了，股票变得一文不值。因此，期权买方在3个月后一定会行权，获取100元的权利金。这张期权就变成了3个月后价值100元的“债券”。我们知道，随着到期日的临近，债券的价格是不断上升的，因此，这张“一定会被行权”的认沽期权的价格也会随着到期日的临近而上升，对应的Theta大于零。

5. Rho

最后我们来看看Rho。Rho衡量的是无风险利率对期权价格的影响。Rho对期权价格的影响，也就是期权到期支付或者收取现值的变化是一样的。如果距离期权合约到期日的时间不变，无风险利率上升，认购期权到期支付的现值就会下降，期权的价格就会上升，所以，对于认购期权，Rho大于零。而对于认沽期权，无风险利率上升会导致到期收取的现值下降，期权的价格同样也会下降，因此，对于认沽期权而言，Rho是小于零。

在这里我们举个简单的例子，方便大家理解。假设投资者购买了1张3个月后到期，行权价为3.20的50ETF认购期权。如果投资者行权的话，需要在到期日，也就是3个月后，支付3.2乘以10000，也就是32000元的行权费去购买10000份50ETF。假设3个月的无风险利率是1%，32000元行权费的现值，也就是投资者行权的资金成本是31638.2元。如果3个月无风险利率上升到1.5%，投资者行权的资金成本就会下降为31527.1元。无风险利率的上升，使得认购期权买方行权的资金成本下降，认购期权对期权买方而言变得更有价值，因此认购期权的价格上升。同样的道理，无风险利率的上升，降低了认沽期权买方所能收取的收益的现值，因此认沽期权的价格就会下降。

最后，我想以一首打油诗来结束“期权希腊字母”的“爱琴海”之旅，来作为一个interesting end！

德尔塔，看股价，穿梭牛熊依靠它；
买购卖沽合多头，威武看涨正德他；
卖购买沽合空头，预期下行负德他。
伽玛兄，二阶导，猴市利润大赢家；
大幅震荡正伽玛，买购买沽建宽跨；
小幅盘整负伽玛，三腿蝶式加卖跨。
斐咖第，看隐波，股价起伏影响大；
做多波动正斐咖，隐波上升把钱拿；
做空波动负斐咖，隐波回落获利差。
赛他君，看期限，伽玛赛他似冤家；
买个期权负赛他，期盼时间满满哒；
卖出开仓正赛他，但愿分秒如水哗。