为什么平值期权的 delta 值会在正负 0.5 附近？

如果看涨期权执行价格是10元，此时股票价格也是10元，那么股票价格涨1元，看涨期权无套利价格不也应该涨1元吗？为什么delta会变成0.5

vanilla call的delta是N(d1)，put是-N(-d1)。当S=K时就是ATM，d1=(r/vol + 0.5vol) sqrt(T)。很明显不为0。但是r很小，期限也不长的时候，0.5是个还凑合的估计值。但往往OTM很多用0.5 delta的，因为log S/K会是负值使得和这个正值平衡下，更靠近50% delta。

举个例子，3个月的期权，r为0.02，vol是40%，d1就是0.125，delta也就是0.55左右，很明显不是0.5。

首先指出问题里的一个严重错误：
“此时股票价格也是10元，那么股票价格涨1元，看涨期权无套利价格不也应该涨1元吗”
delta= 1 是 s趋于无穷的一个边界条件，意味着这个是delta的极限，永远不可能取到的

惯例，这种问题邀我我都会给出两个答案，接地气的和不接地气的

接地气的：
N(d1)是啥，是期权对股票价格变动的敏感度，这个敏感度在lognormal的假设下可以被一个对数正态分布所表示

股票服从对数正态的言下之意就是收益服从正态（离散每一小步可以粗略视为上下均等的二项）
形象的说就是这个图：


这个箭头在到期日只想的是一个价格纵轴,如果K = S 那么假如 r很小， 收益上下的概率在极限二叉树里每步是均等的（令 p上 =p下）


（算上小的r就会稍稍偏上，这里以r的贴现过程做了一个平移测度变换，意思就是每个一一对应的概率不变，总和还是1，但是处处值往上平移一点）所以这个delta 所表达的概率 接近 50%，也就是delta 约等于0.5

不接地气的：

如果S=K ,log(S/K) 就是 0 ， 剩下那项很小的，所以 d1 接近 0 ， N(d1) 接近0.5 （正态累积分布函数的0点）

不完全等于0就是因为这项
， 这个r代表我们选定的测度（也就是买完期权把钱存哪），你可以作死设计一个测度让这个等于0 ，然后N(d1)就彻底等于 0.5了

大家都是从公式的角度来回答，还是我一再强调的观点，期权是用来交易的产品，不是数学公式，数学公式只能描述现象，不能解释原因。另外，Delta这一概念的出现时间，要比B-S定价模型、二叉树定价模型等现在广泛应用的数学模型更早。（不信的话，翻翻看看你们讲期权定价的书，有哪本书里是先讲定价公式，然后从定价公式推导出希腊值的，而且希腊值的定义也完全是脱离定价公式的。）因此，凡是死抠数学公式的，都是耍流氓。
要找原因，我们就需要从交易本身来找。
有过期权交易经验的人都知道，Delta除了数学上的几种解释外，对于交易员来说，Delta的定义是期权到期时成为实值的可能性（尽管数学定义上不够精确）。
交易员对Delta的定义却帮助我们洞悉时间是如何影响期权Delta的。距离期权到期时间越长，越不能确定该期权在到期时究竟是价内、价外还是平价期权。从另一方面看，无论价内期权还是价外期权的Delta，都反映了他们到期状态的不确定性，期权的到期时间越长，其Delta越趋向于0.5。事实上，一个0.5的Delta代表了最大限度的不确定性，和丢硬币一个道理。
假设接下来股票价格变动范围在波动范围内的情况下，平值期权到期时，对于买方来说，要么成为虚值，一文不值，要么成为实值，能够行权；对于卖方来说，要么赢到权利金，要么履行行权义务。即，各占50%的概率，所以平值期权的Delta在0.5附近。
距离到期日越远，期权Delta越趋近于0.5。特别地，在到期当日，Delta相当确定，是生存或者死亡，要么是1，要么是0；要么是股票，要么一无所有。
顺便给出Dan Passarelli对期权Delta的四种定义，及我对这些定义的注释（括号内为我的注释）：
1、当标的股票价格变动时，对应的期权价格变化。（不需要借助数学定价模型，仅从统计上就可以得到。）
2、期权价值与股票价格关系曲线图的一次导数。（需要借助数学定价模型，即数学意义上的解释。）
3、期权头寸和标的股票之间的等量关系。（不需要借助数学定价模型，而且由此可以引出Delta对冲的思想。）
4、期权在到期时成为价内期权（ITM）的概率。（交易员对Delta的定义，即部分讲解BSM定价公式的书中，对N（d1）的解释，但对于交易员来说，这个定义的出现要远早于BSM公式。）
四种定义更详细的论述见《期权希腊参数在交易中的应用》，Dan Passarelli 这本书值得阅读，尤其适合看见数学公式就发怵的读者，这本书居然没有用一个像样的数学公式就把希腊值讲的入木三分，更重要的是能够从交易本身进行剖析！

很多教科书都简单粗暴地给出 “ 当ATM时，call的delta=0.5” 这一结论，有一些稍微严谨的则会指出 “delta近似于0.5”，但为什么“ATM时，call的delta=0.5？” 我想了好久才稍微明白一点。

题主应该对delta的基本概念有所了解，所以我们在此根据delta的定义，对BSM模型进行求导，在不考虑分红的情况下（分红情况也只需要在N(d1)前面乘以一个贴现的系数），delta=N(d1)。

首先引用Black-Scholes 模型中 d1，d2 是怎么得到的？如何理解 Black-Scholes 模型？ - 金融 这个问题中姚岑卓答案中的一句话：

“N(d1)是在风险中性测度下，按股价加权得到的期权被执行的可能性”。

有一个匿名用户回答股票上涨的概率是0.5不是1，这句话倒是不假。但很明显他只考虑了“被执行的可能性”，而忽略了“按股价加权”以及“风险中性测度下”这两个很关键的字眼。

根据直觉，delta=0.5似乎是很自然的事情，但有一个小细节是不能忽略的，基于BSM的假设，标的资产价格S分布存在非对称性，我们以K为分界点划分两个区域——一个是0到执行价格K，另一个是K到正无穷。这个非对称性是造成ATM Call的delta（也就是N(d1)）始终存在bias（大于0.5）的根本原因之一(非对称的股价加权导致ATM时执行概率不等于0.5)

另外，收益率r同样会通过影响远期价格进而导致delta>0.5这个bias存在，具体怎么影响容我再想想。:)

1. 由于期权平价公式c-p=se^-qt-ke^rt，两边取对s一阶导后容易理解，股票每涨1元，long call+sell put的position才涨1元（当q等于0，即无股息）。
2.atm有很多定义，atms不多说了，atmf时call value等于put value，还有atmd(DNS, delta neutral straddle)这时候的call delta等于put delta。简单情况当q等于0时，三种定义下只有atmd的delta是0.5，另外两种都是接近。三种atm分别对应K=S，K=F，K=Fe^(vol^2*t/2)。

这个取决于你怎么定义 ATM convention 和 delta convention 。具体可以看 Iain Clark 的 FX option 那本书的第三章。

因为你不能认为他百分之百涨，否则就会出现套利现象，在这里假设的是涨和跌的概率都是百分之五十，所以期望也要乘以0.5。

不应该就是0.5吗？我没理解楼上一群人的意思。