为什么欧式股票期权的价值与股票的期望收益率无关？

从直觉来说，股票期望收益率越高，期末股票价格期望值越大，期权的行权收益也越大。

逼神 · 2018-9-26 01:14:24

欢迎来到Black-Scholes-Merton的世界，请自觉背诵BSM假设一遍。

回答这个问题分两步。
1. 为什么期权价格不是真实概率下的期望收益？为什么用风险中性测度(risk-neutral measure), 而不是真实概率测度(real world measure)?

让我们举个例子：

假设无分红股票S价格为1，其价格有1/2的概率上升到2或者下跌到0.5。假设无风险利率为0，其at-the-money call option的期望收益为0.5。

大家有没有发现哪里不对？套利机会(Arbitrage)!!!
我们只要买入一份股票，卖出两份call，就等于免费获得了一个put。

你可能会问：我们不知道真实概率究竟是多少啊，有可能是{1/2, 1/2}、{1/4, 3/4}、{3/5, 2/5}...
少年你很有思想，但这不是问题所在，没有人知道真实概率是多少。但我们有办法去消除arbitrage。
由于投资者的风险厌恶(risk aversion)，股票价格1低于其期望收益1.25。那么风险更大的call option价格是不是也应该低于他的期望收益0.5呢？
根据put-call parity我们可以得到Call - Put = Forward。这里的Forward价值为0，所以C=P。

这么定价，我们就消除了arbitrage。
如果我们想用求期望的方法得到C=0.33的话，股票价格上升的概率p=1/3。这就是我们所说的风险中性概率(risk-neutral probability)。
风险中性测度并不是说现实世界中的投资者是风险中性的，从call option的价格0.33低于其期望收益0.5来看，他们依旧是风险厌恶的。而是说在风险中性测度的世界中，不存在arbitrage，我们可以用期望收益的方法对期权定价，就好像投资者是风险中性的。

结论：用风险中性测度是因为这样定价不存在套利。

2. 为什么统计概率、期望收益不影响期权定价？
我们明白了为什么要用风险中性测度去定价，但假如股票价格有很大的概率上升或下降，这样真的不影响期权价格吗？
假设市场可交易的资产(tradable asset)是股票和债券(risk-free)。

我们不难发现通过买入2/3份股票，卖出1/3份债券，我们可以得到与call option一模一样的最终收益(final payoff)，这与股票价格上升或者下降的概率没有任何关系。
既然我们可以通过构建复制组合(replicating portfolio)来复制期权的最终收益，那么期权的价格是不是应该等于构建这一资产组合的成本？也就是2/3*S-1/3*B=0.33。
如果期权价格不等于复制组合的价格，就存在arbitrage。所以期权的价格与股票的期望收益无关，只与当下资产价格有关。
你也许会说二叉树模型太简单了，现实世界可复杂的多，不只是上升和下降。我同意，但在BSM的世界中，股价服从log-normal distribution。当二叉树步数足够多时将趋近于log-normal。我们只要在每个节点上都采用这样的replicating strategy就能够复制期权的最终收益。这就要求trader不断地去调整复制资产组合中的资产配比。其实我们说的对冲(hedging)就是生产期权的过程。
有兴趣的知友可以写一个delta hedge的小程序。你会发现当hedge的频率足够高时，在每一条模拟的股票路径上, option BS price + hedging PnL = option final payoff。

结论：期权的最终收益可以通过构建一个动态资产组合(dynamic replicating portfolio)来复制，期权的价格等于构建该资产组合的成本，这只和资产的当前价格有关，股票的期望收益不影响定价。然而我们并不能说期望收益与期权价格无关，因为它影响了股票的价格从而作用到期权价格上。

偏理论的推导可参见其他知友的答案。
本文参考Peter Carr的FAQ in Option Pricing，推荐感兴趣的知友去看看。

Hang Li · 2018-9-26 01:14:25

我被Citi的Head of Asian Exotics Trading面试的时候，被问过一个非常类似的问题：
投资者明显是风险厌恶(risk averse)的，为什么给衍生品定价的时候要用风险中性概率？也就是说，为什么给衍生品定价的时候要用risk-free rate而不是你期望的收益率。

当时我给了几乎下面所有的答案，比如dynamic hedging可以消掉那个收益率，martingale pricing用money-market account做numeraire，no arbitrage等等，他都不是很满意。

最后他也没告诉我他期望的答案，但是我觉得他想要的是一个可以给金融小白(layman)也能讲清楚的回答。经过一番“容我三思”（其实是去翻了asset pricing和stochastic calculus的笔记。。。我对不起Johan Walden老师），我觉得还是应该从风险厌恶的角度来理解。

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回到楼主的问题。本着公式越少越好的原则，我觉得答案应该是：

跟投资者期望的收益率是有关的；
这个收益率并没有直接反映在定价中，因为高出无风险收益率(risk free rate)的那部分被投资者的risk aversion抵消掉了。

利益申报：废话很多，珍爱绳命，慎重阅读。

(一)
首先，你得相信投资者普遍是风险厌恶的。
有些人说用风险中性概率定价，是因为平均起来，投资者是风险中性的。这实在不合常理。假设，有两个选择：A. 什么都不做；B. 扔硬币，正面赚一万，反面赔一万。正常人都会选择什么都不做（好吧我不是有意黑我ex。。。。）。

(二)
“期望收益率”的存在，其实就是risk aversion的结果。
换一个股票的例子。假设，有一个逗逼的市场，里面只有一支股票和一支国债。这只股票现在值10元，一年之后，有两种情况：

公司牛逼了，涨到20块。有60%的概率；
公司傻逼了，破产，0元滚粗。概率40%。

那支一年期的国债的收益率为10%。也就是说，国债现在值10块，一年之后值11块，无风险。

如果，我给股票的定价方法是“先取期望值，然后按照无风险收益率折现”，那股票价格应该是

这等同于股票的预期收益率也为10%。但是跟上面扔硬币的例子一样，我明明可以通过买国债这种方式获得10%的收益率，我完全没有必要承担股票价格波动的风险。想要我承担风险，可以，股票收益率得更高一些，也就是说当前价格要更低一些。
所以投资者给这支股票的定价为10元，而不是10.91元，因为投资者的风险厌恶情绪压低了风险资产的价格。

(三)
从上面那个例子可以看出，风险资产的定价其实是受风险厌恶情绪影响的。那如何量化这种情绪？答案是一个叫做stochastic discount factor的东西（中文叫随机贴现因子？？）。名字看上去很唬人，其实可以解释得很通俗。
回到上面股票的例子。我在定价的时候给未来的两种情况各赋予一个权重m1和m2，来量化这种风险厌恶情绪：

为了倒推出风险厌恶的影响，我应该解出m1和m2。运用小学的二元一次方程组知识，我们发现还少一个方程。鉴于这两个权重是赋予未来的两个状态的，而不是股票的价格，给国债定价的时候也应该添加这两个系数：

很容易解出

这两个值就是给风险资产定价时，对于风险厌恶的调整系数。

(四)
仔细观察一下上面解出的m1和m2，可以发现，
和
，两者相加等于100%。这跟什么很类似？对，你可以把这当成是一个新的概率。其实，这就是风险中性概率。如果使用这个新的概率来为股票和国债定价的话，那我们就可以使用“先取期望值，然后按照无风险收益率折现”的方法了。

我始终不觉得风险中性概率是个概率。这无非是实际概率经过风险厌恶情绪的调整后，得到的一组相加等于1的数字。

(五)
说了那么多的废话，最后还是要回到衍生品定价上面来。衍生品跟股票一样，也是一种风险资产，定价也需要考虑到风险厌恶情绪的影响。
之所以叫衍生品，是因为这种资产的价值完全依赖于另一种风险资产（在上述例子里面，指的是那支股票）。在市场中引入衍生品，不会影响未来的状态，i.e. 未来公司还是两种状态，要么牛逼，要么傻逼。
所以给衍生品定价时，需要用上述的风险中性概率（从当前股票和国债价格中反推出来），然后用无风险收益率折现。

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结论：
1. 股票的期望收益率反映了在实际概率和当前价格中。
2. 对衍生品定价的时候，风险厌恶情绪会把超过无风险收益率的那部分溢价抵消掉。

Yupeng · 2018-9-26 01:14:30

期权定价的原理是无套利，使你不能通过只进行调整自己的持有，而出现无风险获利的可能性。市场上如果存在股票，期权，利率，而且是complete market，股票涨跌与否，都可以通过调整持有来hedge掉了，也就是所谓的delta hedging，这样所得到的价格可以使得期权无套利。所以期权不会依赖于股票的涨跌概率或收益率。所谓的risk neutral其实就是指hedge to risk free。

但在现实中其实不完全正确。首先，risk neutral measure不是唯一的，你所要做的hedging不是完全的，因为没有哪家sell side会做super hedging，这样虽然可以摆脱一切风险，但产品就太贵了，没人会从你这里购买。所以在empirical的数据中，你其实还是能观察到这二者的一些关联的。

做什么模型都切记：All models are wrong, but some are useful.

江嘉键 · 2018-9-26 01:14:31

依据资产定价第二定理（the second fundamental theorem of asset pricing），市场模型完备的条件是风险的市场价格（market price of risk）存在且唯一：

其中
为期望收益率，
为无风险利率，
为波动率。在特定时刻，对于完备市场模型中的任意证券，
都是一样的。如果我们换一种写法：

因此，在完备市场模型中，
分为无风险部分和风险溢价部分。因此，考虑
为常数，期望收益率
由无风险利率
和证券波动率
唯一确定。因此，当欧式期权价格表达式中已经有了
和
，我们不需要
这个自由度。否则就会出现超定（overdetermined）或者说是变量赘余（redundance）的情况。

但是，严格来说，不能说欧式期权的价格和
无关。欧式期权的价格可以由
这组自由度来描述（其中
表示执行价格等其它自由度），也可以由
这组自由度来描述。前者比后者好的原因，是因为在实际中，正态分布的二阶矩比一阶矩要稳定，而且有更可靠的预测方法（Garch 对历史波动率建模，隐含波动率等）。

详细可参看《金融随机分析2》第5章内容。

匿名用户 · 2018-9-26 01:14:32

提示: 作者被禁止或删除内容自动屏蔽

小切糕 · 2018-9-26 01:14:33

这个问题提的比较简略，事实上，欧式期权的价格“有时”和期望收益率相关，“有时”又无关，区别在于这期望收益率到底是“谁”期望的，细细说来。
先说相关的情况，大家都记得dividend情况下的期权价格吧。
，比起标准的BS公式，call的价值要低一点，因为买期权的拿不到dividend，如果整个市场已经明确的了解到一定会有dividend（也就是说股价一定会降），那么call的价值是要下降的，同理，put价值要上升，call put parity缩窄。
再说无关的情况，揣测提主的问题等价于：BS公式里有假设
，为什么最后BS公式里没有
？想解释这个问题，可以从数学和直观两个层面来理解。
数学层面的解释，各位大神答主已经讲得很清楚了。如果从微分方程入手，构建risk free portfolio的时候
会被消掉。如果从contingent pricing入手，测度变换把
也消掉了，本质上是把标的资产risk neutralize。
直观层面的解释，关键在于这个
是谁的期望收益率，你的？我的？大家的？归根结底，这里的期望收益率是个体投资人“自己的”期望，是隐含了个人风险偏好的。但市场是大家都来玩的，一个人看涨不算数，得所有人都看涨这东西才会涨。（很简单，要是short call也觉得标的要涨，还会不会卖你call呢？早就在现货市场上做多把spot推上去了！）
总结一下，全市场的一致期望对期权价格是有影响的，而投资者的个人期望与期权价格无关。

匿名用户 · 2018-9-26 01:14:34

提示: 作者被禁止或删除内容自动屏蔽

Lee Sam · 2018-9-26 01:14:39

最通俗的解释是，股票的价格等于未来利润的贴现值，因此股票如果投资回报率高会提高股价本身，从而改变期权的价格。

如果要仔细看这问题，你就要弄清楚一个概念，就是”股票收益率没出现在期权定价公式里”和”股票收益率不影响期权价格”是两个完全不同的概念。收益率不出现在公式里，一样可以通过影响其他变量（比如股价）的方式来影响价格，但是要直接出现在公式里的条件是：在其他变量（股价，利率，波动性）没发生任何变化的情况下，改变收益率能改变价格。一个简单的例子就是期货。期货价格也和股票收益率有关，但收益率不会出现在期货定价公式里。

理清这个概念后，就能理解为什么收益率不需要单独出现在公式里了。首先说个简单的解释。如果股票的收益率提高了，股价却没发生变化，说明投资者对这股票未来的期待是一种极其抵触的风险厌恶态度，即贴现率很高。那么同样的，对期权的收益的贴现率也很高。两者抵消，最后结果是期权价格不变。

上述只是大致理解，要严格的解释应该还是用到期权的定价原理。期权定价的核心是原理是，通过不断的调整持有的股票和债券的比例，构建出一个和期权收益结构一模一样的投资组合。期权的收益率固然有一定随机性，但我通过持股把这个随机性完全捕捉了，因此期权价格就只和股价有关了。如果收益率增加，期权的收益结构会往上偏移，但我通过持股获得的投资组合的收益率一样会往上偏移。两者刚好抵消，以至于我不需要对持股数量做任何调整就可以捕获所有的期权价值发生的变化。因此到头来，期权价格仍只和股价相关，而和收益率无关。

frank hu · 2018-9-26 01:14:40

只是数学上的无关：通过风险中性算出来的结果，与使用实际收益一模一样。但是更加简便

再者，解释上：公式说明（最简便的可以想一下一期二叉树）预期收益都已经被反应在概率中了。也就是投资者紧盯收益率，如果预期收益比无风险利率高的话，投资者就会购入股票，这样就会改变股票未来的价格分布，使得预期收益归拢到无风险利率上。因此，你才在二叉树中有了如何计算价格概率的公式。（股价分布不能变了，那么就只能通过改变概率来确保风险中性）

其实仔细拆分一下公式这也没什么，一切源自于无风险组合必须等于无风险收益这一原则。比如单期二叉树中，up-state=down-state=无风险收益。联立一下，会发现，如果你假设p和（1-p）是服从风险中性原则的，公式更漂亮，因此你根据binomial算出p然后再算期权价格。当然你不假设也可以，但也有一样的结果，何况前者更简单

ps一点，给出的解释，就是投资者是风险中性的，并且效率市场假说是对的，这样大家才会盯紧预期收益与无风险利率。概率才会调整，使得预期收益等于无风险利率

写得有点乱，有空再改

亲爱的龙哥 · 2018-9-26 01:14:41

知乎应该多一点言简意赅的回答。
我们学习的欧式期权定价方法都是风险中性定价方法。而LZ所说的股票价格期望收益率，这个期望所指的分布是真实世界分布而不是风险中性世界的分布。
比如二叉树定价的话，真实上涨概率p与期权定价无关，我们只考虑Su Sd两个可能存在的股价状态即可。并且根据无套利原则，风险中性概率p*是可以求出来的。
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觉得自己之前的答案好傻逼
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直觉的问题用直觉来回答，测度变换神马是吓唬人的， @Hang Li 提到citi面试问的就是直觉。
可以有以下几个出发点，
1. 如果直觉显示，股票期望收益率高，call的价格也高的话，那么是不是put的价格就要低一点？而根据put-call parity， call - put = S0 - K*exp(-rt)。右边没有发生变化，左边的价差反而大了，于资产组合复制的原理是相背离的。
2. 买股票时候，期望收益率如果提高了。call在国内又叫看涨期权，你对股票看涨了，你的期权收益率也应该是相应提高了，保持着call的低价和交割价格的高价，就是高收益率的一种体现。所以期权的价格不随股票期望收益率的提高而提高并不违背直觉。
3. 大家都知道无风险套利原则，然后就马上提到了测度变换和风险中性和鞅。其实风险中性很难用直觉去解释，因为它本身就是我们观测到的概率，更像是一个比例，用“人是风险中性的”根本无法解释任何事,而资产组合复制的解释是符合直觉的。关键的核心其实是资本资产第一定价定律和第二定律，这个定理告诉我们在风险中性测度下（一个鞅测度）定出的价是符合无风险套利原则的。

还有啊，无风险套利定价，put-call parity和资本资产定价定律是model free的，而当你搬出来BS公式，布朗运动还有girsanov定理，Feymann-Kac定理的时候，你已经默默的走在了Ito积分的框架下了。不过欧式股票期权的价值与股票的期望收益率无关并不要求股票价格服从几何布朗运动。

Zhang Waters · 2018-9-26 01:14:42

利用股票可以完全对冲掉期权收益率，构建一个偏移项（drift）为r的无风险资产组合。而偏移项反映了投资者对于不确定性的风险酬金（risk primium）。既然这个风险可以被对冲掉，那么投资者所需的风险酬金就是r。

一直在搬砖 · 2018-9-26 01:14:43

最基础的好么……请自己翻John Hull那本被说烂了的书，里面专门讲 Black-Scholes-Merton的那一章……以后这种问题请不要拿来问了好么……问的越多，只会越证明：你该读的书呢？书呢？书呢？没事请读书……

为什么欧式股票期权的价值与股票的期望收益率无关？

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