终于有人能把期权定价模型讲清楚了

期权如何定价？

“雪球”产品暴雷的风波愈演愈烈。

其实拨开“雪球”产品的包装背后，底层逻辑就是买了雪球产品的投资者相当于卖了看跌期权，也就是获得一种权利，有权以约定好的价格强制卖出，从而获得收益。

但是相比起股票直观的价格，期权的价格又该怎么定价？

期权的定价模型

如果只是去计算到期的一个期权合约收益或者价格，是非常简单的，这里可以给出一个公式：

认购期权的到期收益=标的物价格-执行价格-权利金成本价。

这个就是到期日的盈亏。

但事实上，绝大多数交易的时候，期权合约是远离到期日的，也就是我们图中看到的这些曲线。如何在一个还没有到期的时候，能够知道当前期权的真实价格，并且计算出来交易盈亏，这就是我们引入期权定价模型的意义。这也是今天我们可以大规模在场内进行期权交易的一个前提。

之前在场外的时代，期权没有办法大规模推广，很大程度上就是因为定价模型的原因。当1973年BS模型推出以后，解决了期权定价的问题，我们自然而然的就可以在场内进行期权交易。

期权到期前，它的价格曲线实际上是逐渐逼近到期时价格曲线的，也就是说，如果我们假设离到期的时间足够近，就可以认为这条曲线是比较接近于到期日的价格折线的。如果比较远，如图中这条黄色的线，它离折线就比较远。

所以，我们要通过一些数学推导方法，给出期权的一个定价公式，让我们可以在已知期权的标的价格、市场的波动率，以及还有多久到期日之后，可以简单有效并且准确地求出当前期权的价格应该是多少，只有在这样的情况下，我们才能够去计算风险和盈亏。

当然，在真正做期权定价之前，我们必须要做好风险中性假设。

什么叫风险中性假设？指的一种假设的状态，即在衍生品定价的世界中，投资者是风险中性的，也就是对于风险既无偏好又无厌恶，风险和投资者投资行为以及投资回报率无关。

为什么我们要进行风险中性假设？

原因在于对于不同的投资者，它的风险偏好是不同的，有的投资者可能极端厌恶损失，那他只能接受像国债、固收、银行存款这样的一些投资产品，对他来说可能哪怕再小的回撤也是无法接受的。

有的投资者可能属于风险承受能力比较强的，可能愿意承担50%乃至100%的损失，但是他的预期收益可能是翻倍，乃至翻几倍的预期收益。

不同的投资者，他对待同一个事物一定会有不同的看法。

那一个正常年化波动在20%的产品，在风险厌恶的投资者眼里就已经是一个非常高风险的产品了，但是在一个风险偏好比较高的投资者眼中，他认为这还是一个比较稳定且可以长期持有的产品。

所以我们通过风险中性假设，让市场的风险回归到一个自然真实的状态，而不是因为人使风险会过分高估或者低估，在这样的情况下，我们得出来后续的价格，包括我们所有的计算才是一个合理且稳定的状态。

风险中性假设有几个前提：

比如，标的资产的期望收益，其实是等于无风险收益，就是期望收益是无风险利率。

同时，投资者的效用函数是线性的，即期望的效用=效用的期望。

同时，在这个状态下，其实是不存在套利机会的。事实上，我们都知道在真实环境里面，市场存在大量的套利机会。风险中性假设里面，我们认为资产的价格永远是合理的，也就是不会过于低估，或者过于高估。

在这样的前提下，我们进行近一步的价格推导，也就是说我们在一个近乎于完美的状态下，完成一个价格的推导，再把它应用到一个不完美的真实交易世界当中去。

BS模型

BS模型是目前期权大家使用最广泛的定价模型，这个模型其实依然存在这样或那样的不足，但是我们却用它最多。

BS模型有8个假设条件：

第一个条件，股价变化服从对数正态分布。真实世界中，我们只能说股价的变化，它是一个服从类似于对数正态分布的状态，但它相对于正态分布有明显的尖峰和肥尾的特点。也就是在没有行情的时候，大多数集中在中间小范围的波动进行一个震荡。一旦出现一些极端的行情，往往市场会出现一些比较极端的变化。比方说我们按照对数正态分布的概率来计算，可能股价涨跌几万年才会发生一次。但事实上，我们会经常看到有股票涨跌停的出现，这就是一个典型的肥尾效应。

第二条，在期权的有效期内，无风险利率和金融资产收益变量是恒定的。事实上，市场的无风险利率是有小幅变化的，包括波动率也是有小幅变化的。虽然它的假设并不符合真实情况，但事实上如果时间比较短，可以近似的看作无风险利率和波动率都没有变化。

第三条，市场上不存在无风险套利机会。这在前面给出风险中性假设的时候就提到了，一个合理的市场应该是所有人期望的平均数，这时市场是不存在无风险套利机会的。而真实交易中因为不同的风险偏好投资者都在市场中交易，难免会出现一些套利机会。

第四条，市场不存在任何交易成本。这个大家都明白，任何交易市场都存在成本。在我们做交易过程中，其实交易成本往往是不可忽略的一个部分。

第五条，期权是欧式期权，即在期权到期前不可实施。也就是说美式期权其实并不适用于BS模型，往往是用二叉树模型进行定价。

第六条，投资者的借贷利率相同。这其实也会有问题，因为不同的投资者的利率是不一样的，往往大客户有更低的借贷利率，而小客户可能借贷利率更高，甚至不允许借贷。比方说在A股市场，没有50万以上你甚至没有资格去参与融资融券。

第七条，市场允许卖空标的证券。在A股市场，其实很多证券是不能够被卖空的，难免就会出现一些溢价。

第八条，证券交易单位是无限可分的。事实上我们都是有一个最小的交易单位，像股票交易是100手。

在这样的模型前提假设情况下，我们给出了欧式认购期权的价值公式：

这当中的核心变量在于，S是标的价格、K是交易标的的交割价格，就是我们常说的行权价，然后市场的波动率、无风险利率，以及到期日、时间t是多少。所以说BS公式，它是将所有的风险溢价包含在了标的价格和波动率当中。

那为什么会说BS模型无法完全给期权定价呢？

因为BS模型的诸多假设在很大程度上，跟我们的真实世界是不一样的。

1、比如对于深度实值或虚值的期权，模型的定价会产生较大的偏差，会高估深度虚值期权，低估深度实值的期权。

2、因为BS模型的特点，对于临近到期日的期权的估值，存在比较大的误差。

3、BS模型假设借贷资金成本相等，不存在交易成本，不需要缴纳保证金，证券可以无限分割，这些都与我们真实交易现实世界是有比较大的差距。

即使BS模型有这么多的不足，但我们依然在使用，因为它的优势也很明显。

事实上，国外有很多学者也根据期权的实发场景，对BS模型进行了一些检验和探索，得到了一个整体结论，总体来说，BS模型得出的结论仍然是比较准确的，对于期权的报价有较强的指导意义。

我们都知道，一个东西的价格分为内在真实的价格以及大家进行交易而产生的交易价格。内在的真实价格是我们通过一系列严谨的计算得出的。交易价格很多时候往往会有市场短期的供需关系，还有情绪溢价。

理论价格和市场交易价格，如果说它们是比较接近的，并且利用BS模型能够计算出来的理论盈亏和真实的交易盈亏，假如说也是一致的，这个时候，我们就可以理解为模型是有效的。

所以，即使到今天，BS模型依然是投资者比较市场价格，包括期权的做市商在制定报价基准时候的一个重要依据，基于它的特点，在针对深度实值或者深度虚值期权进行交易的时候，适做一些调整修正其实就够了。

所以，我们选择一个交易模型的最主要逻辑，其实并不是这个模型要多么完美，因为在真实的世界中，其实没有100%完美的事情，我们的核心逻辑在于：

首先，要足够简单高效，就是模型大家易于理解，同时运算效率又很高，我能够立马得到我想要的值，而不是我找几台非常厉害的计算机，结果还要算三四天，才能把这个结果算出来，那这样的模型再完美都没有用。因为它没有了高效。

同时，它易于修正，我知道每个变量的意义，同时变量足够的少、可控，那我只要对于变量针对性进行调整，我就可以得到想要的答案。

最关键的一点在于一定要经过长时间的市场验证，无论是交易模型还是说交易策略、交易系统，如果没有经过实盘大规模的资金行情的验证，事实上本身就是存在一些不足的。

所以这里大家一定要记住一个道理，就是要相信改进和调整一个成熟、简单的模型，要远远好过去做一个新的、复杂的模型。

那当我们了解了BS模型的定价规则，以及BS模型明显的优缺点之后，这时候就面临我们如何去应用BS模型。

在BS模型中间，一共有比较明显的6个变量。分别是标的价格、利率、波动率、到期日、行权价以及期权价格。

在真实交易过程中，我们最常使用的是两种方法。

第一种，已知期权波动率求期权价格。

比方说现在大家要交易一个期权，这个时候，我认为市场合理的期权波动率可能是20，我就可以代入标的价格、代入市场利率、代入20的波动率、代入到期日，比如还有20天。代入当前合约的行权价，通过BS模型的运算，我就可以求出期权的合理价格。这个期权当波动率为20的时候，它的合理价格应该是多少？这时候我就可以去跟市场上的价格做一个对比。

如果说当前算出来的价格显著低于市场价格，我们就可以认为其实是市场价格被高估了。如果算出来的价格显著高于市场价格，我可能就认为是市场被低估了，为我接下来的期权交易策略进行一些交易。

除此之外还有一种方式，就是已知期权价格求期权的波动率。这一块其实大家用的更多，因为其实不同行权价的期权，没有办法直接去比较它们的价格。不能说20块的期权就一定比200块的期权便宜，因为有可能它的波动率更高。期权因为有不同的到期日、不同的波动率，所以说更多的是用期权的波动率之间进行比较。比如说哪些期权的波动率被明显高估了，哪些期权的波动率被明显低估了。

这时候，我们将市场的交易价格代入到BS模型当中，反算出来这个期权合约的隐含波动率是多少。然后将不同期权合约的隐含波动率进行比较，来评估究竟哪些期权合约的隐含波动率被明显高估了、哪些期权合约的隐含波动率被明显低估了。这样一来为我们后续进行一些，比如波动率交易打下了一个基础。

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