Box spread strategy 中文称之为盒式价差期权策略，2019年以后，Box spread在CFA三级中已经被删除，所以如果对Box Spread仍想有所了解的，可以继续阅读本篇文章。
Box spread 的构建相对复杂，需要用到 Bull spread 和 Bear spread的知识，如果对此不熟悉，可以先阅读一下两篇文章做铺垫。
一般来讲，Box spread 使用的是牛市看涨价差期权策略(Bull Call Spread)和熊市看跌价差期权策略(Bear Put Spread)，即Long Call( X_L )，Short Call( X_H )，Short Put( X_L )，Long Put( X_H )，不论是call还是put，低行权价( X_L )和高行权价( X_H )都是一样的，且期权的到期日也都是一样的。
根据上述关系，在到期日 T ，策略的价值(expiration value)为，
V_T=Max(0, S_T-X_L)-Max(0, S_T-X_H)-Max(0, X_L-S_T)+Max(0, X_H-S_T) ,
当 S_T\leq X_L 时，
V_T=-(X_L-S_T)+X_H-S_T=X_H-X_L
当 X_L< S_T<X_H 时，
V_T=S_T-X_L+X_H-S_T=X_H-X_L
当 S_T\geq X_H 时，
V_T=S_T-X_L-(S_T-X_H)=X_H-X_L
可以发现，不论 S_T 处于什么情况，到期时候的价值都为 X_H-X_L 。
接下来把期权费也考虑进来， C_L, C_H, P_L, P_H 分别代表不同行权价看涨和看跌期权的期权费，
于是，到期时刻 T 的利润为 \Pi=X_H-X_L-C_L+C_H+P_L-P_H ，显然，这个一个固定的数值，也就是说利润是固定的。这也就说明，Box spead不存在最大利润和最大损失，同样也就不存在考虑损益平衡价格(breakeven price)了。
进一步来讨论策略价值 X_H-X_L 与期权费 -C_L+C_H+P_L-P_H 之间的关系。
由于Box spread的期权费是在0时刻，与 T 时刻的Box spread value不在一个时间点上，从时间价值的角度来思考，就需要将 X_H-X_L 贴现后才能进行比较，
\frac{X_H-X_L}{(1+r)^t}-C_L+C_H+P_L-P_H ， r 为无风险利率， t 为离到期时刻的距离。
如果使上式等于0，有 \frac{X_H-X_L}{(1+r)^t}=C_L-C_H-P_L+P_H ，这意味着box spread的期权费与策略的价值相等，也说明了box spread策略付的期权费(价格)是正确的， X_H-X_L-C_L+C_H+P_L-P_H 之差所赚取的是无风险收益。
如果大于0， \frac{X_H-X_L}{(1+r)^t}>C_L-C_H-P_L+P_H , 说明此时box spread的价格低估了(underpriced)，这就存在套利空间， X_H-X_L-C_L+C_H+P_L-P_H 赚取的收益要比无风险收益高。导致这样的原因是其中一个期权或多个期权的价格出现了偏差，不是公允价值(not fair valued)。
如果小于0， \frac{X_H-X_L}{(1+r)^t}<C_L-C_H-P_L+P_H ，说明此时box spread的价格高估了(overpriced)， 这就使得 X_H-X_L-C_L+C_H+P_L-P_H 赚取的比无风险收益低，甚至可能出现负数。导致这样的原因同样是其中一个或者多个价格不是公允定价。在这种情况下，可以采取反向操作，Short Box Spread(之前实际上默认都是Long Box Spread)，即Short Call( X_L ), Long Call( X_H ), Long Put( X_L ), Short Put(X_H)，前者实则为Bear Call Spread(熊市看涨价差期权策略)，后者则是Bull Put Spread(牛市看跌价差期权策略)。
这里可能会有疑惑的地方是，如果 X_H-X_L-C_L+C_H+P_L-P_H>0 ，但是 \frac{X_H-X_L}{(1+r)^t}-C_L+C_H+P_L-P_H<0 怎么理解？前者说明最后的收益是正数，后者站在时间角度上来理解是负数。假如在构建box spread的时候，所花费的期权费都是以无风险利率借入的，那么在到期以后，期权上的获益弥补不了之前的借入的资金，因为要算利息；如果钱都是自己的呢，账户上的钱是多了，但是站在时间价值的角度是不划算的，投资在别的无风险资产上收益更多。所以理性来看，要以后者为准。之所以这里会考虑时间价值的因素，还有一个原因就是可以反向来探寻call和put的价格是否公允，一旦出现偏差就可以存在套利机会。
Short Box Spread
Expiration Value
V_T=-Max(0, S_T-X_L)+Max(0, S_T-X_H)+Max(0, X_L-S_T)-Max(0, X_H-S_T)
当 S_T\leq X_L 时，
V_T=X_L-S_T-(X_H-S_T)=X_L-X_H
当 X_L< S_T<X_H 时，
V_T=-(S_T-X_L)-(X_H-S_T)=X_L-X_H
当 S_T\geq X_H 时，
V_T=S_T-X_L-(S_T-X_H)=X_L-X_H
可以发现，不论 S_T 处于什么情况，到期时候的价值都为 X_L-X_H ,很明显，这是一个负数。
Profit at Expiration
\Pi_{short}=X_L-X_H+C_L-C_H-P_L+P_H
由于 X_L-X_H 是负数，这就说明了short box spread存在的意义就是 C_L-C_H-P_L+P_H 的绝对值要大于 |X_L-X_H| ，这就说明short box spread是期权费净流入才能使用。站在时间价值的角度上讲，要满足 C_L-C_H-P_L+P_H+\frac{X_L-X_H}{(1+r)^t}>0 才具有意义。
为了加强理解，举一个具体的例子，假设有某股票的期权信息如下，
| CALL | PUT | | X_L =100 | 17 | 8 | | X_H=120 | 7 | 16 |
期权离到期日还有3个月，无风险利率为3%，于是有，
Box spread所产生的期权费：-17+7+8-16=-18
Box spread到期时刻的利润：120-100-18=2
由于box spread产生的价值 X_H-X_L 是在 T 时刻，而构建策略所产生的期权费在0时刻，所以进行贴现比较，
\frac{X_H-X_L}{(1+3\%)^{0.25}}=\frac{120-100}{(1+3\%)^{0.25}}=19.85 ，这个值要大于策略产生的期权费18，所以Box spread是underpriced，存在套利机会。原理：以18的成本构建box spread，策略到期价值折现为19.85，差价为1.85，到期时刻1.85将变为 1.85\times(1+3\%)^{0.25}=1.864 ，这部分相当于额外多获得的收益，所以说明以18的价格构建box spread可以赚取无风险利率以外的收益，存在套利机会。
假设，看跌期权 X_H=120 的期权费变为17.85，那么Box spread产生的期权费则变为:-17+7+8-17.85=-19.85，这就与上面计算的期权价值19.85相吻合，也就说明了Box spread的定价是正确的, 所赚取的也就是风险利率。原理：Box spread的价格为19.85，到期时刻的利润为120-100-19.85=0.15，而策略成本19.85的时间价值增加为19.85\times(1+3\%)^{0.25}-19.85=0.15 ，这就说明了赚取的利润和无风险收益相等，赚的只是无风险收益率，没有套利机会存在。
假设，看跌期权 X_H=120 的期权费变为17.95，那么Box spread产生的期权费成本则变为：-17+7+8-17.95=-19.95，box spread到期时刻的利润为120-100-19.95=0.05。此时收益是正的，但是考虑到时间价值，19.95的成本价格，到期时候将会变为 19.95\times(1+3\%)^{0.25}=20.10 ，策略到期时刻价值为20，说明无风险利率带来的收益更高。若是以无风险利率借入资金，此时策略价值不足以偿本付息；若是自有资金，显然投资在别的无风险资产上更为划算。
此时，若采用short box spread策略，
根据 \Pi_{short}=X_L-X_H+C_L-C_H-P_L+P_H=100-120+17-7-8+17.95=-0.05 ，其中short box spread 的价格成本为17-7-8+17.95=19.95，为资金净流入；按无风险利率算到到期时刻， 19.95\times(1+3\%)^{0.25}=20.10 ，策略价值为-20，21.10-20=0.1大于-0.05，这就实现了0.1的正收益。对比直接long box spread的0.05收益，显然short box spread获得的收益更高。
所以short box spread，将0时刻获得的净流入资金投资到无风险利率资产上，可以实现套利机会。
假设，看跌期权 X_H=120 的期权费变为19，那么Box spread产生的期权费成本则变为：-17+7+8-19=-21，box spread到期时刻的利润为120-100-21=-1，明显这是不划算的，box spread已经overpriced，所以此时可以short box spread。
根据 \Pi_{short}=X_L-X_H+C_L-C_H-P_L+P_H=100-120+17-7-8+19=1 ，其中short box spread 的价格成本为17-7-8+19=21，为资金净流入；按无风险利率算到到期时刻， 21\times(1+3\%)^{0.25}=21.16 ，策略价值为-20，21.16-20=1.16大于1，所以short box spread，将0时刻获得的净流入资金投资到无风险利率资产上，可以实现套利。
从以上例子可以看出，当call或者put中出现有价格不公允的时候，就会出现套利机会，box spread策略有时候也就成为一种检验期权价格是否公允的方式。
最后，了解一下Box spread的大致图形，
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Box Spread
以上便是Box spread的全部内容，如果错误的地方，欢迎指正！ |
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