CFA3级读书B08：期权策略

1. 引言

衍生工具是指交易对手同意根据基础证券、指数、货币或其他工具或因素的变动交换经济现金流的金融工具。因此，衍生品的价值来自标的的经济表现。衍生品可以由交易对手直接创建，也可以通过已建立的、受监管的市场交易所进行便利。在交易对手之间直接创建，有适合交易对手特定需求的好处，但也有潜在低流动性的缺点。交易所交易的衍生品通常不符合交易对手的特定需求，但确实有助于提前终止头寸，重要的是，可以降低交易对手的风险。在相关证券的交易可能因流动性差、交易成本、监管障碍、税务或会计考虑因素或其他因素而较不有利的情况下，衍生工具促进经济风险和利益的交换。
期权是一种重要的或有索偿衍生品，它为持有人提供由标的资产未来价格决定的偿付权利，而非偿付义务。与其他类型的衍生品（如互换、远期和期货）不同，期权具有非线性的收益，使其所有者能够从标的在一个方向的波动中受益，而不会受到反向波动的伤害。然而，这个机会的成本是进入期权头寸所需的预付现金。
期权可以与基础期权和其他期权以各种不同的方式组合在一起，以调整投资头寸，实施投资策略，甚至推断市场预期。因此，投资经理经常使用期权策略来对冲风险敞口，寻求从预期的市场波动中获利，并以具有成本效益的方式实现预期的风险敞口。
2. 合成

把衍生品想象成可以组合在一起以期望的风险敞口创造特定收益的积木是很有用的。任何期权或股票策略都可以建立合成头寸。大多数情况下，当市场观点发生变化时，市场参与者会使用合成头寸来改变其头寸的收益曲线。
看涨看跌平价显示了看涨期权和无风险债券组合与看跌期权和标的债券组合的等价。设S0为标的价格，p0和c0分别为看跌期权和看涨期权的价格(即溢价)；X/(1 + r)^T为无风险债券的现值。远期价格为F0(T) = S0(1 + r)^T，则：

看涨看跌平价为： S_0 + p_0 = c_0 + X/(1 + r)^T
看涨看跌远期平价为：F_0(T)/(1 + r)^T + p_0 = c_0 + X/(1 + r)^T

2.1 合成远期头寸

具有相同的执行价和到期日，在同一时间交易同一标的，可以合成远期头寸：

合成多头远期头寸(Synthetic long forward position)：买看涨、卖看跌
合成空头远期头寸(synthetic short forward position)：卖看涨、买看跌

多头看涨期权和空头看跌期权的组合具有相同的执行价格和到期日，在同一时间交易同一标的，相当于合成多头远期头寸。事实上，多头看涨期权带来了上涨，空头看跌期权带来了下跌。

合成多头远期头寸。图源：FRM

某投资者买入了一个平值(ATM)看涨期权，同时卖出了一个具有相同行使权和相同到期日的看跌期权。无论股票到期时的价格如何，这两种期权中都会有一种是平值的。如果合约有实物结算，投资者将以支付行权价的方式买入标的股票。在到期日，如果股票价格高于行权价格，投资者将行使所拥有的看涨期权。否则，如果标的价格低于行权价格，则看跌期权所有者将行使其交割股票的权利，而投资者(卖出看跌期权的)必须以行权价格买入股票。
创建综合远期头寸的动机可能是利用实际远期价格提供的套利机会，或需要直接购买远期头寸的替代方案。通常使用远期合约而不是期货来获得股票头寸，因为它允许合同定制。

【例1】合成多头远期头寸 & 多头远期/期货

一家做市商卖出三个月远期合约，该合约允许客户在到期时以200.35便士(100便士= 1英镑)买入1万股。当前股价为200便士，待合约到期后股票才发放股利。年化利率为0.70%。看跌和看涨期权的成本相同。
问：① 讨论(a)做市商在出售远期合约时如何对冲其远期空头头寸，以及(b)在远期合约到期时做市商的头寸。② 讨论做市商如何使用合成远期多头头寸对冲她的远期空头合约头寸，并解释如果股价高于或低于200.35便士，到期时会发生什么。

答：① (a) 为了抵消短远期合约头寸，做市商可以借入1万× 200/100 = 2万英镑，以200便士买入1万股股票。没有前期成本，因为股票购买是100%融资的。(b) 在远期合约到期时，做市商将其持有的1万股股票交付给做多远期合约的客户，然后做市商偿还贷款。由于以下两笔交易相互抵消，因此做市商的净流出为零：
+ 交付股份所收到的金额：10,000 × 200.35便士 = 20,035英镑
+ 偿还贷款：10,000 × 200便士 [1 + 0.700% × (90/360)] = 20,035英镑
② 为了对冲远期空头头寸，做市商创建了合成远期多头头寸。买入看涨期权，卖出看跌期权，执行价均为200.35便士，3个月后到期。在远期合约到期时，如果股价【高于】200.35便士，做市商行权，支付 10,000 × 200.35便士 = 20,035英镑，并获得10,000股股票。然后将这些股份交付给客户，并收到20,035英镑。在远期合约到期时，如果股价【低于】200.35便士，多头看跌期权的持有者将行权，做市商将以20,035英镑的价格获得这10,000股股票。然后将这些股份交付给客户，并收到20,035英镑。

某交易员想在一段时间内做空一只股票。他需要从市场上借入股票，然后卖掉借来的股票。相反，交易员可以通过以相同的执行价格和期限卖出看涨期权和买入看跌期权，建立一个合成空头远期头寸。当使用期权来复制做空股票头寸时，重要的是要意识到美式期权可能产生的早期分配风险。
卖出远期或期货合约也可以达到同样的结果。这些工具也通常用于消除未来的价格风险。考虑一个拥有股票并希望锁定未来销售价格的投资者。投资者可能会签订一份远期或期货合约(作为卖方)，要求她在未来的某个日期交付股票，以换取今天确定的现金金额。由于股票的初始和最终价格是已知的，这项投资应该支付无风险利率。对于分红股票，合约期内预期将支付的股息将降低该股票的远期或期货价格。
股票和股指的合成远期合约经常被卖给客户的做市商使用（为了对冲风险，做市商会使用合成远期头寸），或者被希望对冲结构性产品产生的远期风险的投资银行使用。
2.2 合成看跌看涨

市场参与者可以使用合成头寸来转换其头寸的收益和风险概况。通过实施合成期权头寸，可以改变多头和空头股票、远期和期货头寸的对称收益。例如，如果投资者通过买入看涨期权将空头股票头寸转换为综合看跌期权头寸，那么空头股票头寸的对称收益就会变成不对称收益。
设一个合成多头看跌头寸由50的空头股票和行权价格为50的多头看涨股票组成。在期权到期时，该合成看跌期权在不同股票价格下的收益与期权执行价格为50的多头看跌期权的收益相同。当然，所有持仓均假设同时到期。请注意，对于一个空头远期或期货头寸，同样的收益和风险概况的转换也可以通过使用多头看涨期权来实现。

【例2】合成多头看跌

3个月前，对冲基金经理Tan签订了一份短期远期合约，要求他在一个月内以18元/股的价格交割50,000股Generali股票，该基金目前不持有Generali股票。股价目前为16元/股。该对冲基金的研究分析师Rossi有一个非共识的预期，即该公司下个月将公布earnings beat。该股票不支付股息。
问：① 在假设Tan保持当前空头远期头寸的收益情况下，讨论合同到期时的盈利或亏损条件。② 在与Rossi讨论了她的盈利前景后，Tan仍然看空Generali。然而，他决定对冲风险，以防股票确实报告了积极的盈利惊喜。讨论Tan如何修改他现有的头寸，以产生不对称的、降低风险的回报。

答：① 如果Tan决定在到期日保持其头寸的当前收益状况，给定ST的股价，短期远期的利润或亏损将为50,000×(18- ST)。只有当ST低于18时，该头寸才会盈利；否则将蒙受损失。
② Tan决定修改他的空头远期头寸的收益情况，到期时将从股价下跌至16元以下的任何情况中受益，同时避免股价上涨至16元以上时的损失。他以0.50的成本购买看涨期权，执行价为16元，到期后一个月到期。到期收益如下：
+ 做空远期合约：50,000 ×(18 - ST)
+ 做多看涨期权：50,000 × {Max[0，(ST16)]0.50}
+ 合并头寸：50,000 × {(18 ST) + [Max[0,(ST 16)] 0.50]}
如果ST≤16，则看涨到期无价值，利润为50,000 ×(18 - ST + 0 - 0.50)
如果ST>16，则执行看涨，股份交付的最高利润为50,000 × (18 16 0.50) = 75,000

以类似的方式，持有股票多头头寸的投资者可以通过购买看跌期权，“保护性看跌期权(protective put)”策略，将他的收益和风险状况改变为买入看涨期权。做多看跌期权消除了下行风险，而做多股票留下了无限的利润潜力。多头看涨的收益也可以通过在多头远期或期货头寸上添加多头看跌期权来实现，所有这些期权都具有相同的到期日和相同的执行和远期(或期货)价格。
3. 覆盖性看涨期权

发行覆盖性看涨期权(covered call)是个人和机构投资者都使用的一种非常常见的期权策略。在这种策略中，已经持有股票的一方出售看涨期权，给予另一方以行权价购买其股票的权利投资者拥有股票，并承担了将股票交付给看涨期权买家的潜在义务，并接受行权价格作为其出售股票的价格。如果投资者愿意这么做，他就会得到期权的溢价。

当某人同时持有一种资产的多头头寸和该资产的看跌期权多头头寸时，看跌期权通常被称为保护性看跌期权(protective put)，叫这个名字的原因是，看跌期权可以防止标的资产价值的损失。
下面的示例使用了按相关资产、到期、行权价格和期权类型确定期权的约定。设定10月16日看涨期权的售价为1.42。标的资产为普通股，到期日为10月，行权价格为16，期权为看涨期权，看涨期权溢价为1.42。需要注意的是，尽管我们将此称为10月16日期权，但它并不是在10月16日到期。相反，16反映了看涨期权所有者有权买入的价格，也称为行权价格或行权价格。
在一些交易所，某些期权除每月到期外，还可能每周到期，这意味着投资者在指定兴趣期权时需要谨慎。对于一个特定的标的资产和行权价格，可能有几个周期权和一个月期权将在10月份到期。下面的示例都假设一个月到期。
3.1 希腊值

假设还有一个月，九月到期。按照惯例，期权清单显示单个看涨或看跌期权的数据，但在实践中，交易所交易期权最常见的交易单位是一份涵盖100股股票的合约。除了各种执行(即行使)价格和每月到期的看涨和看跌溢价外，期权数据还显示了隐含的波动率和希腊值。隐含波动率是不可观察波动率变量的价值，该变量将期权定价模型BSM的结果与期权的市场价格相等，使用所有其他必需和可观察的输入变量，包括期权的行权价格、标的价格、期权到期时间和无风险利率。

Delta(Δ)：在其他条件相同的情况下，期权价格随标的价格变化而发生的变化。Delta提供了一种很好的近似，可以反映出标的价格发生微小变化时期权价格的变化。做多看涨期权的Delta总是正的；做多看跌期权的Delta总是负的。Δ≈期权值变化/标的值变化。
Gamma(Γ)：在其他条件相等的情况下，随着标的价格的变化，期权的增量的变化。Gamma是期权价格相对于基础价格的曲率的度量。看涨期权和看跌期权的伽马总是正的。Γ≈Δ变化量/标的值变化量。
Vega(ν)：在其他条件相同的情况下，随着标的证券波动率的变化，期权价格的变化。Vega衡量标的对波动的敏感性。多头看涨和多头看跌期权的Vega总是正的。Vega (ν)≈期权值变化/标的波动率变化
Theta(Θ)：在其他条件相等的情况下，期权价格的每日变化。Theta衡量期权价格对时间流逝的敏感性，称为时间衰减。看涨期权和看跌期权的Theta一般为负。

3.2 收益增值

发行覆盖性看涨期权的最常见动机是预期标的的上行走势有限而产生现金。无论未来发生什么，看涨期权发行人(call option writer)都会保留溢价(premium)。一些覆盖性看涨期权发行人将他们收到的溢价视为额外的收入来源，就像他们看待现金股息一样。对于覆盖性看涨，每份卖出看涨合约需要持有100股标的股票的多头头寸。如果维持标的的多头头寸，则不需要额外的现金保证金。如果股票价格在到期时超过行权价格，标的股票将从覆盖性看涨期权发行人处“赎回(called away)”，然后交付，以满足期权持有人按行权价格买入股票的权利。注意，当一个人卖出看涨期权时，他实际上是将高于行权价格的回报放弃给看涨期权持有人。
假设投资者认为股价在未来几个月可能会保持相对平稳。鉴于该股目前的交易价格略低于16点，投资者可能认为该股不太可能超过17点。她可以发行看涨，然后收到这笔溢价。期权溢价的规模与期权行使的可能性之间存在明显的权衡。期权出售者可以从卖出较长期期权中获得更多的现金（因为有更大的时间溢价），但期权的现金更有可能发生变动，导致买方行权，因此，股票从出售者手中被赎回。覆盖性看涨发行人的观点可以从看涨期权的隐含波动率来理解。本质上，发行看涨期权表达了“相关资产的波动性将低于期权的定价”。
尽管将期权溢价视为收入可能是可以接受的，但注意，看涨期权发行人放弃了股票所有权的一个重要利益：高于行权价格的资本收益。如下图所示：

覆盖性看涨组合价值

假设投资者在股票中持有多头头寸(delta为+1)，在看涨中持有空头头寸。投资者享有看涨溢价收益。在股价下跌时缓冲了头寸(S - C)的价值。如果股价跌至5，看涨期权将跌至实质上的0。随着股价的上涨，空头头寸开始限制投资组合的收益。如果股价上升到30，看涨期权delta接近1，那么投资组合(S - C)的delta接近0。做多股票头寸的投资组合收益将因短期看涨头寸的损失而减少。
3.3 有利价格减仓

Porto的投资组合中该公司的权重已经过高，她想要减少这种不平衡。Porto持有5000股股份，她预计该股票的价格将在未来一个月保持相对稳定。她可能会决定以每股15.84美元的价格出售1000股股票。作为替代方案，Porto可能会决定发行10份交易所交易9月看涨合约。这意味着她正在创建10份期权合约，每份合约涵盖100股股票。作为该或有索取权的交换，她获得的期权费为1.64/看涨× 100看涨/合约× 10合约= 1640。由于目前股价(15.84)高于15的行权价格，她所写的期权是有利可图的。鉴于她对未来一个月股价将保持稳定的预期，行使期权的可能性很大。由于Porto希望减少过度权重，这一结果是可取的。如果行权，她实际上以16.64的价格出售了股票。她卖出期权时收到1.64，行使期权时收到15。Porto本可以简单地以原价格15.84出售股票，但在这种具体情况下，期权策略导致每股价格在一个月内提高了0.80([15 + 1.64]- 15.84)，即5.05% (0.80/15.84)。通过维持股票头寸并卖出15看涨期权，她仍有可能在未来一个月股价下跌，导致实现价格低于当前15.84的市场价格。例如，如果下个月股价跌至10，Porto的覆盖性看涨头寸只能实现10 + 1.64 =11.64。
美式期权溢价可被视为两部分：行权价值(也称为内在价值)和时间价值。

看涨溢价=时间价值+内在价值=时间价值+Max(0,SX)

在这种情况下，股价为15.84时以15买入的权利的行权价值为0.84。期权溢价为1.64，比行权值多0.80。这个0.80的差值叫做时间价值。得到 1.64 = 时间价值 + (15.84 15)。
发行覆盖性看涨期权以改善市场行情的人是在捕捉时间价值，这增加了股票的出售价格。不过要记住，如果放弃部分回报分布，如果标的上涨，就会导致机会损失。
3.4 实现目标价格

期权的第三种流行用法实际上是前两个目标的混合。该策略涉及以接近股票目标价格的行权价格发行看涨期权。假设一家银行信托部门在其许多账户中持有该股，其研究团队认为，该股票将以每股16美元的价格适当定价，仅略高于目前的价格。在那些投资政策声明允许期权活动的账户中，经理可能会选择以接近目标价格的行权价格写近期看涨期权，在这里是16。假设一个账户持有500股。在9月16日5日的0.97点发行看涨合约，将带来485美元的现金。如果该股票在一个月内超过16，该股票将以行权价(目标价)被赎回，期权溢价将为账户额外增加6%的正回报。如果股价没有上升到16，经理可能会发行一个新的10月到期通知，并考虑到相同的目标。
虽然这种策略很受欢迎，但投资者不应将其视为免费资金的来源。该股票目前非常接近目标价格，经理可以简单地出售它，并满足。尽管发行覆盖性看涨可能会增加回报，但股票也有可能经历坏消息或整体市场可能回调，导致相对于股票的直接出售的机会损失。如果股票大幅高于行权价格，并以低于市场的价格被赎回，投资者还将面临机会损失。
Delta衡量期权价格如何随着标的资产价格的变化而变化，Gamma衡量Delta变化的速率。设看涨期权delta = 0.516, gamma = 0.156。短线买入会使投资组合(S - C)的delta从+1减少到+0.484(= 1- 0.516)。较低的投资组合delta将减少上行机会。股价上涨1将导致投资组合收益约0.484。投资组合的delta不是常数。通过卖出16看涨期权，该投资组合现在是做空Gamma。虽然标的份额的Gamma值为0，但空头看涨将使投资组合的Gamma值为- 0.156。随着股价增加到16以上，看涨头寸的Delta将以Gamma的速度变化。Gamma对于接近平值(near-the-money)的期权是最大的，随着期权价内或价外而逐渐变小。

覆盖性看涨的Delta和Gamma

平价期权的Gamma值会随着到期时间的临近或波动率的增加而急剧增加。有较大Gamma敞口的交易者(特别是较大的负Gamma敞口)应该意识到仓位值变化的速度。随着股价增加，投资组合的Delta以Gamma的速率变化。当股价超过行权价16时，投资组合(S - C)的Delta以Gamma的速率向其最终极限0下降，有效地消除了头寸中剩余的上行空间。
3.5 到期时的损益

假设投资者持有目前交易价格为15.84。该投资者认为收益可能会限制在17以上，并决定买入看涨期权。17的看涨行权价将没有内在价值，因为股价目前是15.84。在决定发行哪一种期权时，投资者可能会考虑期权溢价和隐含波动率。基于投资者认为未来三个月波动性将保持在低位，投资者选择发行11月的看涨。隐含波动率最高的期权是最高估的期权。1.44的期权溢价完全可以用11月期权的时间价值来解释，因为11月期权没有行权价值，期权溢价= 时间价值 + 内在价值，1.44 = 时间价值 + Max[0,15.84 - 17])。如果股票到期时高于17，期权持有人将行使看涨期权，投资者将交付股票以换取17的行权价。覆盖性看涨期权的最大收益是行权价的升值加上期权溢价。设：

S_0 ：期权头寸开始时的股价（起价）
S_T ：期权到期时的股价
X ：期权的行权价
c_0 ：看涨溢价

最大获利为 (XS_0) + c_0 。起价为15.84，售价为17，价格增值为1.16。期权发行者将保持1.44的期权溢价，总收益为1.16 + 1.44 = 2.60。这是该策略的最大收益，因为17以上的所有价格增值都属于看涨持有人。无论股票走势如何，看涨期权发行人都会保留期权费，因此，如果股票下跌，所收到的期权费就会减少整体损失。

覆盖性看涨的损益

覆盖性看涨期权的盈亏平衡价格是股价减去溢价，即 S_0 - c_0 。当股票下跌的溢价(本例中为15.84 - 1.44 = 14.40)时，就会出现盈亏平衡点(breakeven point)。如果股票变得毫无价值，最大损失等于原始股票价格减去所收到的期权溢价，即 S_0 - c_0 。此时投资者将损失15.84的股票头寸，但仍保持1.44的溢价，共损失14.40。
期权到期时，覆盖性看涨期权头寸的价值是股价减去看涨期权的行使价值。任何超出行权价的升值都属于期权买家，因此有覆盖性看涨期权发行人在超出该点后不会获得任何收益。

覆盖性看涨到期价值 = S_T \max[(S_T X),0] ……（1）

期权到期时的利润是覆盖性看涨期权价值加上收到的期权溢价减去股票的初始价格：

覆盖性看涨到期利润 = S_T - \max[(S_T - X),0] + c_0 - S_0 ……（2）

小结：【考点】（理解并记忆）

覆盖性看涨最大获利 = (XS_0) + c_0
覆盖性看涨盈亏平衡价格 = S_0 - c_0
覆盖性看涨最大损失 = S_0 - c_0

注意，这些损益图只描述了期权生命周期结束时的情况。大多数股票覆盖性看涨期权都发生在交易所交易期权中，因此看涨期权的发行方总是有能力在期权到期前回购期权。例如，如果股价在发行覆盖性看涨期权后不久下跌1，看涨期权的价值很可能也会下降。如果这位投资者正确地认为下跌是暂时的，他可能会在新的较低的期权溢价买入回调期权，从中获利，然后在股价回升后再次卖出期权。
4. 保护性看跌期权

保护性看跌期权(protective put)通常被视为购买保险的一个经典例子。投资者持有一种风险资产，希望能防止其价值损失。然后他以看跌期权的形式购买保险，向保险的卖方，也就是看跌期权的承保人支付保险费。看跌期权的行权价格与保单的保险金额相似。保单可抵扣额与看跌期权的当期资产价格与行权价格之间的差额相似。行使价格低的保护性看跌期权就像一份高免赔额的保险单。虽然价格较低，但低执行看跌期权在回报函数进入资金之前涉及更大的价格敞口。对于一份保险单，较高的免赔额是较便宜的，反映了被保险人承担的风险增加。对于保护性看跌期权，较低的行权价格成本较低，亏损风险较大。
与传统的定期保险一样，这种形式的保险提供一段时间的保险。在期限结束时，保险到期，要么赔付，要么不赔付。保险买方可以或不可以通过购买另一个看跌期权来选择续保。保护性看跌期权提供了下行保护，具有上行潜力。
4.1 损失保护与上行保护

假设一个投资组合经理有一个客户持有50,000股。她的研究表明，在未来四到六周内，股价可能会受到负面冲击，他希望防范股价下跌。购买保护性看跌期权给经理提供了一些选择。看跌期权代表以行使价卖出的权利，因此行使价越高的看跌期权就越贵。出于这个原因，看跌期权买家可以选择行权价15的期权。美式长期看跌期权比同等期限（行权价相同）的短期看跌期权更贵。看跌期权买家必须确保看跌期权不会在预期的价格冲击发生之前到期。投资组合经理可以以0.65的价格购买1个月的9月行权价15的看跌。该看跌期权为基础回报分布低于15的部分提供了保险，但它无法防范9月到期后发生的价格冲击。
或者，这位投资组合经理可以购买两个月的期权，10月的看跌期权价格为0.99美元，也可以购买三个月的期权，11月的看跌期权价格为1.46美元。注意，在到期之前，看跌值与其时间之间没有线性关系。两个月期权的卖出价格不是一个月期权的两倍，三个月期权的卖出价格也不是一个月期权的三倍。投资组合经理还可以通过增加免赔额的规模（即，当前的股票价格减去看跌行权价格）来降低保险成本，也许可以使用一个看跌期权，行权价格为14。行权价为14的看跌期权的溢价较低，但在跌至每股14.00之前，不能防止股票的损失。期权价格较便宜，但在5万股的头寸上，扣除额将比选择15股的行权价格多5万股。
由于她所预期的“冲击事件”发生时间的不确定性，经理可能会考虑可用期权期限的特征。假设下可用的行权期权的三个BSM模型输入是相同的（股价15.84，行权价15、无风险利率4%）。各月期权成本的差异将通过时间和波动期限结构的差异来解释。BSM模型假设期权波动率不随时间或行权价格而变化。在实践中，波动性可能会随着时间和行权价格的变化而变化。对于看跌期权，11月期权的隐含波动率略大，这可能反映了其他交易员对到期前冲击事件的担忧。
每个执行期权的成本完全可以用剩余时间价值来解释。如果股价不低于15，各月的看跌期权价值将随着到期日的临近而侵蚀(erosion)为0。期权价值随时间的侵蚀用theta近似表示。所有theta值都是负的。在其他条件相同的情况下，随着时间的推移，这些值接近期权头寸的每日损失。

看跌期权的Theta

注意随着期限的临近，下降的速度是如何变化的。如果价格不低于15，看跌将以价外到期，期权价格将逐步下降到0。在所有其他条件相同的情况下，以Theta近似的每日损失之和将解释该时间内期权价值的全部损失1.46。Theta图象的复杂形状源于BSM的Theta公式的性质，该公式包括反映股价在剩余时间内跌破执行价概率的项。请注意，如果价格在最后10天保持在15.84，BSM看跌期权价值将以平均- 0.03/天的变化速度侵蚀至0。BSM模型的假设解释了在到期前三天左右theta的负峰值，因为剩余的时间价值迅速衰减到0。Theta值有助于投资者决定选择哪个期限。如果他购买了更便宜的9月份看跌期权，其每日价值侵蚀(- 0.015)将大于更昂贵的11月份看跌期权(- 0.009)。
较远月的期权的一个优势是，尽管它更昂贵，但它的每日价值损失最小，由Theta捕获。这个期权也有更大的可能性在新闻到来之前没有到期。此外，尽管投资组合经理可以持有看跌头寸直到其到期，但可能会发现，在到期之前关闭期权并收回一些已支付的溢价是更可取的。
4.2 到期时的损益

股票可以上升到任何水平，头寸将从升值中充分受益;最大收益是无限的。在下行方面，一旦股价跌至行权价格，损失就被切断(cut off)。对于保护性看跌期权，最大损失是行权价格的折旧加上支付的溢价，即 S_0 - X + p_0 。在期权到期时，保护性看跌期权的价值为股票价格或行权价格中的较大者。原因是股票可以上涨到任何水平，但有一个看跌行权价格的下限价值。

保护性看跌的损益图

保护性看跌到期价值 = S_T + \max[( X-S_T),0] ……（3）

到期时的利润或损失是结束值减去开始值。保护性看跌期权的初始价值是初始股价减去看跌期权溢价。

保护性看跌到期利润 = S_T + \max[(X-S_T),0] - S_0- p_0 ……（4）

要实现收支平衡，标的资产必须上涨到足以抵消所购买看跌期权的价格。盈亏平衡点是初始股价加上期权溢价。
小结：【考点】（理解并记忆）

保护性看跌最大获利 = S_T S_0 p_0 = 无限
保护性看跌盈亏平衡价格 = S_0 + p_0
保护性看跌最大损失 = S_0 -X+ p_0

5. 现金担保看跌期权

部分期权对标的资产的变动较其他期权更为敏感，这种关系是由delta来衡量的。由于随着标的资产价格的上涨，看涨期权的价值会增加，而看跌期权的价值会减少，因此看涨期权的delta值在0到1之间，看跌期权的delta值在0到-1之间。当然，这些期权的空头头寸的迹象是相反的。标的资产的多头头寸的delta为1，而空头头寸的delta为-1。

期权的Delta与股价

当股价接近行权价格时，一个粗略的近似值是，做多平价看涨期权的delta约为0.5，做多平价看跌期权的delta约为-0.5。对于具有相同BSM模型输入的相同标的上的期权，看涨Delta - 看跌Delta = 1。
Delta也可以应用于投资组合。假设股价为3500。一个投资组合包含100股股票，经理发行一份交易所交易的覆盖性买入合约，执行价为3500。100股位置的delta为100 × +1 = +100。因为看涨在平价，这意味着股票价格和行权价格相等，它的delta约为0.5。然而，该投资组合是卖空一个看涨合约。从组合角度看，短期看涨合约的delta值为-0.5 × 100 = -50。随着潜在价格的上涨，空头看涨期权会赔钱。因此覆盖性看涨期权的头寸delta(position delta)（整体或投资组合delta）为50，其中股票为+100点，空头看涨期权为-50点。将这种看涨期权与保护性看跌期权进行比较，在保护性看跌期权中，人们购买100股股票和一份平价看跌期权合约。其头寸delta也将为50；股票为+100点，长期看跌为- 50点。
最后，考虑100股的多头股票头寸和50股的远期空头头寸。由于非股息支付股票的期货和远期基本上是股票的代理，它们的delta也是1.0用于多头头寸、-1.0用于空头头寸。在这个例子中，空头远期头寸“取消”了一半的多头股票头寸，因此头寸delta也是50。这些例子显示了三种不同的头寸：平价覆盖性看涨、平价保护看跌期权和多头/空头远期头寸，它们都有相同的delta。对于相关资产价格的小幅变动，这些头寸将显示非常相似的收益和损失。
如果卖出看跌期权，同时将相当于行使价格的金额存入指定账户，这被称为卖出现金担保看跌期权(cash-secured put)。这种策略适用于看涨股票或希望以特定价格收购股票的人。期权行权价格被托管的事实保证，如果期权持有人选择行权，看跌承销商将能够购买股票。把现金担保看跌期权中的现金想象成类似于覆盖性看涨期权中的股票部分。当投资者卖出有覆盖性看涨期权时，她承担了卖出股票的义务，而这一义务是通过对股票的所有权来弥补的。当卖出看跌期权以创建新头寸时，与该头寸相伴的义务是购买股票。为了履行购买股票的义务，投资组合的账户中应该有足够的现金来履行这一义务。卖出看跌头寸由账户内的现金担保。
多头看跌的敏感性分析：

股价微增：Δ1 ≈ Δ0 + (Γ × ΔS)；p1 ≈ p0 + (Δ0 × ΔS)
到期日微增：p1 ≈ p0 + (Θ × Δt)
隐含波动率微增：p1 ≈ p0 + (ν × ΔVol)

做空看跌的损益图表

6. 风险降低

覆盖性看涨期权和保护性看跌期权都可以被视为降低风险或对冲策略。

覆盖性看涨期权：价格上涨消除价格不确定性
保护性看跌期权：价格下跌消除价格不确定性

风险降低可以通过考虑对冲统计数据来理解。
6.1 覆盖性看涨

假设一个人以15.84的价格持有100股股票。多头仓位的delta值为+100。假设投资者现在写了一个11月的看涨合约来对冲这整个头寸。这些期权的delta为0.475。该覆盖性看涨头寸的头寸delta为(100 × +1.0)(100 × 0.475) = +52.5。52.5的头寸增量相当于持有52.5股标的资产。投资者在100股的头寸上比在52.5股的头寸上损失的钱更多。即使股价跌至接近0的水平，损失也只会因收到的期权溢价而减少。从这个角度看，覆盖性看涨头寸的风险低于单独持有的标的资产。如果股价上涨，较低的头寸delta将不利于投资者。如果股价超过17，就会导致股票被赎回，而每股的投资组合收益被限制在 2.60 = (XS0) + c0 =(1715.84)+ 1.44。
6.2 保护性看跌

类似的逻辑也适用于保护性看跌的使用。购买看跌期权的投资者实际上是在购买股票的保险。持有股票的投资者可以购买11月的看跌期权，期权delta为- 0.359。100股股票和11月的一份看跌合约的头寸delta将为+100 + (- 0.359 × 100) = +64.1。对于价格的微小变化，保护性看跌投资组合将100股头寸的风险降低到相当于64.1股头寸。这个保险只持续到11月。购买保险来防范风险，如果风险事件没有发生，投保人不应该感到难过，他不能使用保险。换句话说，如果房子的火灾保险没有被使用，房主应该很高兴。尽管如此，我们还是不想买我们不需要的保险，特别是如果它很昂贵的话。持续购买看跌期权以防范可能的股价下跌，会降低整体投资组合的波动性，但必须仔细考虑溢价成本和降低风险之间的权衡。这种持续购买看跌期权以防范可能出现的股价下跌的策略代价高昂，它会抹去原本不错的投资的大部分长期收益。然而，偶尔购买一种保护性看跌期权来管理暂时的情况，可能是一种明智的降低风险的活动。
6.3 期权与股票

关于保护性看跌期权(股票+看跌)和覆盖性看涨期权(股票-看涨)的讨论描述了持有标的资产多头头寸的投资者的风险降低策略。当投资者做空标的资产时，如何降低风险？做空投资者担心，如果标的股票下跌，标的股票会上涨并获利。为了抵消空头头寸的风险，投资者可以购买看涨期权。新的投资组合将是(看涨-股票)。当股价上涨时，做多看涨将抵消投资组合的损失。
为了从期权溢价中产生收入，投资者也可以出售看跌期权。当股票价值下降时，投资者从股票空头头寸中获利，但投资组合(-看跌-股票)收益将因看跌期权而减少。当股价上涨时，空头头寸就会赔钱。看跌期权到期后毫无价值，这意味着投资者将保留看跌期权溢价。空头头寸的损失仍然可能很大，但看跌期权溢价会在一定程度上减少。
在这两种情况下，投资者都看空股票，并在15.84做空该股。
在第一种情况下，以0.97的价格买入了9月的看涨期权。当股价上涨到16以上时，看涨期权的回报将抵消空头头寸的损失。随着股价的上涨，投资组合的损失永远不会超过1.13。股票空头头寸的利润加上货币买入的利润等于(15.84 - S) + [(S - 16) - 0.97] = - 1.13。如果股价下跌，投资者从卖空中获利，但失去0.97的赎回溢价。做空股票的delta为- 1。9月的看涨delta为0.516。整体投资组合delta仍为负（- 0.484），使之成为看跌策略。投资者还从购买看涨的角度看，vega为0.018，该头寸面临时间衰减的风险，因为theta每天为- 0.018。因此希望从空头股票的下行波动加剧中获利，而长期看涨则缓冲了上行波动加剧带来的损失。

两种情形组合下的损益图

在第二种情况下，以0.65的价格卖出9月的看跌期权，并收取看跌期权溢价。在第一种情况下，长期看涨的上行保护不是通过发行看跌期权来提供的。空头股票头寸可能会有潜在的无限损失。股价价格下跌的潜在收益现在属于看跌期权所有者。该策略的最大收益是股票空头头寸的利润加上价外卖出看跌期权的利润，等于(15.84 - S) - [(15 - S) - 0.65] = 1.49。空头股票头寸的损失仅由卖出看跌期权所收取的0.65溢价来缓冲。做空股票的delta为- 1，做空看跌期权的为-(- 0.335)，则持仓delta为- 1 + 0.335 = - 0.665。投资者看空，希望从价格下跌中获利。发行看跌也是做空vega，(- 0.017)，从时间衰减中受益，因为看跌期权的theta是+0.015(= -[- 0.015])。因此希望降低波动性，有机会在不损失做空股票的情况下收取看跌溢价。

【例5】风险降低策略

Reiter是一名美国投资者，持有一家法国私人股本公司的有限合伙投资。Reiter计划在三个月内购买1,000,000 EUR，以满足届时到期的资本要求。目前的汇率是US$1.20/1，但Reiter担心欧元兑美元将走强。她考虑了以下工具来降低计划购买的风险：
+ 三个月的USD/EUR看涨期权(买入欧元)，执行利率X = US$1.25/1，成本US$0.02/1
+ 三个月的USD/EUR看跌期权(出售美元)，执行利率X = 0.8080/US$1，价格为0.0134/US$1
+ 3个月USD/EUR期货合约(买入欧元)，f0 = US$1.2052/1
问：① 讨论每种工具需要的头寸，以降低计划购买的风险。② Reiter以US$20,000的价格购买看涨期权，在未来三个月，汇率将升至US$1.29/1(欧元货币走强)。Reiter为1,000,000 EUR购买支付的有效价格最接近：A. US$1,270,000.；B. US$1,290,000.；C. US$1,310,000. ③ 计算如果三个月后汇率跌至US$1.10/1(欧元贬值)，Reiter将使用这三种工具为欧元支付的价格。

答：① Reiter可以以US$20,000以US$1.25/1的价格购买1,000,000的看涨期权。如果欧元价格上涨到1.25美元以上，她将行使以1.25美元购买欧元的权利。如果汇率走弱，她还将受益于能够以更便宜的价格购买欧元。看涨欧元就像看跌美元一样。因此，以X = 0.8080/US$1的汇率卖出美元的看跌期权可以被视为以0.8000/US$1 = US$1.25/1 的汇率买入欧元的看涨期权。Reiter还可以以X = 0.8080/US$1的价格买入美元的看跌期权，这将允许她出售 US$1,237,624 (= 1,000,000/[0.8080/$1]) ，以在美元贬值低于这一水平时获得100万欧元。这将花费她0.0134/US$1 × US$1,237,624 = 16,584或$20,525的前期费用。如果美元对欧元升值，Reiter仍然能够从购买欧元的较低成本中受益。相反，她可以以1.2052美元的价格持有三个月期货合约的多头头寸。Reiter将有义务在三个月内以1.2052美元的价格购买100万欧元，无论汇率如何。期货持仓需要存入保证金，但无需支付溢价。
② 选A。当汇率为1.29美元/ 1欧元时，行权X = US$1.25/1的看涨期权将被执行。包括看涨期权溢价(0.02美元/欧元1)，实际支付的欧元价格为1.27美元/欧元1 ×1,000,000 = 1,270,000美元。
③ 看涨期权和看跌期权都将在未行使的情况下到期，Reiter以110万美元购买100万欧元，从较低的利率中受益。然而，她将失去她为期权支付的保费。对于期货合约，她支付US$1.2052/1或1,000,000欧元支付1,205,200美元，无论利率是否更优惠。

7. 价差期权

注：这一部分可以结合公式和图象两方面理解。
按市场情绪和按初始现金流的方向，价差有两种分类方式：

牛市价差(Bull spread)：标的资产价格上涨时，价差变得更有价值
熊市价差(Bear spread)：标的资产价格下跌时，价差变得更有价值

由于投资者买入一种期权，卖出另一种期权，通常会有初始净现金流出或流入。

借记价差(Debit spread)：建立价差需投资者支付现金，是做多的，多头期权价值超过空头
贷记价差(Credit spread)：利差最初导致投资者获得现金流入，是做空的，空头期权价值超过多头

这些策略中的任何一种都可以通过看跌期权或看涨期权创建。利差交易的动机通常是进行定向押注，放弃部分潜在利润，以换取较低的持仓成本。
7.1 牛市价差

无论是用看跌期权还是看涨期权建立多头价差，这种策略都需要买入一种期权，然后以更高的行权价格卖出另一种期权。因为较高的执行价格看涨期权的成本低于较低的执行价格，看涨看涨价差涉及初始现金流出(借记价差)。由看跌期权产生的看涨价差还要求投资者卖出高期权价，买入低期权价。因为越高的看跌期权越贵，看涨看跌期权价差涉及初始现金流入(贷记价差)。
考虑看涨牛市利差。假设一位投资者认为，期权到期时，股价可能会从目前的15.84升至17左右。如果他以1.64的价格买入看涨期权，而股票在到期时上涨到17，该看涨期权的价值将为ST - X = 17 - 15 = 2。如果期权价格为1.64，则利润为0.36。最大损失是期权支付的价格1.64。相反，如果投资者以0.97的价格买入看涨期权，到期日股价为17，那么该看涨期权的价值将为1.00，收益为0.03。如果他认为股票在期权到期前不会超过17，抛售高于该价格的回报分配部分可能是有意义的。每卖出一笔看涨，投资者将获得0.51。

牛市价差。图源：FRM

到期时价差(VT)的价值取决于ST到期时的股价。对于牛市价差，投资者买入低执行期权(XL执行)，卖出高执行期权(XH执行)，因此牛市价差的到期价值为：

V_T = \max(0,S_T - X_L) - \max(0,S_T - X_H) ……（5）

因此，其价值取决于终期股价ST。

\begin{align*} \begin{split} V_T = \left \{ \begin{array}{ll} 0, & S_T ≤ X_L\\ S_T - X_L,& X_L < S_T < X_H\\ X_H - X_L, & S_T ≥ X_H \end{array} \right. \end{split} \end{align*}

该溢利是根据到期时的前述价差值减去该价差的初始支出而获得。要确定初始支出，行权价较低的看涨期权将比行使价格较高的看涨期权更贵。因为我们以较低的行权价格(对于cL)买入看涨期权，而以较高的行权价(对于cH)卖出看涨期权，我们买入看涨期权的成本将高于卖出看涨期权的成本(cL>cH)。因此，利差将需要净支出资金。这个净支出就是持仓的初始值，V0 = cL - cH，我们称之为净溢价。利润是：

Π = \max(0,S_T - X_L) - \max(0,S_T - X_H) - (c_L - c_H) ……（6）

拆开来看：

\begin{align*} \begin{split} Π = \left \{ \begin{array}{ll} -c_L + c_H, & S_T ≤ X_L\\ S_T - X_L -c_L + c_H,& X_L < S_T < X_H\\ X_H - X_L -c_L + c_H, & S_T ≥ X_H \end{array} \right. \end{split} \end{align*}

其实就是多了一项：

Π = V_T - (c_L - c_H)

如果ST<XL，该策略将损失有限的资金。当两个期权到期时，投资者将失去净溢价cLcH。如果ST至少为XH，则上行利润也受限于执行价差减去净溢价。
看涨牛式价差的盈亏平衡价格（即利润图象与价格轴的交点处价格）可以推导为：

\Pi = S_T^* - X_L -c_L + c_H = 0

得到：

S_T^* = X_L +c_L - c_H

即，看涨牛式价差的盈亏平衡价格为较低的行权价格加上价差成本。
7.2 熊市价差

在牛市价差中，投资者买入较低的行权价格，卖出较高的行权价格。熊市价差则相反：在较高的行权价格买入，在较低的行权价格卖出。因为行权价格较高的看跌期权更贵，看跌熊市价差将导致初始现金流出(借记价差)。对于看涨空头价差，投资者买入一个较高的行权价格的看涨期权，卖出一个较低的行权价格的看涨期权。由于买入的较高行权价格的看涨期权比卖出的较低行权价格的看涨期权便宜，看涨熊市价差将导致初始现金流入(贷记价差)。
熊市价差的图象其实就是牛市价差图象的上下翻转。设pL表示低期权溢价，pH表示高期权溢价。熊市价差头寸到期时的价值为：

V_T = \max(0,X_H - S_T) - \max(0,X_L - S_T) ……（7）

分开来看：

\begin{align*} \begin{split} V_T = \left \{ \begin{array}{ll} X_H - X_L, & S_T ≤ X_L\\ X_H - S_T, & X_L < S_T < X_H\\ 0, & S_T ≥ X_H \end{array} \right. \end{split} \end{align*}

也可以得到熊市价差的利润为：

Π = \max(0,X_H - S_T) - \max(0,X_L - S_T) (p_H p_L) ……（8）

分开来看：

\begin{align*} \begin{split} \Pi = \left \{ \begin{array}{ll} X_H - X_L p_H + p_L, & S_T ≤ X_L\\ X_H - S_T p_H + p_L, & X_L < S_T < X_H\\ p_H + p_L, & S_T ≥ X_H \end{array} \right. \end{split} \end{align*}

盈亏平衡价格同样是找到行权价值等于初始成本的基础资产价格。易得：

S_T* = X_H p_H + p_L

价差的两个分支不一定要同时建立，也不一定要维持同一时期。期权的用途非常广泛，仓位通常可以随着市场情况的变化而迅速调整。以下是期权交易者可能考虑的不同战术调整的几个例子。
7.3 多头增加空头

假设去年9月为11月行权价40的看涨期权支付了1.50的溢价，当时该股的股价为37。一个月后的10月，该股已升至48股。一个月期看涨期权的溢价如下：
行权价溢价
40    8.30
45    4.42
50    1.91这个头寸很赚。买入的看涨期权现在价值8.30。支付了1.50，所以此时利润是8.30 - 1.50 = 6.80。该股可能会稳定在新水平附近，预计大幅上涨。考虑以45或50的行权价出售看涨期权，从而将多头看涨头寸转换为牛市价差。首先看看11月行权价50的看涨期权，1.91的溢价将超过11月行权价40看涨期权的初始成本。如果发行这个看涨，损益如下：

创建牛市价差：以1.50买入行权价40的看涨期权，之后以1.91卖出行权价50的看涨期权

股价大于等于50时，价差的行权价值为10，两种期权都价内，行权价格为40的看涨期权在行权时总是比行权价格为50的看涨期权价值高10倍。行权价为40的买入期权的初始成本为1.50，卖出行权价为50的买入期权后将有1.91的现金流入。利润为10.00 - 1.50 + 1.91 = 10.41。
股价小于等于40时，价差的行权价值为0，两种期权都价外。行权价为40的买入期权的初始成本为1.50，卖出行权价为50的买入期权后将有1.91的现金流入。利润为0 - 1.50 + 1.91 = 0.41。
股价介于40和50时，价差的行使价值随着股价的上升而稳步上升。每增加一个单位到更高的行权价，该价差的行权价值增加1.0。

现在假设已经发行了行权价50的看涨期权。需要谨慎看待这种新情况。无论从现在到到期期间股价发生了什么，相对于以40的行权价格购买看涨期权的价格，该头寸都是赚的。然而，如果股票从目前的水平下跌将会损失。如果价格回落到40，利润就会逐渐减少。的确，牛市价差至少会带来0.41的利润。但是，发行行权价50的看涨期权只能部分对冲新策略价值的下降。该头寸仍然可能损失其最大利润的96%左右，因为只有约4%(0.41/10.41)被对冲。
7.4 价差与Delta

价差策略可能会根据不断变化的市场观点进行调整。假设市场一直在上涨，期权交易员Clive预计这一趋势将持续下去。假设公司ZKQ目前的售价为44美元。假设Clive以5.25的价格买入了11月45日的一个看涨期权。他计算这个看涨的delta = +0.55、gamma = +0.028。最初，Clive将以0.55的利率获利，ZKQ股票的价格增加1美元。对于微小的变化，他的头寸delta将以0.028的速度增加，ZKQ股票的价格增加1美元。
三天后，股价已升至49美元，11月行权价45的看涨期权的价值已升至8.18，看涨delta已升至+0.68。对于11月行权价45的看涨期权，期权价格上涨了2.93(= 8.18 - 5.25)，而不是2.75 (= 5 × 0.55，股票价格变化乘以初始delta值)。由于delta的变化速率为gamma，这种近似最适用于股价的微小变化。在股价为49的情况下，11月行权价50的更高的看涨价值为5.74美元，delta为+0.55美元。现在Clive通过发行11月股价为50的看涨期权来建立45/50的牛市价差。Clive对49的价格不那么看好，他的45/50利差投资组合现在的delta为+0.13 = +0.68 - 0.55。
又过了5天，股价跌至45。11月行权价45的看涨期权价值为5.41，11月行权价50的看涨期权价值为3.55。Clive通过回购来结束11月50日的空头看涨。他以5.74的价格卖出看涨期权，以3.55的价格买回，因此他赚了5.74 - 3.55 = 2.19，即每份合约赚了2.19。他仍然持有11月45日看涨期权的多头头寸，他的投资组合delta升至+0.57。
又过了四天，ZKQ上升到48。11月行权价50的看涨新价格为4.71，delta为0.51。Clive以7.10的价格和0.66的delta拥有11月行权价45的看涨。然后，他决定在卖出11月行权价50的看涨，并将头寸delta降至0.15(= 0.66 - 0.51)。
目前，Clive有两次现金流出，总计8.80：最初的5.25加上3.55，用于回购11月行权价50的看涨期权。他的两笔现金流入总额为10.45：保费收入为5.74，然后是11月行权价50两笔看涨期权的4.71。如下所示：
天  ZKQ价格交易行动       组合Delta          现金流出  现金流入
1 44    买行权价45看涨  0.55                0.25    —
4 49    卖行权价50看涨  0.13 (= 0.68  0.55)  —       5.74
9 45    买行权价50看涨  0.57                3.55    —
13  48    卖行权价50看涨  0.15 (= 0.66  0.51)  —       4.71
总计                                              8.80    10.45
净现金流入                                                 1.65因为10.45的流入超过了8.80的流出，他得到了一个与7.1.3.1图表类似的损益图。他的时机非常好：在每种情况下，他都在ZKQ股票上涨之前增加了他的投资组合delta，在股价下跌之前减少了delta。重要的一点是，当相关资产价值增加(减少)时，增加投资组合delta将导致更大的利润(损失)。
价差主要是对标的资产现货价格(也可能是对其波动性)的定向操作；尽管如此，价差交易者可以试图利用价格的变化，很容易创建一个像这样的假设例子。显然，不能保证任何假设的价格趋势将继续下去。事实上，在实际操作中，Clive的优秀效果是极其难以达到的。尽管如此，经验丰富的期权用户知道寻找价格波动带来的机会主义玩法。

【例6】价差

已知 S0 = 44.50；OCT 45 call = 2.55, OCT 45 put = 2.92；OCT 50 call = 1.45, OCT 50 put = 6.80。
问：① OCT 45/50 牛市看涨价差的最大利润为？A. 1.10；B. 3.05；C. 3.90
② OCT 45/50 熊市看跌价差的最大损失为？A. 1.12；B. 3.88；C. 4.38
③ OCT 45/50 牛市看涨价差的盈亏平衡价格为？A. 46.10；B. 47.50；C. 48.88

答：① 选C。OCT 45/50 牛市看涨价差选用 OCT 45 call = 2.55 和 OCT 50 call = 1.45，最大利润为 XH - XL + cH - cL = 50 - 45 + 1.45 - 2.55 = 3.9。
② 选B。OCT 45/50 熊市看跌价差选用 OCT 45 put = 2.92 和 OCT 50 put = 6.80，最大损失为 pH - pL = 6.80 - 2.92 = 3.88。
③ 选A。盈亏平衡价格为 XL + cL - cH = 45 - 1.45 + 2.55 = 46.1。

8. 组合期权

8.1 跨式期权

多头跨式期权(straddle)（买入跨式期权）是对同一标的资产以相同的行权价格和相同的到期日同时买入看跌期权和看涨期权的期权组合。如果有人同时卖出两个期权，这就是空头跨式期权。因为多头看涨期权是看多，多头看跌期权是看空，这种策略似乎不合逻辑。当考虑到希腊值的情况时，头寸就变得更清楚了。一个经典的例子是对某一事件的预期，该事件的结果是不确定的，但可能会显著影响标的资产的价格。

多头跨式期权，具有两个盈亏平衡价格。图源：FRM

跨式期权是对潜在波动率进行定向操作的一个例子，它表达的观点是，对于多头跨式期权，波动率将从当前水平上升，而对于空头跨式期权，波动率将下降。然而，多头跨式期权的盈利结果通常需要标的资产出现大幅价格变动。跨空期权买家为两种期权支付溢价，因此要想获利，标的资产必须高于或低于期权行权价格，至少要达到购买跨式期权的总金额。
例如，假设在接下来的几天里，对一家汽车制造商的责任诉讼预计会有一个判决。一名投资者预计，一旦判决结果公布，该股将大幅波动。当选择的行权价格接近当前股价时，跨式期权既不是看涨也不是看跌策略：跨式期权的delta接近于零。对于任何其他的行权价格，可能会存在方向性偏差(非零delta)，因为其中一个期权将在价内，另一个将在价外。如果价格显著上涨(下降)，看涨期权的delta将接近+1(0)，看跌期权的delta将接近0(- 1)，使得持仓的delta约为+1(- 1)。
跨式期权很难赚钱。在这个例子中，其他人也会观看法庭程序。一旦判决结果公布，市场共识将预测波动率会更高，当波动率预期上升时，期权价格也会上涨。这种波动性的增加意味着，看跌期权和看涨期权在裁决公布之前就已经变得很昂贵，而多头跨式期权需要买入这两种期权。要想赚钱，跨式期权买家必须正确地认识到，“真正的”潜在波动性高于市场共识。从本质上讲，人们押注的是，跨式期权买家是正确的，而其他市场参与者平均而言是错误的，因为他们低估了波动性。
假设标的股票以50的价格卖出，某投资者选择30天期权，行权价格为50。看涨期权售价为2.29，看跌期权售价为2.28，总投资为4.57。在50以上的价格上，看涨赚钱。当价格低于50时，看跌赚钱。跨式期权要想盈利，这两种期权中的一种必须盈利到足以支付看跌期权和看涨期权的成本。要收回这一成本，相关资产必须至少上涨或下跌4.57。

Call	Put	多头跨式	空头跨式
成本	2.29	2.28	4.57	-4.57
Delta	0.534	-0.465	0.069	-0.069
Gamma	0.072	0.067	0.139	-0.139
Vega	0.057	0.057	0.114	-0.114
Theta	-0.039	-0.036	-0.075	0.075
隐含波动率	38%	41%	/	/

如上表所示，多头跨式期权最初的delta很低(本例中为+0.069)，gamma很高(0.139)。交易员最初不喜欢股价的上涨或下跌，但知道delta可能会迅速变化。一旦一个方向(标的价格的增加或减少)确定了自己，交易员的头寸将出现一个非零的delta值。从vega的角度可以更好地理解交易员的观点。只有当股价波动足以收回这两个溢价时，多头跨式期权才会盈利。空头跨式期权的发行人收取看跌期权和看涨期权的溢价，但如果股价偏离行权价格超过4.57，他将蒙受损失。多头跨式期权被称为多头波动，空头跨式期权被称为空头波动。长期跨式期权是一种押注，即波动性增加将使股价大幅高于或低于行权价格。跨界对波动率变化的敏感性由vega衡量。多头跨式期权的vega是+0.114，这意味着投资组合将从基础波动增加1%中获利约0.114。要使跨式期权有利可图，就需要股票价格变动大到足以导致一个期权的价格超过合并溢价的成本。标的价格大幅上涨会导致看涨期权的delta接近+1，看跌期权的delta接近0。标的价格的大幅下跌将导致看涨期权的delta降至0，看跌期权的delta接近- 1。
理论上，股票可以上涨到任何水平，所以做多看涨期权的最大利润是无限的。如果股票下跌，它可以跌到不低于零。如果发生这种情况，看涨看跌期权将值50。扣除4.57的跨式期权成本，股价下跌的最大利润为45.43美元。到期时，跨式期权的价值是看涨期权和看跌期权价值的总和：

V_T = \max(0,S_T X) + \max(0,X S_T) ……（9）

分开来看：

\begin{align*} \begin{split}V_T = \left \{ \begin{array}{ll} X S_T, & S_T < X\\ S_T X, & S_T > X \end{array} \right. \end{split} \end{align*}

利润为：

Π = \max(0,S_T X) + \max(0,X S_T) c_0 p_0 ……（10）

分开来看：

\begin{align*} \begin{split} \Pi = \left \{ \begin{array}{ll} X S_T c_0 p_0, & S_T < X\\ S_T X c_0 p_0, & S_T > X \end{array} \right. \end{split} \end{align*}

两个盈亏平衡点分别为：

S_{TL}^* = X c_0 p_0
S_{TH}^* = X + c_0 + p_0

对于跨式期权买家来说，最糟糕的结果是，如果股票恰好收于50点，这意味着看跌期权和看涨期权都将毫无价值地到期。在任何其他价格下，其中一项期权将具有正的行权价值。请注意，在到期时，如果股价在两个盈亏平衡点之间，多头跨式期权并不盈利。多头跨式期权的风险仅限于为两个期权头寸支付的金额。在所有其他条件相同的情况下，多头看跌和看涨头寸将随着到期的临近而失去时间价值。多头跨式期权买家押注于到期前标的价格的大幅波动。如果股价没有显着变化，theta为正的空头跨界将受益于空头卖出和买入头寸的时间价值的侵蚀。
8.2 领子期权

领子期权(collar)是一种期权头寸，投资者在该头寸中做多股票，然后买入期权执行价格低于当前股价的看跌期权，并买入期权执行价格高于当前股价的看涨期权。领子期权允许股东通过保护性看跌期权获得下行保护，但通过写覆盖性看涨期权减少现金支出。通过仔细选择期权，投资者通常可以用收到的看涨期权溢价来抵消大部分看跌期权溢价。使用领子期权，股票头寸的盈亏受期权头寸的限制。
对于股票投资者来说，领子期权通常意味着对标的资产的所有权和对看跌期权的购买，而看跌期权的资金来自卖出看涨期权。在典型的投资或公司融资环境中，利率领子期权可以用来对冲浮动利率资产或负债的利率风险。例如，一个慈善基金会从其浮动利率证券投资组合产生的收入中筹集资金。基金会的首席投资官(CIO)希望通过购买利率下限(floor)(利率看跌组合)和发行上限(cap)(利率看涨组合)来对冲浮动证券利率下跌的风险。如果投资组合的利率下降，做多下限将为投资组合产生的收益提供一个较低的上限。为了为最低买入提供资金，基金会出售一个上限。在浮动利率上升的情况下，该上限将限制浮动利率投资组合产生的收入。CIO仍持有浮动利率证券投资组合，但使用领子期权限制了回报。通过设定最小和最大的投资组合回报，CIO可能能够更好地计划资金请求。
零成本领子期权(zero-cost collar)是指以相同的溢价买入看跌期权和卖出看涨期权。在场外交易市场上订立的领子期权可以很容易地构造成提供看跌溢价与看涨溢价的精确抵消。
到期时的领子期权价值是标的资产价值、多头看跌期权(在X1处触碰)价值和空头看涨期权(在X2处触碰)价值的总和。设 X_2 > X_1 ：

V_T = S_T + \max(0,X_1 S_T) \max(0,S_T X_2) ……（11）

分开来看：

\begin{align*} \begin{split} V_T = \left \{ \begin{array}{ll} X_1 S_0 , & S_T ≤ X_1\\ S_T S_0 ,& X_1 < S_T < X_2\\ X_2 S_0 , & S_T ≥ X_2 \end{array} \right. \end{split} \end{align*}

领子期权的利润是，标的股票的利润加上做多看跌期权和做空看涨期权的利润：

Π = S_T + \max(0,X_1 S_T) \max(0,S_T X_2) S_0 p_0 + c_0 ……（12）

分开来看：

\begin{align*} \begin{split} \Pi = \left \{ \begin{array}{ll} X_1 S_0 p_0 + c_0, & S_T ≤ X_1\\ S_T S_0 p_0 + c_0,& X_1 < S_T < X_2\\ X_2 S_0 p_0 + c_0, & S_T ≥ X_2 \end{array} \right. \end{split} \end{align*}

投资者通常会对已经未平仓的头寸设置一个领子期权。

领子期权损益图表

我们已经讨论了覆盖性看涨期权和保护性看跌期权的风险。领子期权本质上是同时持有这两个头寸。领子期权牺牲了回报分布的正部分，以换取反向部分的去除。对于做空看涨期权，期权发行者出售回报分布的右侧，其中包括最理想的结果。通过做多看跌期权，投资者可以免受左侧分布和相关损失的影响。为看跌期权支付的期权溢价，很大程度上被发行看涨期权获得的期权溢价所抵消。领子期权极大地缩小了可能投资结果的分布，从而降低了风险。作为风险降低的交换，回报潜力是有限的。投资组合对股价变化的敏感性是有限的：

领子期权和回报分布

当所选看跌期权和看涨期权的执行价格依次从当前价格向相反方向进一步移动时，组合的领子期权头寸位开始复制标的证券中多头头寸的潜在收益/损失模式。相反，当选择的行权价接近并相互满足时，预期收益和波动率变得越来越不像股票，最终在时间范围内趋同于无风险的固定收益回报。因此，从经济上讲，领子期权头寸介于纯粹的股票敞口和固定收益敞口之间。
牛市价差的损益图的形状与领子期权的形状相似。上行回报潜力有限，但最大损失也是如此。与领子期权的风险回报权衡一样，期权价差将分布的尾部排除在外，只留下期权行权价格之间的价格不确定性。从另一个角度来看这种情况，如果有人只是简单地买入看涨期权，最大收益将是无限的，最大损失将是支付的期权溢价。如果有人决定将其转换为利差，这样做会限制最大收益，同时降低总成本。
8.3 日历价差

卖出和买入同一类型但到期日不同、标的资产相同且行使相同的期权的策略，通常被称为日历价差(calendar spread)。

多头日历价差：买入远期看涨（或看跌）期权 + 卖出近期看涨（或看跌）期权
空头日历价差：买入近期看涨（或看跌）期权 + 卖出远期看涨（或看跌）期权

部分期权溢价为时间价值。时间价值随着时间的推移而衰减，并随着期权到期日的临近而接近于零。利用这种时间衰减是日历扩展背后的主要动机。时间衰减对于一个短期的期权比一个长期的期权更明显。日历价差交易试图利用这一特点，买入较长期期权，卖出较短期期权。
日历价差交易者对股票有一个方向性的意见，但不相信价格的移动即将到来。相反，交易员看到的是一个机会，从一个或多个预期到期时毫无价值的短期期权中获取时间价值。
基础市场的大幅波动或隐含波动率的下降将有助于空头日历价差，而稳定的市场或隐含波动率的上升将有助于多头日历价差。因此，日历价差对标的的波动很敏感，对隐含波动率的变化也很敏感。
9. 波动率

9.1 隐含波动率

期权当前价格的一个重要因素是相关资产回报的未来波动率的前景，即隐含波动率(implied volatility)。隐含波动率本身是不可观察的，但它是从期权定价模型 BSM 中推导出来的，它是使期权的模型价格与其市场价格相等的价值。请注意，BSM模型的所有其他输入变量，包括期权的行权价格、标的价格、期权到期时间和无风险利率，都是可观察到的。隐含波动率包含了投资者对金融资产收益未来走向的预期，以及与之相关的市场不确定性水平。
特定资产期权的隐含波动率可能因行权价格（货币性(moneyness)）、方向（看涨或看跌）和到期时间而不同。价外看跌通常比平价或价外看涨的隐含波动性更高。这一现象归因于投资者对2007-2009年全球金融危机等负面肥尾市场事件发生概率的重新评估。
隐含波动率通常与已实现波动率(realized volatility)（即历史波动率）进行比较，已实现波动率是回报已实现方差的平方根，衡量相关资产过去回报的范围。为了计算给定期权、股票或股票指数的历史波动率，需要一系列过去的价格。例如，要计算标准普尔500指数在过去一个月(即21个交易日)的波动率，需要首先计算每天指数收盘价的每日百分比变化。 P_t 为收盘价， P_{t - 1} 为前一日的收盘价： (P_t - P_{t - 1})/P_{t - 1} 。下一步是用标准差公式应用于每日百分比变化数据，以计算标准普尔500指数在选定期间的标准差(即波动率)，在这里是过去一个月。
然后，将过去一个月的标准差乘以一年内周期数的平方根，将其年化。由于我们假设一年和一个月的平均交易日数分别为252和21，不包括周末和节假日，因此公式为：

年标准差（%） = 月标准差（%）× \sqrt{\frac{252}{21}} ……（13）

注意，此示例使用一个月的日回报数据，但此过程同样适用于任何其他期间。
显然，我们不能使用之前基于过去价格的已实现波动率公式来获得隐含波动率，即标的资产未来收益的预期波动率。相反，一个月的年化隐含波动率可以使用BSM模型从一个月后到期的期权的当前价格中导出。一旦获得一个月年化隐含波动率，随后可转换为相关资产在期权21天内预期波动率的估计。该预期月度波动率由一个月年化隐含波动率除以252天交易年度中21天周期数量的平方根给出，如下所示：

月标准差（%） = 年标准差（%）/ \sqrt{\frac{252}{21}} ……（14）

当将期权价格在资产类别内或不同类别之间进行比较，或与其历史价值进行比较时，它们是通过隐含波动率来评估的。
假设使用DAX指数期权的一个月年化隐含波动率9.29%，DAX指数在未来一个月(21个交易日)的预期波动率可计算为月标准差 = 9.29% / (252/21)^0.5 = 2.68%。例如，如果一个投资者使用DAX的看涨和看跌购买了一个月(21天)的平价跨式期权，为了使该策略在到期时有利可图，该指数必须至少上下移动2.68%。投资者可以将达到盈亏平衡所需的价格波动与DAX在过去类似时间范围内的已实现波动率进行比较。如果这样的价格变化被认为是合理的，那么投资者可以选择实施该策略。
利用BSM模型计算平价期权的隐含波动率，仍然是衡量当前波动率水平的最简单方法。BSM模型假设波动率是恒定的，在1987年股灾之前，股票指数市场的波动率倾斜很小。现在几个资产类别的期权价格显示出持续的波动率倾斜，在某些情况下是波动率微笑。因此，给定到期日期权的隐含波动率取决于其行权价格。
9.2 波动率倾斜

下图显示了到期日相同、同一标的期权的隐含波动率曲线，描述隐含波动率与行权价格的关系：

隐含波动率曲线

当在价外看跌期权和看涨期权中定价的隐含波动率，高于平价期权的隐含波动率（行权价为19000）时，曲线是U型的，被称为波动率微笑(volatility smile)。然而，隐含波动率曲线更常见的形状是波动率倾斜(volatility skew)，当行权价格偏离当前价格时，卖出期权的隐含波动率会增加，卖出期权的隐含波动率会下降。随着时间的推移，这种形态在不同资产类别中持续存在，因为投资者对价外看涨期权的兴趣通常较低，而价外看跌期权则发现了普遍的需求，作为抵御市场抛售的投资组合保险。
倾斜的程度取决于几个因素，包括投资者情绪和看跌期权和看涨期权的相对供需等。一些理论模型试图利用这些因素来预测偏态变化。然而，这些模型并没有导致独特的预测。一般来说，当行权价格低于标的资产价格的看跌期权的隐含波动率显著高于历史水平时，这意味着期权的供需失衡。事实上，当投资者希望对冲相关资产时，看跌期权的需求超过了看涨期权。期权交易者通过卖出看跌期权来满足这种超额需求，从而提高了这些期权的相对价格，从而提高了隐含波动率。倾斜水平的急剧上升，伴随着隐含波动率绝对水平的飙升，表明市场情绪正在转向看跌。相比之下，行权价高于标的资产价格的看涨期权隐含波动率高于历史水平，表明投资者看涨，对价外看涨期权承担上行风险的需求强劲。
下表显示了在存在流动性衍生品市场的股票指数上，三个月后到期的期权在不同货币程度上的隐含波动率水平：
            基于货币性的隐含波动率             90%–110%
指数          平价 Put: 90%  Call: 110%       波动率倾斜
Nikkei 225    12.9 18.9    12.4             6.5
S&P500       10.3 17.7    9.4             8.3
Euro Stoxx 50 12.3 17.8    9.3             8.5
DAX          14.5 20.0    11.0             9.0Put: 90%是一种看跌期权，其行权(X)等于当前标的价格的90%；因此X/S = 90%。Call: 110%是类似计算的。还显示了倾斜，以90%看跌期权和110%看涨期权隐含波动率之间的差异计算。对于大多数资产类别来说，期权的倾斜程度会随着时间的推移而变化。
有些交易策略试图从隐含波动率倾斜的存在以及其形状随时间的变化中获利。常见的策略是在风险逆转(risk reversal)中持有多头或空头头寸，然后进行delta对冲。使用价外期权：

多头风险逆转：在相同期限的相同标的上组合多头看涨期权和空头看跌期权
空头风险逆转：在相同期限的相同标的上组合空头看涨期权和多头看跌期权

当交易员认为看跌期权隐含波动率相对于看涨期权隐含波动率过高时，她通过卖出价外看跌期权和买入相同的到期价外看涨期权，创造了一个多头风险逆转。然后通过出售相关资产来对冲期权头寸。交易员的目标不是从隐含波动率的整体水平的变化中获利。事实上，根据看跌期权和看涨期权的行权情况，交易可能是vega中性的。为了使交易有利可图，交易员预计在隐含波动率方面，看涨期权将相对于看跌期权上涨更多或下降更少。
通常情况下，隐含波动率在不同期限之间并不恒定，这意味着行权价相同但期限不同的期权显示出不同的隐含波动率。这决定了波动率的期限结构(term structure of volatility)，波动率通常是期货溢价，这意味着长期期权的隐含波动率高于短期期权。然而，当市场处于压力中，消除风险的情绪盛行时，市场参与者要求短期期权，推高了它们的价格，并导致波动的期限结构倒转。对于标准普尔500指数期权的一个常见指标，12个月和3个月ATM期权隐含波动率之间的利差，低于零的值表明期限结构与“3个月期权的隐含波动率高于12个月期权的隐含波动率”相反。在股市经历大规模抛售的时期，例如2007-2009年全球金融危机期间，隐含波动率的期限结构通常会出现明显的倒转。在这些时期，股票波动和倾斜的总体水平也保持在较高水平。
隐含波动率曲面(implied volatility surface)是一个三维图，关于同一标的资产的看跌和看涨期权，到期日(x轴)，期权行权价格(y轴)，隐含波动率(z轴)。它同时显示了波动率偏度（微笑）和隐含波动率的期限结构。考虑到隐含波动率在不同期限的期权之间存在差异，且呈现偏态，隐含波动率面通常不像BSM模型所建议的那样平坦。通过观察隐含波动率面，可以推断市场预期的变化。一些研究集中在如何提取期权市场价格中嵌入的信息。这种倾斜可以洞察市场参与者对标的资产在特定范围内的价格变动的看法。一般的解释是，波动率偏斜的形状反映了不同程度的市场参与者对未来市场压力的担忧。
10. 投资目标与策略选择

10.1 设定目标的必要性

每一笔交易都以市场前景为基础。对于股票和大多数资产，人们考虑的是市场的方向:它是上涨还是下跌，还是稳定？在处理期权时，仅仅考虑市场方向是不够的；除了Delta以外的Gamma, Theta和Vega也是很重要的。就期权估值而言，重要的不仅是衍生品合约标的资产的走向，还包括标的资产的波动率，甚至是其他投资者对这种波动率的看法。如果其中一个因素朝着不希望的方向发展，投资者的投资目标可能无法实现。Gamma可能会导致更快的损失或收益，这取决于投资者是做空还是做多期权，而Theta可能会导致损失，尽管相关资产朝着正确的方向移动。如果市场对隐含波动率的预期发生变化，Vega可能会上涨或下跌，导致期权头寸的损失或利润。此外，在计算持仓到期损益总额时，必须考虑已付(如多头)或已收(如空头)的期权溢价。例如，在一个简单的看涨期权购买中，相关资产必须上涨到足够高，以便看涨期权通过克服看涨期权支付的溢价达到盈亏平衡。
此外，随着基于波动率的衍生品的引入，投资者越来越多地将这些投资视为一种保护其投资组合不受下行风险影响的方式，也是一种提高投资组合效率的方法。在考虑对冲策略时，重要的是要区分投资者的目标是从波动率上升中受益(长期波动率)的情况（例如，在对冲股票多头头寸时）和投资者希望从波动率下降中受益(短期波动率)的情况（例如发行空头跨式期权头寸）。
投资组合经理、交易员和企业利用衍生品来调整风险敞口，实现特定的投资目标，甚至推断短期内的市场预期（例如，推断市场对央行利率决策的预期）。衍生品的主要优势在于，它们允许需求和市场观点不同的两方迅速调整，而不必进行可能成本高昂、难度较大的标的交易。使用衍生品而不是投资于实物标的证券的另一个优势是杠杆。投资者只需投入风险资本的一小部分，就可以对相关资产进行大量敞口，这是衍生品的一个重要特征。流动性是许多市场中有利于使用衍生品的另一个关键因素，例如，可以使用指数信用衍生品(CDS)买卖信用保护，而不是交易实际的标的债券(可能流动性较低)，这为交易员和投资者提供了巨大的流动性优势。总而言之，给定股票、债券、利率、货币或其他资产的实际或预期投资组合；市场前景和时间框架；了解衍生品的好处和局限性，设定现实的投资目标是很重要的，无论是对冲，进行方向押注，还是捕捉套利机会。
10.2 确定适当期权策略的标准

投资者利用衍生品来实现基于他们对标的资产前景的目标敞口。下表显示了一种看待方向和波动性相互作用的方法。考虑到隐含波动率的预期变化和标的资产移动方向的前景，所确定的策略是最有利可图的。

隐含波动率预期	标的资产走势：熊市	标的资产走势：中性	标的资产走势：牛市
下降	卖看涨	卖跨式	卖看跌
不变	卖看涨 + 买看跌	日历价差	买看涨 + 卖看跌
上升	买看跌	买跨式	买看涨

考虑一个对市场持悲观态度的投资者。如果他预计随着市场抛售，隐含波动率将增加，那么他将购买看跌期权来保护他的投资。如果相反，他认为波动性预计会下降，那么发行看涨期权可能是一种有利可图的策略。然而，投资者需要记住，这两种策略有两种不同的回报和风险管理含义。投资者发行看涨期权并买入看跌期权的头寸是一个领子期权，它通常与持有相关资产的多头头寸有关。投资者使用领子期权来对冲股票多头头寸，以对冲风险和平滑波动。事实上，通过在购买保护性看跌期权的同时卖出覆盖性看涨期权，投资者建立了一个带有固定下行保护的组合头寸，同时仍然提供了一些盈利机会。
现在考虑一个持看涨观点的投资者。买入看涨期权是一种期权策略，如果投资者的前景是正确的，隐含波动性增加，该策略将使投资者受益。当预期隐含波动率将下降时，发行看跌期权是利用波动率下降的看涨市场观点的另一种策略。如果发生这种情况，头寸可能会盈利，因为随着股票上涨和隐含波动率下降，空头将进一步向价外，其价格将下降。投资者买入看涨期权和卖出看跌期权的组合头寸（即多头风险逆转）被用来实现看涨观点（投资者买入看涨期权），同时降低行使期权后将建立的相关资产多头头寸的成本（投资者卖出看跌期权）。
投资者也可以决定卖出看跌期权，当他们想要购买的股票只有在价格下降到一个确定的目标价格以下（看跌期权的执行价格将与这个目标价格相同）。在这种情况下，通过在隐含波动率升高（看跌期权价格昂贵）时卖出看跌期权，投资者可以实现一个有效的股票购买价格，该价格根据获得的溢价的大小低于目标（执行）价格。
当投资者持看涨观点(看涨牛市价差)或看跌观点(看跌熊市价差)，但标的市场没有明显的上升或下降趋势时，买入看涨或看跌价差往往是最合适的。此外，这种利差是降低总成本的一种方式，因为利差通常是通过买入一种期权并卖出另一种期权来构建的。重要的是，如果隐含波动率曲线是倾斜的，价外看跌期权的隐含波动率相对高于接近货币的期权，看跌利差的成本甚至更低。这是因为在看跌空头价差中，较低的行权价格、较多的价外(但相对较贵)看跌期权被卖出，较高的行权价格、较接近平价(但相对较便宜)的看跌期权被买入。
现在假设市场预期在区间内交易。同样，投资者应该考虑波动性。假设他认为当前对期权价格中隐含的波动性的共识估计过低，而基础价格的变化率将会上升，即vega将会上升。如果投资者对市场方向持中性态度，适当的策略将是长期跨空，因为这种策略利用了长期看涨或长期看跌期权价格的上涨，以应对预期的波动性、vega和gamma的飙升。在到期时，如果看涨(看跌)的价格大于(小于)上(低于)盈亏平衡价格，则多头跨式期权将有利可图。相比之下，预计市场将在区间和波动性下降的投资者可能希望发行跨式期权。
我们现在考虑一种策略，将相关资产的长期看涨/看跌前景与近期中性前景结合起来。这种方法是日历价差(或时间价差)，一种使用相同类型(看跌或看涨)和相同执行价格但到期日不同的两个期权的策略。通常，做多日历价差是一种长期波动率交易策略，即出售期限较短的期权，购买期限较长的期权，因为较长期期权的vega高于较短期期权。当短期期权毫无价值地到期时，获得了最大的利润，然后隐含波动率飙升，增加了剩余长期期权的价格。虽然日历价差的delta约为零，但gamma并非如此，因此日历价差的主要风险是标的股价移动过快，与行权价格相差太远。因此，日历价差通常在以隐含波动率较低为特征的期权市场中实施，即预期标的股票将维持在一个交易区间内，但仅持续到短期期权到期。
11. 组合管理中期权的使用

本节使用案例来说明不同市场参与者使用衍生产品来解决问题或改变风险敞口的一些方法。（大题考向）
11.1 发行覆盖性看涨

里维拉是一家专注于高净值客户的小型资产管理公司的投资组合经理。4月中旬，他正在准备与客户帕克的会面。帕克的女儿即将结婚，帕克夫妇决定支付女儿的蜜月费用，需要相对较快地筹集3万美元。客户的投资组合70%投资于股票，30%投资于固定收益，政策上略有激进。目前，帕克夫妇资产丰富、现金匮乏，在婚礼费用之前，他们的现金储备已经基本耗尽。最近修订的投资政策声明允许大多数期权活动，但不允许发行无保护的看涨期权。
帕克的账户包含5000股MNZA股票，她正在考虑在不久的将来出售这只股票。里维拉的公司对MNZA股票在未来六个月的市场前景持悲观态度。里维拉审查了将于5月到期的44天交易所上市期权的信息。他正在考虑发行MNZA看涨期权，这将实现两个目标。首先，卖出看涨期权将为他的客户产生所需的现金。其次，出售将减少帕克账户的Delta，这与他的公司对MNZA股票的看跌短期前景一致。目前帕克的MNZA头寸的delta值是+5000。下表记录了5月MNZA期权的看涨和看跌价格信息，其行权价格接近MNZA股份的当前市场价格(S0 = 169美元)。
看涨溢价看涨Delta 行权价看跌溢价看跌Delta 看涨或看跌Vega
12.55    0.721    160    3.75    0.289    0.199
9.10    0.620    165    5.30    0.384    0.224
6.45    0.504    170    7.69    0.494    0.234
4.03    0.381    175    10.58    0.604    0.225
2.50    0.271    180    14.10    0.702    0.199问：讨论里维拉应该考虑的因素，和他应该推荐给帕克的策略。
答：为了产生现金，里维拉将希望发行期权。该帐户允许发行覆盖性看涨期权。MNZA期权在有组织的交易所进行交易，每份合约的标准合约规模为100股。账户中有5000股，50个看涨合约将被覆盖。
如果里维拉发行了5月行权价180的看涨，这样做不会产生所需的现金，2.50 × 100 × 50 = 12,500美元。发行5月行权价165将产生足够的收入：9.10 × 100 × 50 = 45,500美元。然而，5月行权价165的看涨是平价。尽管该公司对这些股票的前景看空，但里维拉认为，帕克的MNZA股票很有可能在到期时被取消。发行5月行权价175的看涨只会产生4.03 × 100 × 50 = 20150美元。尽管里维拉认为，175的看涨将不会被行权，但产生的现金将仅占客户预计需求的三分之二左右。5月行权价170的看涨将产生6.45 × 100 × 50 = 32,250美元，从现金产生的角度来看，这看起来很好。MNZA股份的目前价格为169，因此MNZA股份在到期时出售高于该水平的风险相当大。如果MNZA的股票在5月到期时的交易价格高于行权价，那么帕克将面临以170美元的价格赎回她的股票的风险。鉴于该公司对MNZA股票的悲观前景，并如前所述，帕克正在考虑在不久的将来出售股票，这种风险可能是可以接受的。利用5月行权价170看涨期权数据，帕克的MNZA头寸的delta将从+ 5000减少到5000 ×(+1 - 0.504) = + 2480。建议发行50个5月行权价170看涨合约的利润图表如下，帕克的5000股多头头寸为169：

看涨期权销售产生的32250美元由帕克保留。然而，里维拉应该向帕克指出有两个风险。第一个风险是，他对MNZA股票的前景可能不正确。Delta的减少可能会让他的客户在多头头寸上失去潜在的收益。如果MNZA的股份增加到170以上，利润将流向看涨所有者。帕克的MNZA股份可能会以170美元的价格被赎回，将她的利润限制在32500美元的期权溢价加上以1美元(= 170美元- 169美元)的利润出售她的MNZA股份所带来的5000美元。
11.2 发行保护性看跌

Quintera是一家私人投资公司Jotas的首席财务官。他想为该公司购买5万股MNZA的股份，但他认为MNZA的股份目前的价格有点贵。目前的股价为169美元，Quintera愿意以不高于165美元的价格收购该股票。Quintera决定发行MNZA股票的价外看跌期权。
问：讨论交易的结果，假设两种情况，在MNZA的5月165看跌期权做空：

情形A：在期权到期日，MNZA的股价为每股163美元。
情形B：在期权到期日，MNZA的股价为每股177美元。

答：Quintera可以发行价外看跌期权，以有效地获得报酬来购买股票。他卖出看跌期权，公司保留现金，不管未来发生什么。如果股票在到期时高于行权价格，则看跌期权将不会被行权。否则，期权被行使，Quintera购买股票，并按要求，Jotas成为股票的所有者。继续采用11.1中看跌期权的期权信息。由于他的目标价为165，Quintera发行500个行权价165看跌合约，获得500 × 100 × $5.30 = $265,000的溢价收入。无论未来股价走势如何，该公司都会保留这些资金。但是，如果看跌期权持有人选择行权，该公司有义务以165美元的价格买入股票。通过发行看跌期权，Quintera在MNZA股票中建立了看涨头寸。该MNZA头寸的delta为- 500 × 100 × - 0.384 = +19,200，相当于持有19,200股MNZA股票的多头头寸。看跌期权的投资组合利润如下：

情形A：该股票在期权到期日为每股163美元。行权价为165，该看跌期权为平价，将被行权。Quintera将被分配以165的行权价购买5万股股份。成本为5万× 165美元= 825万美元。Quintera对结果感到满意，因为公司保留了265,000美元的保费收入，因此净购买成本为8,250,000美元- 265,000美元= 7,985,000美元。就5万股股票而言，这意味着有效购买价(effective purchase price)为7 985,000美元/5万美元= 159.70美元，低于Quintera愿意支付的最高165美元。如果MNZA股份的价格跌至165以下，则有效收购价格始终为X - p = 165 - 5.30 = 159.70美元。这是空头头寸的盈亏平衡点。在低于盈亏平衡金额的价格下，Quintera不发行看跌期权，而是直接购买MNZA的股票，会更好。例如，如果MNZA的价格降至150美元，Quintera将有义务以165美元的价格购买股票，比市场价格高出15美元。当考虑5.30美元的溢价时，15美元的差异将相当于每股9.70美元或485,000美元的损失。
情形B：期权到期日的股价为177。由于行使价为165.00，MNZA看跌期权为价外，不会行使。Jotas保留了从发行期权中获得的26.5万美元溢价。这种方法增加了公司的盈利能力，但Jotas没有购买MNZA的股份，并经历了相对于以169美元的价格直接收购该股票的机会成本。任何高于165的价格，都将获得265,000美元的溢价。
11.3 多头跨式

哈姆雷特一直在关注MNZA股票。她预计很快就会发布一款重要的新产品，但她不确定评论家会对此作何反应。如果新产品受到赞扬，她相信股价会大幅上涨。如果产品没有给人留下深刻印象，她认为股价将大幅下跌。哈姆雷特一直在考虑以跨式期权的方式围绕这一事件进行交易。该股票目前的价格为169.00美元，她专注于接近平价(170)的看涨和看跌，分别为6.45和7.69美元。她最初的策略如下：

哈姆雷特预计，一旦产品公告发布，该股票将至少向任何方向移动10%，这使得跨式期权策略可能是合适的。她的头寸的vega将为0.234 + 0.234=+0.468，这意味着期权波动性的1%波动将导致跨式期权价值的约0.468美元的收益。跨式期权的delta将接近零，为+0.01（看涨delta +看跌delta = 0.504 +[- 0.494]）。这种策略是多头波动。市场收盘后，哈姆雷特听到一则新闻，说该产品将在两周后的一个贸易展览会上发布。第二天早上开市后，她去下单，发现尽管股价仍在169.00美元，但看涨期权价格已上调至10.20美元，看跌期权价格上调至10.89美元。
问：讨论新的期权溢价是否对哈姆雷特的跨期策略有任何影响。
答：哈姆雷特正押注于MNZA股票的大幅价格变动，以期通过这一交易获利。价格波动，无论是上升还是下降，都必须大到足以收回所支付的两笔保费。在她早期的计划中，总金额是6.45+7.69=14.14美元。她预计股价至少会有10%的波动，这意味着以169.00美元的价格出售的股票将上涨16.90美元。这一价格变动将足以收回14.14美元的跨式期权成本，并使她的策略有利可图。盈亏平衡点分别为155.86美元和184.14美元。
然而，关于即将推出的产品的新闻报道增加了期权的隐含波动性，从30%左右增加到45%左右，提高了期权的价格，并使实现新的盈亏平衡点变得更加困难。在新闻报道后，哈姆雷特发现5月行权价170的看涨期权现在的价格为10.20美元，5月行权价170的沽出期权的交易价格为10.89美元，因此5月行权价170的跨式期权的执行成本为21.09美元(10.20+10.89)。关于她前一天计算的vega，哈姆雷特计算了跨式的初始vega(预公告)+0.468。现在，她认为看跌期权和看涨期权的隐含波动率都将上升约15个百分点(至45%)。根据她最初的vega计算，她预计在宣布后，她的跨界价值将增加15 × 0.468 = 7.02美元。该公告将跨式期权的价格提高了6.95(= 21.09 - 14.14)，非常接近vega计算预测的7.02美元的上涨。为了达到新的盈亏平衡点(170±21.09)，她现在需要股票移动超过12%，比目前的169点高出10%以上。鉴于哈姆雷特预计价格波动仅为10%，她决定不执行这一跨式交易。

【例7】跨式期权分析

已知XYZ股价=100.00，行权价100的看涨溢价 = 8.00，行权价100的看跌期权溢价 = 7.50，期权三个月后到期。
问：① 如果购买了XYZ股票的跨式期权头寸，应该期待：A.高波动性市场。B.低波动率市场。C.稳定波动市场。
② 这一策略将在股票价格到什么时候实现盈亏平衡：A. 92.50和108.50。B. 92.00和108.00。C. 84.50和115.50。
③ 达到盈亏平衡点意味着XYZ股票的年化回报率接近：A. 16%。B. 31%。C. 62%。

答：① 选A。跨式买家想要更高的波动率。② 选C。要想收支平衡，股价必须变动到足以收回卖出期权和看涨期权的成本。这些溢价总计为15.50美元，因此股价必须至少上涨至115.50美元或下跌至84.50美元。③ 选C。价格变化到盈亏平衡点是15.50点，即100只股票的15.5%。这是三个月的。忽略复利，这个结果相当于XYZ股票62%的年化利率，通过乘以12/3 (15.5% × 4 = 62%)。

11.4 领子期权

Steinbacher有一个客户持有Tundra公司的10万股股票，目前股价为每股14欧元。客户持有该股票多年，因此该股票的税基很低。Steinbacher希望保护该头寸的价值，因为该客户不想出售这些股票。他没有发现该股的交易所交易期权。Steinbacher想要提出一种方法，让客户可以保护投资组合不受Tundra股价下跌的影响。
问：讨论Steinbacher可能向他的客户推荐的一种选择策略。
答：在场外交易市场，Steinbacher可能买入看跌期权，然后卖出价外看涨期权。这个策略是一个领子期权。看跌期权提供低于看跌期权行权价格的下行保护，看涨期权产生收益以帮助抵消看跌期权的成本。投资者决定看跌期权和看涨期权的行权价格，以实现特定水平的下行保护，同时仍能从股价上涨中获得一些好处。当设定看涨期权的行权使看涨期权的溢价(收到)正好抵消看跌期权的溢价(支付)，那么这个头寸就被称为零成本领子期权。这种策略有效地卖出了分布的右尾（潜在的巨大收益）以消除左尾（代表着潜在的巨大损失）。
11.5 日历价差

Dubois是高净值投资者的专业顾问。她预计Euro Stoxx 50指数在未来三个月的价格波动不大，但对长期前景持悲观看法。支持持平市场的共识情绪在未来几个月没有变化的迹象，指数目前的交易价格为3500点。下表显示该指数上两种行使价为3500的看跌期权的价格，两种期权具有相同的隐含波动率：
期权A 期权B
当前价格 119 173
到期（月） 3 6 问：① 讨论Dubois如何利用她不一致的观点。② 分析在三个月期权到期时，可能面临指数的四种情景。
答：① Dubois的观点最好通过多头日历价差来实现，将相关资产的长期看跌前景与近期中性前景结合起来。她长期看空，因此会买入看跌日历价差。多头日历价差是一种多头波动交易策略，在短期平价期权到期时获得最大利润，而标的几乎不变。Dubois可以执行看跌期权日历价差交易，以119欧元卖出3个月期看跌期权A，以173欧元买入6个月期相同的执行看跌期权B。因此，建立这一战略的成本为每份合同净借记54(173 - 119)。Dubois的长期前景是悲观的。如果看跌日历价差在三个月看跌期权到期时没有盈利，空头期权到期时毫无价值，然后她拥有清晰的长期期权。因此，Dubois成功地降低了购买长期看跌期权的成本，这些期权可以保留下来，以对冲她的投资组合的下行风险。
② 如果在三个月看跌期权到期前持有看跌期权日历价差头寸，那么Dubois可能会面临指数的以下四种情形之一。在前三种情况下，假设隐含波动率保持不变：

情形1：指数仍如预期在3500点交易
情形2：指数上升，在4200点交易
情形3：指数下降，在3000点交易
情形4：指数下降，在3000处交易，但隐含波动率明显增加

情形1：指数仍如预期的3500点交易。3个月的看跌期权到期时毫无价值，而最初的6个月期权(现在还有3个月到期)价值119欧元(因为隐含波动率保持不变)。日历价差的总成本是54欧元，可以将剩余的看跌期权卖给经销商，获得65欧元的利润(119 - 54欧元)。上图显示了3个月看跌期权到期时日历价差的损益图，这对应于该策略的最大收益水平。
情形2：指数有所上升，目前在4200点交易。三个月期看跌期权到期时一文不值。此外，6个月看跌期权的价值接近于零，如果平仓(多头)看跌期权头寸，她将损失全部54欧元(173 - 119)，这是看跌期权日历价差的成本。
情形3：指数下跌，目前为3000点。必须支付500欧元(3500 - 3000)在到期时卖出三个月看跌期权。还有三个月到期的多头看跌期权价格不菲，假设波动性不变，其价值为515欧元(500的内在价值+ 15的时间价值)。如果将该看跌期权卖给交易商，她将在看跌期权日历价差上损失39(= 515 - 500 - 54)。
情形4：指数下跌，目前在3000点交易，隐含波动率显著上升。必须支付500欧元(3500 - 3000)在到期时结算空头3个月看跌期权。还有3个月到期的多头看跌期权是非常值钱的，假设波动性增加，它价值530(500的内在价值+ 30的时间价值)。如果将该看跌期权出售给经销商，将在看跌期权日历价差上实现24(= 530 - 500 - 54)的损失。相比于之前的日历价差曲线，隐含波动率显著上升后的日历价差曲线向上移动了。
12. 股权风险敞口

12.1 对冲股市波动

小吴是一位基金经理，他管理着价值5,000万美元的股票投资组合，以标准普尔500指数为基准。他预计美国股市即将出现大幅回调，并希望从预期中的短期波动中获利，以对冲其投资组合的尾部风险。
         看涨看跌
行权价    15.60  14.75
期权价格 2.00 1.55vix指数目前为14.87点，近月VIX期货价格为15.60点。小吴观察了上表中VIX期权的报价，这些期权具有相同的隐含波动率。VIX期权价格反映了VIX期货价格。考虑到VIX期货交易价格为15.60，而现货VIX为14.87，看涨期权在当期，看跌期权在当期卖出5.45%(=[14.75 - 15.60]/15.60)。
问：① 通过利用预期的波动增加，同时降低对冲成本，小吴可以实施一种什么策略来对冲他的股票投资组合中的尾部风险？② 期权到期时策略的盈亏如何？③ 该策略的相关问题及优势有哪些？
答：① 购买15.60的VIX看跌期权，为了部分融资，卖出了相同数量的14.75的VIX看跌期权。期权策略的总成本为0.45 (2.00 - 1.55)。
② 到期时，期权的收益将取决于相关波动率指数期货的结算价格。下图显示了期权策略在期权到期时的盈亏关系，横轴显示了相关VIX期货合约对应的值。

在到期时，如果如预期那样波动性飙升，VIX期货上升到16.05以上，该策略将是盈利的。这是按买入执行权15.60加上期权净成本(15.60 + 0.45)计算的。高于这一水平，该战略将获得相应的收益。相比之下，如果VIX期货的结算价格低于14.75(看跌期权行权)，小吴的期权策略将按比例损失其对看跌期权的敞口。
③ 决定买入数量的对冲比率可以根据对投资组合的损益与过去重大股市抛售期间隐含波动率的增长率进行回归和情景分析来确定。一个风险是，过去的相关性可能并不代表未来的相关性。重要的是，通过购买VIX的看涨期权而不是购买VIX期货来实施这种长期波动率对冲策略的相对优势，取决于可用杠杆的差异、收益概况的差异(期权是不对称的，期货是对称的)、波动率期货期限结构的形状，以及期权与指数期货成本的比较。
12.2 调整股权风险敞口

投资者使用衍生品来建立权益风险敞口，进行风险管理，或实施战术资产配置决策。选择符合投资目标的衍生品取决于相关资产的前景、投资期限以及对该期限内隐含波动率的预期。
12.2.1 做多看涨
Sanchez是一名在伦敦工作的私人财富顾问。他预计，由于有关该公司新金融科技服务的积极消息增加，Markle 公司的股价将在未来三个月从目前的每股60英镑升至每股70英镑。他还预计，在同一时期，Markle股票期权的隐含波动率将几乎保持不变。三个月股票认购期权的价格见下表，每份看涨合约代表一股。
      期权A 期权B 期权C
行权价 58.00 60.00 70.00
价格    4.00 3.00 0.40
Delta 0.6295 0.5227 0.1184
Gamma 0.0304 0.0322 0.0160对于投资政策声明允许使用衍生品的高净值客户，Sanchez计划建议他们购买看涨期权，如果股价在未来三个月升至每股70英镑或以上，根据他们打算用于实施该战略的预算，看涨期权将使利润最大化。
问：讨论Sanchez应该向他的客户推荐的期权策略。
答：Sanchez对此持乐观态度，因为他预计Markle的股价在未来三个月将从目前的60英镑上涨近17%。他预计，Markle股票期权的隐含波动率将保持不变，如果他的预期在给定的时间框架内实现，那么购买期权将是一个有利可图的策略。
最好的策略是在60行权的看涨期权中做多（期权B）。盈亏平衡价格为63(60+3)，因此在期权到期时，在任何股价高于63的情况下，整体头寸都会盈利。相比之下，58期权A的盈亏平衡价格为62(58+4)，70期权C的盈亏平衡价格为70.40(70+0.40)。因此，桑切斯不会使用选项C来实施他的战略，因为盈亏平衡价格高于他的目标价格70英镑/股。
鉴于60行权的看涨的价格(溢价)低于58行权的看涨，Sanchez的客户可以在给定的投资规模下购买更多的这些低价期权。此外，如果股价上涨至70英镑(如预期)，60行权的看涨提供了每单位溢价的最大利润潜力。

58行权的看涨：(70 62)/4 = 2.0
60行权的看涨：(70 63)/3 = 2.3

鉴于Sanchez的预期已经实现，购买60行权的看涨（期权B）是最有利可图的策略。与58行权的看涨期权(delta = 0.6295)相比，60行权的看涨期权的delta值较低(= 0.5227)，因此按照标的的当前价格，60行权的看涨期权的价值变化较低。然而，如果马克尔的股票在期权期内达到每股70英镑，60行权的看涨将受益于更大的gamma(= 0.0322)，而不是58行权的看涨(gamma = 0.0304)。
12.2.2 保护性看跌期权
投资者使用保护性看跌期权、领子期权和股票互换来对冲多头股票头寸，以对冲市场风险。这里我们转向保护性看跌期权的实际应用。McLaire管理着一家对冲基金，该基金持有10万股Relais公司的股票，目前的交易价格为42.00欧元。
情形A：在Relais公司公布季度收益之前
Relais计划在一周内发布季度盈利公告。尽管McLaire预计盈利将增加，但他认为该公司将错过一致的盈利预期，在这种情况下，他预计从目前42.00欧元的价格最大跌幅将为10%。他希望在财报公布前后的几天内保护该基金在该公司的头寸，同时将保护成本保持在最低水平。下表提供了Relais公司期权价格的信息。注意，每份看跌合约代表一份股票。
      期权A    期权B    期权C
行权价 40.00 42.50 45.00
价格    1.45 1.72    3.46
Delta    0.4838 0.5385 0.7762
Gamma    0.0462 0.0460    0.0346问：讨论McLaire可以实施的期权策略，以对冲Relais公司股价短期下跌对其基金投资组合的影响。
答：McLaire可以购买保护性看跌期权，并打算在财报公布后不久卖出。他预计目前42.00欧元的价格最大降幅将为10%，至37.80欧元。这种预期缩小了基于以下盈亏平衡价格的看跌期权的选择范围

期权A：40.00 1.45 = 38.55
期权B：42.50 1.72 = 40.78
期权C：45.00 3.46 = 41.54

期权B的看跌期权最符合将充分保护成本保持在最低水平的目标。这是因为40的看跌期权(期权A)提供的保护有限，因为它的利润只有低于38.55欧元，如果股价跌至37.80欧元，它的利润仅为0.75欧元。此外，如果股价跌至37.80欧元，42.50的看跌期权的单位溢价利润要高于45.00的看跌期权。

期权B：(40.78 37.80)/1.72 = 1.73
期权C：(41.54 37.80)/3.46 = 1.08

42.50的看跌期权的绝对值delta(=0.5385)低于45.0的看跌期权(delta =0.7762)，但gamma更多。如果Relais公司的股票在期权有效期内跌至37.80欧元/股，42.50的看跌期权头寸将受益于比45.0的看跌期权头寸(gamma = 0.0346)更大的gamma(= 0.0460)。
因此，McLaire以1.72欧元的价格购买了100,000个42.5的看跌期权，总成本为172000。
如果Relais公司即将宣布的盈利低于市场预期，股票可能会下跌，从而增加长期看跌价值，部分抵消股票的损失。如果收益符合市场预期，那么看跌期权可能会以接近其买入价格的价格出售。如果收益好于预期，股票价格上涨，那么看跌期权的价值就会下降。McLaire将不再需要保险，他将出售看跌头寸，从而收回部分购买价格。
情形B：一周后，就在Relais公司发布财报之后
McLaire持有10万看跌期权，行权价为42.50欧元。期权购买已经过去了7天;Relais刚刚公布了它的收益，结果出乎意料地好。收益超过了普遍预期，消息公布后，股价立即上涨5%，至44.10欧元。下表显示了股票价格上涨至44.10欧元(隐含波动率不变)后，期权在公告当日的价格。
                           期权A    期权B    期权C
行权价                      40.00 42.50 45.00
价格                         0.15    0.66 1.85
Delta                         0.0923 0.3000 0.5916
Gamma                         0.0218    0.0460 0.0514
价格变化                      90%    62%    47%
价格变动导致10万看跌期权的损失 130,000 106,000  161,000问：讨论该策略的进展情况和McLaire应该如何继续，假设收益超过普遍预期，Relais的股价上涨5%至44.10欧元。
答：McLaire发起的42.50的期权还有23天到期。价格从1.72欧元下降到0.66欧元(- 62%)，总损失为10.6万欧元(=[1.72 -0.66]× 10万欧元)。这比McLaire购买其他期权所遭受的损失要少。同时，本基金持有的10万股Relais股票的价值增加了21万欧元(=(44.10 - 42.00美元)× 10万美元)。现在盈利公告已经发布，McLaire不再需要看跌期权的保护，所以他应该出售它们，从最初的17.2万欧元看跌期权购买价中收回6.6万欧元。
更多参考

Mr Figurant：FRM1级：C08 期权市场
John Hull 期权期货及其他衍生产品-学习资料链接汇总

Latex附录：
\begin{align*}
\begin{split}
V_T = \left \{
\begin{array}{ll}
0, & S_T ≤ X_L\\
S_T - X_L,& X_L < S_T < X_H\\
X_H - X_L, & S_T ≥ X_H
\end{array}
\right.
\end{split}
\end{align*}（完）
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