6.8第二次更新:从一个很漂亮的解法找到了![]() 的可能的理由,具体解法来自数海漫游,由于不允许转载,因此请移步公众号查看解法.下面仅引用结论.
首先根据之前的分析,令![]() ,可以将命题转化为
![]()
现在令![]() ,得到
![]()
引用该解法的结论,首先给出
![]()
这一步是比较大胆的,这也是导致![]() 而不是![]() 的根源.之后化为要证
![]()
再大胆地求导
![]()
因此
![]()
当![]() 时
![]()
因此取![]() ,可以验证
![]()
成立,因此
![]()
之后可能看![]() 不太好看所以放成了最接近的整数![]() ,从而变成了原题的样子.
6.8第一次更新:今天再看了看发现了一个神奇的现象
先抄一部分过程.当![]() 时,![]() ,因此只需证
![]()
即证
![]()
令
![]()
要证![]() .如果令![]() ,那么这个函数可以化简为
![]()
要考察![]() 在![]() 附近的行为,可以进行Taylor展开.
设![]() ,如果![]() ,那么它的一阶导和二阶导均为零
![]()
因此
![]()
假设![]() 具有如下Laurent展开形式,然后只取![]() 幂次
![]()
这里要求![]() ,得到
![]()
再考察![]() 在![]() 附近的行为,可以进行Laurent展开
![]()
那么可以取![]() 使![]() 次项为零,再考虑到![]() ,那么![]() ,因此可以设
![]()
可以验证此时![]() 在![]() 上单调递减,因此![]() 成立.
理论上按照这种思考方式取![]() 是最佳的,但题目中取了![]() .
再看另一边.当![]() 时,![]() ,因此只需证
![]()
即证
![]()
令
![]()
要证![]() .如果令![]() ,那么这个函数可以化简为
![]()
可以看出表达式与![]() 相似,具体来说
![]()
同样地,利用![]() 中的结论,可以验证![]() .
因此仍然有
![]()
同样假设![]() 具有如下Laurent展开形式,然后只取![]() 幂次
![]()
这里要求![]() ,得到
![]()
而此时![]() 在![]() 有零点,在![]() 附近![]() ,因此不必考虑![]() 在![]() 附近的行为.
可以令![]() ,再考虑到![]() ,那么![]() ,因此可以设
![]()
可以验证此时![]() 在![]() 时单调递增,因此![]() 成立.
理论上按照这种思考方式取![]() 是最佳的,但题目中取了![]() .
如果按照以上思路命题,那么原题可以加强为
![]()
可能命题老师觉得这既不漂亮也不简单吧.
6.7原答案:试着做了一道题
![]()
(1)
![]()
当![]() 时,![]() 单调递减.当![]() 时,![]() 单调递增.
(2)(i)考虑![]() 的切线方程
![]()
令
![]()
当![]() 时,![]() 单调递增.当![]() 时,![]() 单调递减.当![]() 时,![]() 单调递增.
因此
![]()
计算得
![]()
因此
![]()
又因为
![]()
因此
![]()
(2)(ii)由当![]() 时,![]() 单调递增.当![]() 时,![]() 单调递减.当![]() 时,![]() 单调递增.
因此![]() ,且![]() 均随![]() 单调递增,因此只需考虑极限情况.
当![]() 时,![]() ,因此只需证
![]()
即证
![]()
令
![]()
经过离谱的求导得到
![]()
因此当![]() 时![]() 单调递减,因此
![]()
成立
当![]() 时,![]() ,因此只需证
![]()
即证
![]()
这里要求![]() ,因此有
![]()
令
![]()
经过离谱的求导得到
![]()
因此当![]() 时![]() 单调递增,因此
![]()
成立
综上,不等式成立.
最后,如果这题真的只能这么做且不是高考题,那么我会认为这是钓鱼题.
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