【高频交易】Adverse Selection and Liquidity Provision

前一篇文章我们介绍了关于限价订单簿的建模，在那篇文章里，我们通过假设市场的行为是由某些随机过程控制的（零智能假设），在此基础上建立数学模型，就可以在一定程度上帮助我们理解市场的某些性质。虽然这类随机模型确实在一定程度上刻画了市场的dynamic，但是我们知道实际的市场并不是完全随机的，其中也会有理性的交易者，他们的行为往往是根据他们各自的交易策略（strategy）来决定的，而这种情况就超出了之前零智能假设的研究范畴，因此这篇文章我们将进一步拓展，通过一些模型由浅到深地介绍如何建模分析一个由智能的、理性的交易者所组成的市场。本文主要内容来自来自《Trades, Quotes and Prices: Financial Markets Under the Microscope》的Part VII。
The Kyle Model

在金融市场中，我们知道内幕消息（private information）是非常重要的，如果能够赶在别人之前知道股票在未来的变化趋势，那么就能利用信息优势获得利润，那么对于一个有内幕消息的知情交易者（informed trader）来说，他能获得的收益是多少？该消息又会对市场产生多大的影响？对于这些问题，本节我们将介绍一个经典的模型——Kyle model，该模型通过一些理想化的假设，可以帮助我们在一定程度上分析这些问题。
模型设定

在Kyle模型中，我们假设市场中有下面三类交易者：

知情交易者（Alice）：提前获得内幕消息的交易者，我们假设在t=0时，Alice就提前知道t=1时的股票价格为，该信息只有Alice知晓，为了最大化收益，她可以选择方向为、数量为Q的股票。
噪声交易者：不知道内幕消息的交易者，他们在市场上随机地交易股票，其产生的订单总量为。
做市商（Bob）：为市场提供流动性的交易者，其他交易者发出的订单都是与Bob成交，则Bob收到的订单总量为，成交价格为（由Bob决定）。

现在来分析Alice和Bob的行为，我们假设他们都是理性的，即所追求的目标都是利润最大化，如下所示：

对于Alice来说，她在t=0时以的价格交易了的股票，在t=1时股票价格变为，因此她的利润为，她通过选择来使其利润最大化。
对于Bob来说，成交价格由他对于股票在t=1时的预期价格决定，可以表示为，即Bob会根据他已有的信息、以及交易者发出的订单总量，来估计股票在t=1时的价格，并将估计值作为挂单价格（以买单为例，Bob的最优选择是将自己对未来的估计价格作为成交价格，若成交价格高于估计价格则会损失利润，若低于估计价格则其他做市商会以抢在Bob之前成交）。

现在更进一步，我们认为Alice和Bob也知道对方都是理性的，那么

对于Alice来说，她的利润取决于Bob选择的成交价格，而她也知道Bob是根据订单总量来决定的，因此Alice的交易量Q就会影响，从而影响最终的利润。
对于Bob来说，他知道Alice是知情交易者且她的目标是利润最大化，但他不知道Alice的订单量和方向，他只知道订单总量，因此他想要估计未来价格，就需要从有限的信息中，估计出Alice所掌握的内幕消息。

为了后面的讨论，在这里我们假设噪声交易者所产生的订单总量服从均值为0、标准差为的高斯分布，而价格变化也服从均值为0、方差为的高斯分布。
线性模型

我们假设Bob的成交价格由一个简单的线性定价模型 来决定，其中系数称为Kyle&#39;s lambda。那么我们则可以写出Alice的目标函数：

由于噪声交易者的订单总量均值为0，则有，那么该目标函数就是一个二次优化问题，其最优解为。该结果告诉我们，Alice的交易量应该与价格差成正比。
对于Bob来说，他知道理性的Alice将会按照上面的策略进行交易，因此Bob就可以通过对进行估计，来反推出未来的价格 ，具体来说就是给定，得到关于的概率分布。根据贝叶斯定理，则有

因此Bob推断出的同样服从一个高斯分布，可以求得其期望值为

Bob估计出Alice的交易量后，就可以通过Alice的最优策略（），反推出未来价格（），并以此作为成交价格，即

注意到我们在最初的设定中Bob是根据线性函数进行定价的，该式应该与上式等价，因此Kyle&#39;s lambda满足等式，求解可得。这样我们就得到了Bob在已知信息条件下，所应该采取的最优定价策略。可以发现，当股票价格波动越大（越大）、噪声交易者的交易量越小（）时，做市商Bob在定价时就对订单量越敏感（越大）。
得到了Bob的定价策略后，那么可以计算出Alice最终收益如下：
Alice最终的利润与股票价格和噪声交易量的波动大小成正比。可以发现，在Kyle model中，即使是掌握内幕消息的知情交易者，但是由于其订单会影响成交价格，也只能获得有限的利润。
总结

虽然Kyle model的设定很简单，但是却可以在一定程度上反映出市场的某些特性，这里简单总结一下：

交易量会影响价格：在模型设定中，理性的做市商会基于订单总量来猜测知情交易者的订单量，从而估计出未来价格并将其作为成交价格。
价格影响与噪声交易的量成反比：市场中的噪声交易越大，则知情交易者对于市场价格的影响也就越小。
知情交易者的利润有限：由于存在价格影响，因此知情交易者的交易量不能任意大，其利润是有限的。

The Glosten–Milgrom Model

上面讨论的 Kyle model 虽然能够反映出市场的一些性质，但是它的一些假设还是与实际市场之间存在出入，比如Kyle model 忽略了买卖价差，而且假设做市商是先收到交易者的订单，再根据订单量决定成交价格，而这些并不符合实际的情况。我们知道，实际市场是先由做市商发出买卖挂单，然后交易者再与做市商交易的。做市商通过提供流动性（挂单）而获得买卖价格之间的利润，但是这样做其实是有一定风险的，因为交易者都是在觉得有利可图时才会做交易，那作为交易对手方的做市商，就需要承担价格朝自己不利的方向运动的风险，即逆向选择风险 adverse selection risk。
因此，做市商需要仔细权衡买卖价差的大小：若价差过小，则做市商所暴露的风险过大；若价差过大，将没有交易者愿意交易，做市商也就没有了利润。接下来介绍的Glosten–Milgrom model 研究的就是这一问题。
模型设定

类似于前面的Kyle model，这里我们假设一些交易者是知情的，而其他的交易者则对于未来毫不知情，仍假设市场中有一个做市商Bob，他所挂出的买单价格是b，卖单价格是a，这两个价格是Bob按照自己的预期决定的——例如若有交易者以a价格买入（Bob卖出），则Bob对于未来的预期价格就应该是a（在实际中，Bob为了盈利可能会稍微把卖单价格再调高一点，但是这里认为市场是完全竞争的，若Bob的卖单价格较高，则会有其它做市商以更低的价格抢走订单），卖出同理。
具体来说，假设市场中有一群交易者（liquidity takers），每个交易者对于股票的未来价格都有各自的估计，其中知情交易者的是与未来价格呈正相关的，而不知情的噪声交易者的是与独立的。由于理性交易者的假设，只有当交易者Bob挂的买/卖单价格有利润空间时，交易者才会主动交易。
在这个框架下，根据上面的假设。Bob的买/卖单价格应该等于自己的预期，则有

上式的含义是：在有交易者愿意以a价格买入的条件下（即交易者的预期价格），Bob对于未来价格的估计为a，卖出同理。注意这里计算的是条件概率期望，因为只有在交易发生的情况下，Bob才会面临adverse selection risk，这时他需要保证自己预期的价格等于交易价格。当然这里Bob并不知道未来价格的准确值，否则他的买卖价格会被定为。
根据贝叶斯法则，有

其中是Bob在t=0时刻对于估计的先验分布，这里令其为，是股票价格的波动率。
我们现在计算和，对于Bob来说，他知道市场上有知情和噪声两种交易者，因此交易者预期价格的概率分布为

其中是知情交易者的比例，是一个对称的分布函数，这里令其为，其中表示噪声交易者预期价格的波动；是在0处无穷大的分布函数。可以看出，噪声交易者的预期价格是围绕在当前价格的，与未来价格无关；而知情交易者的预期价格则精确地等于未来价格。
有了概率分布之后，我们就可以计算和，然后代入到上面的贝叶斯公式中，求解等式可以得到a和b的值为：

其中价差s满足等式，下面讨论价差s在一些特殊情况下的解。
An Orderly Market

若噪声交易者预期价格的离散度大于价格波动率，即，则s具有唯一解；我们令知情交易者的比例，则s有近似解

该式表明Bob应该让价差s正比于知情交易者比例与价格波动率的乘积，由于，因此Bob的挂单很容易与噪声交易者成交。
上式还可以帮助我们估计市场中知情交易者的比例，一般而言，我们认为股价的波动率与时间跨度的平方根成正比，因此为了保证价差s是有限的，那么知情交易者的比例就应该随着时间跨度的增加，按照递减，即越大的时间跨度，对应的内幕消息越少。
Market Breakdown

若噪声交易者预期价格的离散度小于价格波动率，即，价差s与w和关系如下图所示：

从图中可以看出，当时（是一个阈值），价差s存在两个解，由于在模型设定中做市商之间是充分竞争的，因此Bob会选择较小的s作为自己的价差。
值得注意的是的情况，在该条件下，价差s无解，也就是说Bob无论怎么选择价差，都无法避免预期损失，因此只能放弃挂单。出现这种情况是因为当噪声交易者的交易量很小（因为w很小）时，Bob无法从他们那里获得足够的利润，来补偿知情交易者导致的逆向选择损失，因此无法实现收支平衡，导致市场崩溃。该结果告诉我们，在Glosten–Milgrom 模型中噪声交易的存在对于维护市场稳定是非常重要的。
The MRR Model

之前我们考虑都是一步决策的情况，即交易者和做市商都针对于未来某一个时刻的估计价格进行决策的，并不关心期间价格是怎么被影响的。然而在实际情况中，价格都是随着时间进行演化的，市场上的订单以及一些其它消息随时都会影响到价格。因此，我们下面将介绍Madhavan–Richardson–Roomans (MRR) model，它将价格序列看做一个随时间演化的鞅过程（martingale），并以此为基础对市场进行建模。
Martingale Evolution

在MRR model中，令表示t时刻的股票价格，我们假定该价格dynamic是一个鞅过程，根据鞅过程的性质有，即在时刻对于未来价格的估计等于当前价格。其dynamic满足如下形式

其中是交易的information content，这里认为是一个常数；指的是第t个订单的方向（取值），为在t-1时刻对于的估计值，即；是一个噪声项。可以看出，是真实订单方向与预期订单方向的差别，称作sign surprise，它乘以则表示对于价格的影响，需要注意的是，这里的t并不代表真实时间，而是订单的计数，因此表示第t个订单到达前后的价格变化。
类似于上一节的思路，Bob的卖单价格应该等于：已知下一刻有交易者买入（即下一个订单的方向是）后Bob对于t+1价格的估计，买单价格同理，则其公式如下：

这样我们就得到了Bob应该给出的买卖单价格，其买卖价差为
波动率与价差的关系

接下里我们讨论在 MRR 模型中，股票价格波动率与买卖价差的关系。首先根据上面的结果，股票的中间价（mid-price）可以表示为，利用上面的dynamic，中间价的dynamic可以写做，则有

因此，中间价的长期波动率（long-term volatility）为

其中是lag-1 sign correlation，即相邻两个订单方向的相关性；是噪声项的方差。这里代表的是平均每次交易的波动率，若令代表单位时间内的交易次数，则单位时间内的波动率为。
现在我们从特斯拉（TSLA）的股票数据中观察波动率和买卖价差之间的关系，这里用来近似长期波动率，统计结果如下图所示，其中纵轴是波动率，横轴是买卖价差的平方，散点代表实际的数据分布，其中点状线是对数据做线性回归的结果（由于采用了对数坐标轴，因此不是直线，线性回归的表达式为），虚线是通过估计MRR的模型参数（这里只估计了，认为，表达式为）后，预测的波动率结果。从图中可以发现，散点中有一部分是非常明显的离群点，这部分点与MRR模型的预测结果差别较大，这里我们认为它们可能是由于噪声项所导致的。

下图是从120支股票的统计结果，其中横轴为，可以发现实证数据的统计结果与MRR模型的理论结果符合的很好。

The Profitability of Market-Making

在上面介绍的模型中，我们都假设做市商给出的成交价格是没有预期利润的，但是在实际市场中，做市商肯定是为了盈利才会愿意提供流动性，因此下面我们就讨论做市商Bob能够盈利的条件。
假设在t时刻（这里的t是以订单计数的），Bob以为价格的卖单（或以为价格的买单）成交，其成交量为。若按照T时刻的市场中间价作为基准，则Bob在t时刻的利润为：

考虑到Bob在交易时可能会有返利（或费用），这里引入常数，大于0代表返利，小于0代表手续费。另外由于Bob在t时刻的挂单不一定能保证成交，因此这里引入execution indicator ，当Bob的挂单完全成交时为1，若没成交为0，则Bob从0到T的预期总利润为：

这里我们认为与价格与价差相互独立，在那么当T非常大时，则有：

其中代表t时刻订单的交易方向对于未来价格变化的影响，即订单对价格的长期影响。
虽然上面的式子对Bob在的预期利润做了估计，但是却忽略了做市商在实际中需要注意的库存风险（inventory risk），即股票的单边仓位不能太大，否则就会面临很大的风险（比如说在一段下跌行情中，若没有库存约束，做市商可能会买入大量的股票，最后承担价格下跌的风险），为了规避这样的风险，Bob在交易时需要加入库存约束条件，所以我们在分析做市商利润时也要考虑到这一点。
设t时刻Bob的库存是，则有那么Bob的预期总利润可以写为（这里忽略返利）：

这里做如下库存约束：若t-1时刻Bob的库存是，那么t时刻Bob在买卖两个方向上的挂单量为

其中用来调节库存以防止单边仓位过大，如下图所示：

我们考虑如下理想情况：假设Bob的挂单非常小且始终排在限价订单簿的最前面，这样等于1（即只要有交易者发出订单，Bob的挂单就一定能够成交），则有，将其代入预期利润表达式，并做一些近似处理后，可以得到Bob在库存约束下的预期利润（由于推导过程较复杂，这里不再过多介绍，感兴趣的同学可以看原书的17.2.1节），预期利润表达式如下所示

其中，下面我们来看它在一些特定库存约束条件下的形式。
1.Slow market-making
当时，Bob不再注重库存约束，这时预期利润的形式退化为无库存约束的情况，即

可以看出，Bob能否盈利取决于与的大小关系，若订单方向对于价格有较大的正向影响（例如市价买单导致价格上涨），则Bob就会面临亏损；若订单方向对于价格的正向影响较小或者是负影响，则Bob可以通过做市产生例如利润。
2.Fast market-making
当时，Bob在挂单时要面临很强的库存约束（每次挂单只会挂与上一次成交相反的方向，保证买和卖交替成交），这时预期利润为

由于代表的是相邻两个订单方向的相关性，通常来说是接近于1的，而则代表订单对于价格的短期影响，因此只有当价差s较大、且订单短期影响较小时（或为负影响），Bob才有盈利的可能。
最后我们来看一些实证数据上结果，我们可以从股票数据中估计价差s、和这些参数，然后用上面的式子计算出做市商的理论预期收益，如下图所示。可以看出，在忽略返利的情况下，我们的做市商模型理论上很难在市场中盈利。

总结

本文我们介绍了如何对一个由理性交易者和做市商所组成的市场进行建模。首先我们介绍了Kyle模型，该模型假设存在做市商以及知情交易者和噪声交易者，他们基于自身所掌握的信息、以最大化自身收益为目标进行理性决策，最终可以达成一个均衡的市场价格；其次我们介绍了Glosten–Milgrom模型，它进一步考虑了买卖价差以及做市商所面临的的逆向选择问题，并且能够分析一些如市场崩溃等极端情况出现的条件；接着我们介绍了MRR模型，它将价格看做为一个随时间演化的鞅过程，并建模了波动率与价差之间的关系，其结果与实证统计结果也比较相符；最后我们抛开了上述模型要求做市商没有预期收益的假设，计算了在库存约束下做市商的理论预期利润。通过这些模型，我们可以在一定程度上去分析一个存在理性交易者的市场的状态及其演化规律。