波动越大，赚钱越易——高频做市商模型角度

前前段时间，机构量化工作交流群里对知乎问题”趋势跟踪策略=做多波动率?“进行了讨论，优秀的数学专业的小朋友以及来自顶级券商、私募等机构的研究员都对这个问题发表了精彩的观点。
这篇文章从一个简单的高频做市商模型的角度去说明波动率越大越好（尽可能减少数学符号和推导）。同时也给这个纯公益的交流群打个广告（详见文末）。
模型背景

（1）市场存在一个资产，资产的真实价值服从正态分布，N( , )，1、2阶矩都是外生变量。
（2）存在3类参与者：做市商、噪声交易者、以及知情交易者（可以把它理解为量化交易者，通过各种模型获得了比噪声交易者更大的）。
（3）只有知情交易者能够知道资产的确切价值v，知情交易者（insider)会根据自己的信息，给做市商报出买卖量，可正可负，目的是最大化交易利润；噪声交易者的买卖量只是一个随机的正态分布~N(0, )，可正可负；做市商综合市场总的报单量，决定市场的出清价格（成交价格）。
（4）有几个很重要的点：这是个单期模型；做市商并不能区分哪个是噪声交易者哪个是知情交易者，只知道总的报单量；做市商的定价策略为 ,且为了简单化，假设做市商没有利润做大化的需求，纯粹为了提供流动性，自己不亏钱就行（后面会详细说明是什么含义），是中性的；insider知道做市商的定价策略，但是无法对其做出影响；insider不知道噪声交易者的报单量，必须提前报出自己的量，然后等做市商综合定价。
Ok，模型阐述完毕，so easy。
解决问题

先抛出结论：假定做市商的定价策略是线性的（市场总报单量的线性函数），那么，能得到一个唯一的均衡解，在这个均衡里，insider的报量策略也是线性的（相对价值的线性函数）。
1、假设做市商定价策略为，y是市场总的报单量（insider+噪声）。
2、insider目标是最大化自己的利润，是个条件期望（条件是知道资产真实价格v)，显然

这是个二次函数，用初中知识就能求最优解，正如之前所说，insider的报量策略也是线性的：

3、接下来，如何求解这些参数呢，就不得不搬出我一开始淡化了的严谨的均衡条件的数学表达了：

我们看第二个条件（2.2），意思是做市商的定价策略，必须是它已观察到的市场买卖量的条件期望，这就是模型背景第四点里面提到的做市商没有最大化利润的需求的意思，是个中性的做市商。
那么对2.2进行改写，就得到：

是不是很眼熟，把它看成一个回归，所有参数都可以解出来了。截距项也可以直接2边取期望结合条件期望公式更快解出。都是基础的计量经济学知识就不展开了，后面直接谈最重要的结论。
结论

结合我们文章的题目，最核心的结论就是：
1、insider的无条件期望收益为：

也就是说，insider（前面说到，可以是有模型的量化交易者、也可以是基本面研究的主观交易者）的收益正比于市场波动和噪声交易者的交易量（波动），直观来看，就得到文章题目的结论，波动越大，赚钱越易，另外一个结论涉及噪声交易者，另外一个结论，懂的都懂。
2、当v已知，再去看insider的收益的条件期望= ,其中，。
反而得到了资产波动越高，insider收益越低。
区别在于：
1、无条件期望可以看成是在时间维度上多次的买卖，那么资产波动越高，价格越容易偏离价值，insider的私有信息价值越高，更容易赚到钱。
2、但是当v已知，资产的高波动反而让做市商的定价策略更偏保守（防止逆向选择），从而减少了insider的获利能力。

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[1] Kyle A S . Continuous Auctions and Insider Trading[J]. Econometrica, 1985, 53(6):1315-1335.