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赫尔《期权、期货及其他衍生产品》笔记

第32章 HJM，LMM模型以及多种零息曲线

建立期限结构模型的方法，这些方法可以使得用户灵活地定义波动率环境，并且在模型中使用多个因子。
32.1 Heath，Jarrow和Morton模型

一种收益率曲线模型必须满足的无套利条件。我们使用如下记号：

：本金为1美元，在时间T到期的零息债券在时间t时的价格。

：该向量是用来确定时间t时与波动率相关的过去和现在的利率与债券价格。

：的波动率。

：在时间t观察的用于时间与时间之间的远期利率。

：在时间t观察的适用于时间T到期合约的瞬时远期利率。

：时间t的短期无风险利率。

：驱动期限结构移动的维纳过程。
32.1.1 零息债券价格和远期利率过程

我们首先假设只有一个因子，并且采用传统风险中性世界来进行分析。由于零息债券是一个不提供收入的可交易债券，在传统风险中性世界里，它的收益率为r。这意味着描述零息债券的随机过程有如下形式

如变元所示，在模型的最一般形式下，零息债券的波动率可以是过去和现在利率与债券价格的函数（只要函数具有某些性质）。由于债券价格波动率在到期日下降为0，我们不惜有

远期利率与债券价格满足以下关系式

由伊藤引理得出

和

因此

说明，f的风险中性过程只依赖于v，它对于r和p的依赖性仅仅是因为v本身依赖于这些变量。
令和，然后取趋于0时的极限，这时变为，的系数为，而的系数变为

其中v的下标表示偏导数，于是

一旦给出了函数，的风险中性过程即为已知。
上式说明在瞬时远期利率的漂移率与标准差之间存在一种关系，这一点正是HJM模型的关键所在。从到对进行积分，我们得出

因为，以上方程变为

如果和分别为的瞬时漂移率和标准差，满足

得出

这就是HJM的结果。
在一般的HJM模型下，短期利率r的过程为非马尔科夫过程。这说明r在将来时刻t的分布既依赖于r在时间t的值，也依赖于r在现在与时间t之间的路径。这一点正是在实现一般HJM模型时的困难所在，所以不得不采用蒙特卡罗模拟法。利用树形结构时会有很多问题，因为当我们利用树形结构来表示期限结构移动时，树形的分叉呈不重合的形状。
HJM貌似简单，其实却非常复杂。在大多数应用中某个特定的远期利率是马尔科夫过程，并且我们可以用一个重合树形来描述，但这一树形却不能用于所有的远期利率。如果取为常数，我们将会得到Ho-Lee模型。当取时，我们将会得到Hull-White模型。这些都是HJM模型为马尔科夫过程的例子，而且在这些例子中短期率r与所有远期利率均可由同一个树形来表示。
32.1.2 延伸到多因子模型

HJM的结果可以被推广到存在多个相互独立因子的情形。假设

利用与前面类似的分析，我们可以得出

32.2 LIBOR市场模型

HJM模型的一个缺陷是它由瞬时远期利率来表示的，而这些利率并不能直接在市场上观察到。另一个缺陷是很难利用在市场上交易活跃的产品来校正模型。LIBOR市场模型（LIBOR Market Model，LMM），或BGM模型（BGM Model），该模型是针对交易员使用的远期利率而建立的。
32.2.1 模型

定义，并设为目前在市场上交易的上限重置时间。在美国，最流行的上限是按季度重置的，因此，等等。定义，以及

：时间t所观察的在时间与时间之间时间段复利的远期利率，这里以“实际天数/实际天数”（actual/actual）计天惯例来表示；

：对应于时间t的下一个重置日，这意味着是使得的最小整数；

：在时间t的波动率。
我们首先假设只有一个因子。在一个对为远期风险中性的世界里，是一个鞅，并且服从以下过程

其中为维纳过程。
债券价格的过程具有如下形式

因为债券价格与利率之间有负相关性，为负值。
在实际中，给利率期权定价最方便的方式是考虑对某个债券为远期风险中性的世界，这个债券总是等于在下一个重置日到期的零息债券。我们将这个世界称为滚延远期风险中性世界（rolling forward risk-neutral word）。在这个世界里，我们对时间到之间的贴现是利用在所观察到的以为期限的零息利率。在定价过程中，我们不需要考虑在时间与之间的利率会如何变化。
在时间t，滚延远期风险中性世界是关于债券价格为远期风险中性的。所遵循的过程是处在对为远期风险中性的世界里。在滚延远期风险中性世界里所遵循的过程为

远期利率与债券价格之间的关系式为

或

利用伊藤引理，我们可以计算以上方程左端和右端所服从的过程，然后比较的系数得出

因此可以得出，在滚延远期风险中性世界里的过程为

HJM结果是以上表达式当趋向于零时的极限情形。
32.2.2 远期利率波动率

我们现在将模型进行简化，假设仅是介于t之后的第一个重置日与时间之间完整累积区间数目的函数，当其中有i个这样的区间时，定义为的值，因此是一个阶梯函数。
这些参数（至少在理论上）可以由布莱克模型里对于上限单元定价的波动率来进行估计（也就是即时波动率）。假设为对应于时间到之间区间上限单元的布莱克波动率。比较方差项，我们可以得出

我们可以利用以上方程以递推的形式求得所有的。
32.2.3 模型的实现

LIBOR市场模型可以用蒙特卡罗模拟来实现。以表达

利用伊藤引理

作为近似，在计算的漂移项时，我们假定对于$t_j
其中是均值为0、标准差为1的正态分布随机样本。在蒙特卡罗模拟中，这个方程可以用来由在时间0的远期利率来计算的远期利率，然后再用来计算的远期利率，等等。
32.2.4 多因子情形下的推广

LIBOR模型可以被推广到包含多个因子的情形。假设共有p个因子，表示的波动率中来源于第q个因子的部分。可以表达为

当从下一个重置日到远期合约到期日之间总共有i个累计区间时，定义为波动率中的第q个部分，变为

其中是均值为0、标准差为1的正态分布随机样本。
当假设远期利率的漂移率在每个累计区间上为常数时，在进行模拟中我们可以从一个重置日跳到下一个重置日。这是一个很方便的假设，因为我们已经提到过，滚延远期风险中性世界使得我们可以从一个重置日贴现到下一个重置日。假设我们想模拟一条具有N个累计区间的零息曲线，在每次实验中，我们从时间0的远期利率开始，这些是由初始零息曲线计算出的利率。利用上式可以计算出，然后再利用上式可以计算出，依次类推，直到最后得出。注意，随着时间的推移，零息曲线变得越来越短。
我们可以利用上式计算上限单元价格，并将得出的价格与布莱克模型价格进行比较，这样可以检验对漂移相反所做假设（即对$t_j
32.2.5 跳动上限、黏性上限和灵活上限

跳动上限（ratchet cap）的上限率等于上一个重置日的LIBOR利率加上一个利差，黏性上限（sticky cap）的利率等于前一阶段被封顶后的上限率加上一个利差。假设在时间的上限为，在时间的LIBOR利率为，利差为s。在跳动上限里，而在黏性上限里。
灵活上限（flexi cap），它与普通上限一样，但对可以被行使的上限单元的总数却有限制。
基本类型的上限价格值依赖于总波动率，而与因子的数目无关。这是由于基本类型的上限单元只依赖于一个远期利率的变化。我们所考虑的非标准产品的价格却与此不同，因为它们依赖于多个不同远期利率的联合分布。因此，这些非标准产品的价格确实依赖于因子的个数。
32.2.6 欧式互换期权定价

假设我们以LIBOR进行贴现。令为互换期权的期限，假设互换的支付日期为。定义。得出在时间t的互换利率为

对于，以下公式同样正确

其中是时间t观察的与之间的远期利率。以上两个方程定义了与之间的关系。利用伊藤引理，互换利率V(t)$由下式给出

其中

其中为波动率的第q个部分。对所有的j和t，我们假定，并以此来计算的近似值。在标准市场模型中用来对互换期权定价的互换波动率为

或

在互换期权中标的互换合约的累计区间长度与上限单元累计区间长度一致的情形下，是期限为的上限远期波动率的第q个部分，这可以从表中查到。
在欧式互换期权经纪人报价中，互换期权累计区间并不总是与经纪人所报的上限和下限的累计区间一致。幸运的是，欧式互换期权的定价结果可以被推广到当每个互换累计区间都包含M个可以为典型上限累计区间的情形。定义为第j个累计区间中的第m个时间区间，于是

定义为在时间t所观察的在累计区间上的远期利率，由于

通过修改推导式的分析过程，我们可以使的波动率由（而不是）的波动率来表示。可以证明，在对互换期权定价时，代入标准市场模型中的互换波动率为

其中为波动率的第q个部分，这是期限为从t到互换累计区间中的第m个小区间开始时刻的上限远期利率的波动率。
互换波动率表达式涉及所做的近似和。Hull和White对由上式计算出的欧式互换期权价格与蒙特卡罗模拟所得的价格做了比较，他们发现这两个价格非常接近。一旦LIBOR市场模型经过校正后，上式就可以提供一种计算欧式互换期权的快捷方法。分析人员由此可以确定相对于上限，欧式互换期权的价值是否太高或太低。我们在下面将会看到，分析人员也可以采用这些结果而以互换期权市场价格来校正模型。以上分析亦可推广到OIS贴现。
32.2.7 模型校正

参数是在时间t所观察的与之间的远期利率波动率，其中在t与之间共有j个完整累计区间。为了校正LIBOR市场模型，我们必须确定，并且确定如何间其分配到上。这些参数通常是由当前市场数据来确定的，但如何分配到上则是基于历史数据。
首先考虑如何由值来确定值。我们可以将主成分分析法用在远期率数据上，并由此确定将分配到的方式。主成分分析法模型为

其中M为因子的总个数（等于不同远期利率的个数），为第j个远期利率的变化，为第j个远期利率和第q个因子的因子载荷，为第q个因子的因子得分。定义为第q个因子得分的标准差。如果在LIBOR市场模型中所用的因子个数p等于因子综述M，那么对于，我们可以设

当$p
我们可以取

通常使用的矫正方法是与单因子模型相似。假设是第i个矫正产品（一般是上限或欧式互换期权）的市场价格，为模型价格。我们选取使得下式达到最小的值

其中P是一个惩罚函数，选择函数的标准是通常使取值“表现良好”。函数P可以取成以下形式

当一些校正产品为欧式互换期权时，我们可利用Levenberg Marquardt程序来求最小值。
32.2.8 波动率偏态

经纪人对上限所报价格既包括非平值上限也包括平值上限。在某些市场里我们可以观察到波动率偏态的现象，也就是说，对上限或下限的波动率报价（布莱克波动率）是执行价格的递减函数，这一波动率特性可由CEV模型来处理，CEV模型表达式为

其中为常数（）。这种模型可以由于对数正态模型类似的方式处理。我们可以利用非中心分布对上限或下限产品由解析方法定价，对于上面讨论的欧式互换期权也存在某种解析估计式。
32.2.9 百慕大式互换期权

百慕大式互换期权（Bermudan swap option），这种互换期权行使时间可以是标的互换的某些支付日或所有支付日。利用LIBOR市场模型对百慕大式互换期权定价非常困难，这是因为LIBOR市场模型依赖于蒙特卡罗模拟，而使用蒙特卡罗模拟时对是否提前行使决策的判断非常困难。当存在许多因子时，Longstaff和Schwartz利用了最小二乘法的处理方式，他们假定在一个支付日上不被行使的期权价格为因子值的多项式函数。Andersen证明了在定价过程中，可以采用最优提前行使边界的处理方式。Andersen对不同形式的提前行使边界参数化形式进行了比较，并发现当假设提前行使边界只依赖于期权内在价值时，计算效果很好。对百慕大式互换期权定价时，大多数交易员使用单因子无套利模型。但是，使用单因子模型对百慕大式互换期权定价的精确性仍然是一个很有争议的问题。
32.3 对多种零息曲线的处理方法

在2007年开始的信用危机之前，在实际中大部分也确实是这样做的：对于许多衍生产品定价时计算收益与贴现因子所用的都是LIBOR/互换零息曲线。目前通常是利用OIS零息曲线作为无风险零息曲线进行贴现（至少对抵押产品定价时是这样做的）。这说明对于像互换、利率上/下限以及互换期权定价时，我们需要考虑多条利率曲线，原因是这些产品的收益都依赖于LIBOR利率，所以我们需要利用LIBOR零息曲线计算收益，而利用OIS零息曲线进行贴现。
如果我们同时对OIS零息曲线与LIBOR/互换零息曲线建立模型，并且假设银行可以无风险地按任何一条利率曲线所得利率进行借贷，那么不可避免地将在金融市场上存在套利机会：银行可以按OIS借款，然后按LIBOR利率贷给别人而锁定盈利。一种替代方法是建立能够解释信用风险与流动风险的模型，并以此模型解释OIS利率与LIBOR利率之间的区别，但不幸的是这种方法非常复杂，因此很难用在实际中。由于这些原因，许多从业人员决定在不明确地考虑违约风险与流动性风险的前提下对LIBOR利率与OIS利率分别建模，并且忽略了由于使用多条零息曲线所产生的套利机会。
我们可以认为只有一条LIBOR曲线。假设知道了LIBOR的短期利率，那么整条LIBOR零息曲线即为已知。在金融危机之前，这种假设比较合理。在金融危机之后，从业人员常常从依赖1个月、3个月、6个月以及12个月LIBOR利率的产品分别计算零息曲线，而且这些曲线并不相同。这说明交易LIBOR的衍生产品从业人员同时使用了至少5条零息曲线。
从原理上讲可以直接了当地对OIS零息曲线建立模型：可以利用短期利率模型，或者利用HLM/LMM方法（“LIBOR市场模型”成为“OIS市场模型”）。我们解释过以OIS贴现所计算的远期LIBOR利率与以LIBOR贴现所计算的远期LIBOR利率是不同的。这一点非常重要，却在实际应用中往往被忽视。定义为在时间t介于与之间以LIBOR贴现的远期LIBOR利率，而为相应以OIS贴现的远期利率。从LIBOR-对固定利率互换报价中以息票剥离法的方式计算和。定义为时间t、期限为T并以LIBOR贴现的零息债券价格，为相应以OIS利率贴现的价格。在关于为远期风险中性的世界里，是个鞅，因此等于在与之间LIBOR利率的期望值。以前对以LIBOR贴现的上限单元定价时，我们利用了这个结果。然而一般来讲，在对为风险中性的世界里，并不是个鞅。当考虑以OIS贴现时我们应当使用的是，而不是。这是因为在关于为风险中性的世界里，为鞅，因此等于在这个世界里介于与之间的LIBOR利率期望值。
我们曾经解释过，在对以OIS贴现的互换合约定价时，我们假设远期利率为所实现的利率，并且以OIS利率贴现。在对上限与上限单元定价时，我们可以利用定价公式。但是必须小心适当地定义变量。这些方程中的是，是这里的，通常由市场价格蕴含的波动率依赖于使用的是LIBOR利率还是OIS利率。
我们可以按类似的方式对以OIS贴现的互换期权定价。在利用定价公式时，我们定义

并且以利率（而不是利率）来计算远期互换利率。蕴含波动率仍然依赖于使用的贴现率是LIBOR还是OIS。
在对更复杂的产品定价时，常常需要同时建立LIBOR和OIS零息曲线的模型。一些研究人员认为这是可行的：一种做法先对两种曲线分别建立模型，不如假设LIBOR和OIS短期利率服从具有相关性的随机过程。这样做的缺点是有时OIS利率会高于LIBOR利率。一种比较好的做法是利用短期利率模型或HJM/LMM模型来刻画OIS利率，而LIBOR高于OIS的利差期限结构可以用非负的变量来描述，比如最简单的方法是假设利差扥估远期利差。对于随机利差模型，我们知道在关于为风险中性的世界里，远期LIBOR利率是鞅，同时远期OIS远期利率也是鞅，因此在这个世界里，利差（两者之差）也是个鞅。
描述远期利差时，我们可以使用含有一个或多个一因子的远期利率模型

其中为了简化记号，为时间t所观察介于与之间的远期利差，为这个利差波动率的第q个成分。计算利率服从过程的所有结果都可以用到利差上。
32.4 联邦机构住房抵押证券

联邦机构住房抵押证券（Agency mortgage-backed securities，联邦机构MBS）
联邦机构MBS与普通固定收入证券之间有着重要差别：MBS中的住房贷款具有提前偿付（prepayment）特权。
对MBS定价的关键是确定提前偿付函数（prepayment function），这个函数描述了在某个时刻t，房屋贷款提前偿付与时间t的利率曲线以及其他相关变量之间的函数关系。
许多类似的住房贷款放在一起时，大数定律（law of large number）会起作用，从而通过历史数据，我们可以比较精确地预测提前偿付的数量。提前偿付在利率很低时会更容易产生。这意味着投资者会要求联邦机构MBS比其他固定收入产品支付更高的利息以便补偿所承约的提前偿付期权。
32.4.1 分级偿还房产抵押贷款证券

分级偿还房产抵押贷款证券（collateralized mortgage obligations，CMO）将投资者分成不同的级别，并设定一套规则来决定如何将本金支付给不同级别的投资者。一个CMO构造了不同级别的证券，不同证券承担不同的提前偿还风险。
所有的本金支付既包括正常支付也包括提前支付。
这种结构的目的是产生不同类型的证券。对机构投资者而言，这种证券比那些简单的国寿证券更有吸引力。不同类型证券所对应的提前偿付风险取决于每一类证券的面值（par value）。
分级偿还房产抵押贷款证券的构造者还构造了许多比我们刚刚讨论的证券更加特殊的结构。
32.4.2 对联邦机构房产抵押贷款证券的定价

对联邦机构房产抵押贷款证券的定价一般是利用蒙特卡罗模拟的方式对国债利率变化建立模型。我们可以使用HJM或LIBOR市场模型。考虑在一次模拟实验中可能发生的情况，在每个月内，利用目前的收益率曲线以及收益率曲线变动的历史，我们可以计算预期的提前偿付数量。由这些提前偿付的数量可以确定MBS持有者的预期现金流，然后按国库券利率加上一定利差来将现金流贴现到时间零，从而得到一个联邦机构MBS价格的样本。MBS价值的估计值是由许多模拟实验所得样本而产生的平均值。
32.4.3 期权调整利差

除了计算房产抵押贷款证券以及其他含有隐含期权的债券价格外，交易员还常常喜欢计算所谓的期权调整利差（option-adjusted spread，OAS），它所指的是在考虑所有内含期权后，产品所提供的高于国库券收益率的利差。
在计算一个产品的OAS时，我们首先利用零息国库券曲线加上一个利差来对产品定价。我们将模型所给的产品价格与市场价格相比较，然后利用一系列的迭代来确定使得模型价格等于市场价格的利差。这个利差就是所求的OAS。

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