【高频交易】市价单的长期记忆性及对价格的影响

本文主要介绍市价单存在的交易方向长期记忆性质以及市价单对价格的影响，内容主要来自于《Trades, Quotes and Prices: Financial Markets Under the Microscope》第10和11章。
我们主要是从实验上观察出来一些规律，然后试图给出合理的解释，对于长期记忆性质，我们还会给出两种模型，并且将模型的理论结果和实验上的观察结果统一。
市价单交易方向的自相关函数

考察交易方向的长期记忆性质，可以看第个市价单的方向和之后的第个市价单的方向是否存在一定相关性，在时间序列分析里面，我们可以考察交易方向的自相关函数，如果自相关函数取值较大，则说明相关性较强，从而说明现在的交易方向可以用来预测未来的交易方向。
记为第个市价单的交易方向，代表买单，代表卖单，同时假设，那么的自相关函数为，在NASDAQ的几只股票上画出来自相关函数如下：

可以看到基本符合的power law形式，并且在相对比较大（比如为10，20）还有较强的相关性，这意味着未来的交易方向和现在的交易方向成较强正相关，从而可以用历史的交易方向预测未来。
进一步我们可以考虑不同下单量的市价单的交易方向的自相关性，比如计算的自相关函数，这里为第个市价单的下单量，但是由于的分布可能较为复杂，所以我们做如下简化：考虑将市价单根据它的下单量进行分类，记为，如果这个市价单交易成功会直接引起价格的变动，则记，否则记。对于的市价单来说，它的下单量一定不小于当前它对手方最优价位的挂单量，比如如果是一个买单，那么它一定得能把卖一全吃完才能引起价格变化。
在这样得设定下，我们可以考查不同下单量的市价单交易方向的自相关性：。有四种不同的组合，分别画出四种情况下的自相关函数如下：

可以发现有一些规律：

对于高价股，这四个函数行为比较相近，因为对于高价股，比如特斯拉，盘口较薄，可能你下几手就能把mid-price提高几个tick甚至十几个tick，但是几个tick的价格变动在股价中的占比可能还不到万分之一，所以一个市价单是否引起价格变动对市场来说差不多，也就是说或者对市场差不多，所以最终四个函数差不多。
但是对于低价股，四个函数差异较大，因为对于低价股，价格变动一个tick可能在股价占比也有千分之几甚至更高，并且这些股票通常盘口很厚，如果要引起价格变动可能需要下非常大的订单，这样对市场来说可能还传递了价格的信息（例如有大买单，可能意味着价格未来会涨），所以一个市价单是否引起股价变动对市场来说差异较大。
对于低价股还有一个现象是，如果当前的市价单引起了价格变动，则紧接着更有可能会出现一个反方向的订单，也就是说如果有一个买单引起了价格升高，则下一个市价单通常可能是卖单。这可以从INTC（英特尔）和CSCO（思科）的图中看出来，在的地方为空，所以$C_{1,0}(1)#为负值，说明两个市价单方向存在负相关性。原因是因为一个买单将价格升高之后，对于卖方来说现在的价格更好，所以更多人愿意卖出。

自相关性的理论建模

以上是在实验上发现了市价单交易方向的自相关性，并且服从power law，从理论上我们有两种解释：

Herding: 群集效应，可能有人下了一个大单之后，导致很多人认为价格会上涨，从而都做多，导致很多买单的出现，也就导致了自相关性的出现。
Order-splitting: 机构在下大单的时候会将订单拆成很多份小的订单，并且在较长的一段时间之内交易这些订单，这也导致了很多同方向订单的出现，所以有自相关性。

以下我们分别对这两种情况进行建模分析。
Herding Model

因为herding实际上相当于一个交易者在下单的时候是在跟着之前的某个订单下单，所以对于第个市价单来说，会先找到第个市价单，其中，然后根据其交易方向，以的概率和它下同方向的订单(，以的概率和它下不同方向的订单.
在这样的假设下，的自相关函数满足Yule-Walker equation:

方程有唯一解，从而和存在一一对应关系，给定一个就可以得到相应的。
实验上我们已经观察到，如果选择的形式，则通过Yule-Walker equation求解得到的解也具有这样的形式。从而理论模型的解与实验观察统一。
在这个模型下，我们还可以通过历史的订单方向来预测未来的交易方向。
在给定的情况下，我们可以通过求的条件期望预测

Order-splitting Model

假设市价单方向的长期记忆性质来源于拆单。原始想要执行的订单称为metaorder

假设有M个机构都要下单，它们每个机构有一个对应的metaorder， metaorder 由刻画，其中代表其交易方向，称为termination rate, 相当于刻画了一个metaorder的大小。
metaorder的执行过程是这样的：
以的概率被结束，即metaorder 丢应的所有子订单都被执行完成，这个metaorder不会出现在之后的执行过程中，这时假设会有一个新的metaorder来，从而metaorder的总数还是。
剩下的的概率，会执行当中拆出来的一份订单，此时产生交易方向为的订单。
在假设不同metaorder的交易方向相互独立的情况下，我们可以得到以下结论:

因为如果它们属于不同的metaorder，则因为交易方向相互独立，所以条件期望为0。如果它们属于同一个metaorder，则，对应的条件期望为1，所以上式成立。
在假设的条件下，通过推导可以得到

也是power law的形式。
Herding v.s. Order-splitting

以上两个模型都能够解释自相关性并且也能得到实验上自相关函数为power law的形式。但是原作者从实验上观察到自相关性更多的还是来源于拆单而不是herding，因为机构拆单可能需要几天甚至几周才能把所有订单交易完成，所以这一段时间之内可能会有很多方向相同的订单。
市价单对价格的影响

短期影响

如何衡量一个市价单对价格的影响？一种方法是计算下单前后mid-price的变化，即

我们称之为lag-1 unconditional impact（之后会有condition impact)，乘上的原因是，我们希望衡量一个市价单是否将价格向它的交易方向推，例如买单是否会将价格推高，卖单是否会将价格压低。对于买单来说，所以如果则，；对于卖单来说，所以如果则，.
在NASDAQ的股票上分别计算结果如下：

图中每个点对应一个股票，纵坐标的即为对应股票的bid-ask spread，可以发现有以下结果：

，所以买单平均意义上会把价格推高，而卖单平均意义上会将价格压低
对于高价股，spread较大，与有很好的线性关系，这是因为在较大时，spread要补偿做市策略的损失使得其处于不赚不亏。因为做市策略是在两方都挂单，如果一方成交（比如ask成交），说明有买单，价格可能会变高，从而另一边要成交可能要以更差的价格成交，价格受到市价单影响而升高的部分由spread补偿，使得策略处于不赚不亏状态。

长期影响

前面代表了市价单对价格的短期的影响，我们可以考虑更长尺度的影响

在几只股票上画出如下

可以发现收敛到一个比大2-5倍的值，这是因为市价单交易方向存在自相关，短时间内会有很多同方向的将价格推向同一个方向。但是当较大时，从自相关函数的图中可以发现，自相关性几乎减弱到0，也就意味着第个市价单对之后的市价单几乎没有影响，从而对价格的影响不会累积。从数学上也可以有以下较为简单的解释：
假设在是不再增加

不同下单量的市价单对价格的影响

我们可以考虑不同下单量的市价单对价格的影响大小

从NASDAQ几只股票的结果中可以发现

其中。
可以发现关于是sub-linear的，并且concave，一个直观的解释是：在假设只有引起价格变动的市价单对有贡献，并且对价格的影响为常数的条件下，可以推出

其中即为订单引起价格变动的概率。在时，，在时，从而，所以呈现出concave的性质。
一段时间内的市价单的影响

以上我们只考虑了一个市价单对价格的影响，我们还可以进一步考虑一段时间内的所有市价单对价格的影响。在实践内，每个市价单都有自己的交易方向和下单量，我们已aggregate signed order flow来代表这一段时间内的市价单：

这实际上就是主动买量-主动卖量。
我们计算

在NASDAQ上拟合得到如下结果

其中大概是下图的形式。

在时近似为线性，在较大时增长速率减缓。减缓的原因是因为一个叫selective liquidity taking的性质。
Selective Liquidity Taking

我们画出下单量和当前对手方最优价位上的挂单量比值的分布图如下：

可以发现，在时，概率分布非常小，这说明当较小时，也大概率不会太大，大概率还是小于。从而也就说明较大时，通常也较大，也就是说大的市价单通常发生在对手方挂单量也很大的情况下，交易者在下市价单时，会根据当前对手方最优价位的挂单量调整下单量。
另外，分布图中有很多的尖刺，尖刺处的分布概率较大，并且尖刺通常发生在一些比较整的数字附近，比如(0.2, 0.3,0.4等)，这可能说明交易者喜欢下比较整的单子，比如现在卖一挂单量为1000，下单的时候更可能会下挂单量的1/10 (100), 1/5 (200)，而不是123等等的数字。
通过以上的现象说明，当比较大的时候，买单较多，此时可能sell limit order很多，使得这些买单对价格的影响较小，从而增长速率减缓，表现出concave的性质。
总结

The signs of arriving market orders have long-range autocorrelations.
Empirical studies suggest that the main cause of these autocorrelations is single investors splitting large metaorders, rather than different investors herding.
对于高价股\langle s\rangle$成线性关系，spread用于补偿market order对价格的影响
实验上，随着而增大，并且收敛到比大2-5倍的大小。
关于近似sub-linear, 并且concave
在较小时为线性，在较大时也是concave.

期权匿名回答 · 2022-5-6 23:23:05

精彩

期权匿名回答 · 2022-5-6 23:23:20

没想到是新鲜的，赞

期权匿名回答 · 2022-5-6 23:24:09

2022年了还有人在认真分享知识，给老哥点赞！

【高频交易】市价单的长期记忆性及对价格的影响

3 个回复