作者：yiqi.feng 原文链接：金融时间序列入门（四）--- ARCH、GARCH
前言
前面几篇介绍了ARMA、ARIMA及季节模型，这些模型一般都假设干扰项的方差为常数，然而很多情况下时间序列的波动有集聚性等特征，使得方差并不为常数。因此，如何刻画方差是十分有必要研究的。 本文介绍的ARCH、GARCH模型可以刻画出随时间变化的条件异方差。
七、自回归条件异方差模型(ARCH)
7.1 波动率的特征
对于金融时间序列，波动率往往具有以下特征：
（1）存在波动率聚集现象。 即波动率在一段时间上高，一段时间上低。
（2）波动率以连续时间变化，很少发生跳跃
（3）波动率不会发散到无穷，波动率往往是平稳的
（4）波动率对价格大幅上升和大幅下降的反应是不同的，这个现象为杠杆效应
7.2 ARCH的基本原理
在传统计量经济学模型中，干扰项的方差被假设为常数。但是许多经济时间序列呈现出波动的集聚性，在这种情况下假设方差为常数是不恰当的。
ARCH模型将当前一切可利用信息作为条件，并采用某种自回归形式来刻划方差的变异，对于一个时间序列而言，在不同时刻可利用的信息不同，而相应的条件方差也不同，利用ARCH 模型，可以刻划出随时间而变异的条件方差。
7.2.1 ARCH模型思想
1.资产收益率序列的扰动 {![]() } 是序列不相关的，但是不独立。
2.{![]() }的不独立性可以用其延迟值的简单二次函数来描述。
具体而言，一个ARCH(m)模型为：
![]()
其中，{![]() }为 均值为0，方差为1的独立同分布（iid）随机变量序列。通常假定其服从标准正态分布。![]() 为条件异方差。
7.2.2 ARCH模型效应
从上面模型的结构看，大的过去的平方“扰动”会导致信息![]() 大的条件异方差。从而at有取绝对值较大的值的倾向。这意味着：在ARCH的框架下，大的"扰动"会倾向于紧接着出现另一个大的"扰动"。这与波动率聚集的现象相似。
所谓ARCH模型效应，也就是条件异方差序列的序列相关性
7.3 ARCH模型建立
ok，上面尽可能简单的介绍了ARCH的原理，下面主要介绍如何python实现。ARCH模型建立大致分为以下几步：
步骤（1）：通过检验数据的序列相关性建立一个均值方程，如有必要，对收益率序列建立一个计量经济模型（如ARMA）来消除任何线形依赖。
步骤（2）：对均值方程的残差进行ARCH效应检验
步骤（3）：如果具有ARCH效应，则建立波动率模型
步骤（4）：检验拟合的模型，如有必要则进行改进
arch库其实提供了现成的方法，（后面会介绍），但是为了理解ARCH，我们按流程来建模
7.3.1 均值方程的建立
这里的均值方程可以简单认为建立ARMA(或ARIMA)模型，ARCH其实是在此基础上的一些“修正”。 我们以上证指数日涨跌幅序列为例(点击查看原文代码)：
由于后面的arch库均值方程只支持常数、零均值、AR模型，我们这里建立AR模型，方便对照~
![]()
首先检验平稳性，是否需要差分。 原假设H0：序列为非平稳的，备择假设H1:序列是平稳的
p-value:7.56217111771e-10
p-value小于显著性水平，拒绝原假设，因此序列是平稳的，接下来我们建立AR(p)模型，先判定阶次
![]()
于是我们建立AR(8)模型，即均值方程
7.3.2 ARCH效应的检验
我们利用金融时间序列入门（一）中的混成检验（Ljung-Box),检验序列{at^2}的相关性，来判断是否具有ARCH效应
计算均值方程残差：![]() =![]() ![]()
画出残差及残差的平方
![]()
然后对{at^2}序列进行混成检验： 原假设H0:序列没有相关性，备择假设H1：序列具有相关性（点击查看完整表格）
![]()
p-value小于显著性水平0.05，我们拒绝原假设，即认为序列具有相关性。因此具有ARCH效应。
7.3.2 ARCH模型的建立
首先讲讲ARCH模型的阶次，可以用{at^2}序列的偏自相关函数PACF来确定：
![]()
由上面的图我们可以粗略定为4阶。然后建立AR(4)模型
![]()
后续的AR模型就不建立了~ 当然，按照上述流程走下来非常麻烦~
事实上arch库可以一步到位~：
根据我们之前的分析，可以粗略选择均值模型为AR(8)模型，波动率模型选择ARCH(4)模型（分析过程）
可以看出，我们的模型为：
![]()
对上述模型，我们可以看出，上证指数的日收益率期望大约在0.16%。 模型的R-squared较小，拟合效果一般。
7.3.3 ARCH模型的预测
首先来看整体的预测拟合情况：
![]()
可以看出，虽然具体值差距挺大，但是均值和方差的变化相似。下面再看最后10个数据的预测情况
![]()
可以看出，光从看涨看跌的角度去看，预测看涨看跌的正确率为60%，当然，其实模型更重要的功能是预测波动率，我们将在下章讲到。
八、GARCH模型与波动率预测
虽然ARCH模型简单，但为了充分刻画收益率的波动率过程，往往需要很多参数，例如上面用到ARCH(4)模型，有时会有更高的ARCH(m)模型。因此，Bollerslev(1986)年提出了一个推广形式，称为广义的ARCH模型（GARCH）
另![]() =![]() ![]()
为t时刻的新息。若![]() 满足下式：
![]()
其中，{![]() }为 均值为0，方差为1的独立同分布（iid）随机变量序列。通常假定其服从标准正态分布或标准化学生-t分布。![]() 为条件异方差。
则称![]() 服从GARCH(m,s)模型。仔细观察公式，发现与ARMA模型很相似！
8.1GARCH模型建立
与之前的ARCH模型建立过程类似，不过GARCH(m,s)的定阶较难，一般使用低阶模型如GARCH(1,1),GARCH(2,1),GARCH(1,2)等。
下面我们以之前的数据为例，构建GARCH模型，均值方程为AR(8)模型，波动率模型为GARCH(1,1)(推导过程)
我们得到波动率模型：
![]()
![]()
观察上图，第一张图为标准化残差，近似平稳序列，说明模型在一定程度上是正确的；
第二张图，绿色为原始收益率序列、蓝色为条件异方差序列，可以发现条件异方差很好得表现出了波动率。
![]()
观察拟合图发现，在方差的还原上还是不错的。
8.2 波动率预测
上一章的预测直接预测了收益率，然而直接预测收益率准确度并不是很高，因此很多时候我们主要用来预测波动率，根据上面建立的波动率模型：
![]()
我们可以按照我们建立好的模型一步步计算。
根据模型：
![]()
先计算![]() 的预测值
我们需要提取均值方程的系数向量w，再逐个计算![]() 后面10个值
接着根据波动率模型预测波动率：
![]()
array([ 0.01371429, 0.01211216, 0.01066571, 0.00939711, 0.00828183, 0.00729623, 0.00651585, 0.0057566 , 0.00507332, 0.00448707])
我们将原始数据、条件异方差拟合数据及预测数据一起画出来，分析波动率预测情况
![]()
可以看出，对于接下来的1、2天的波动率预测较为接近，然后后面几天的预测逐渐偏小。
可惜的是arch库中没有找到直接调用的方法，只好自己来计算。
小结
本篇是时间序列入门系列的最后一篇，重点还是在基础的概念和python实现上。事实上要真学好这些模型，少不了更多的参考和实验。
另外，还有很多扩展的或改进的模型如求和GARCH、GARCH-M模型、指数GARCH、EGARCH模型等等。 对于波动率模型，还有比较常用的有随机波动率模型等， 有兴趣可以去研究下。
参考文献
1.《金融时间序列分析》 第2版 Ruey S.Tsay著 王辉、潘家柱 译
2.Time Series analysis tsa http://nipy.bic.berkeley.edu/nightly/statsmodels/doc/html/tsa.html
3.Python arch 3.2 https://pypi.python.org/pypi/arch
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