时间序列分析笔记7：GARCH模型（二）

1. 最大似然估计

GARCH(1,1)：

显然，模型不再是通常的线性形式，这意味着OLS不起作用。在这种情况下，可以使用最大似然。这种方法通过找到给定数据的参数中最可能的值来工作。换句话说，我们形成一个对数似然函数并使其最大化。
考虑一个具有同方差误差的简单回归：

设，使，正态分布随机变量的概率密度函数为：

如果是独立同分布，那么也是独立同分布。所有的联合分布可以表示为单个密度函数的乘积：

有似然函数：

似然函数可写成。最大似然估计就是找出这些变量的值使似然函数最大化。将这些参数的乘法函数最大化是复杂的，因此取其对数得到对数似然函数(LLF)：

或者，上式也可以写成：

用一阶条件求解该函数，得到与OLS相同的估计量，MLE方差一致但有偏。
对于GARCH模型，方差是随时间变化的，因此我们必须将替换为，替换为。除了最简单的情况外，优化是不能用解析法得到的。经常使用数值程序：

设置对数似然函数 LLF
使用回归得到平均参数的初始猜测(initial guesses)
为条件方差参数选择一些初始猜测
通过准则(criterion)或值指定收敛准则(convergence criterion)

如果误差是正态分布的，这种估计对于大样本是最优的
它在没有正态性的情况下仍然是好的，拟极大似然估计(Quasi-MLE)
对于GARCH(1,1)模型，GARCH(1,1)中的三个参数都应该是正的
为了保证波动过程是平稳的，应保证。但它非常接近1，表明波动非常持久
估计的无条件方差应与数据方差接近

2. 用GARCH模型预测

GARCH(1,1)模型的一步提前预测(one-step ahead forecast)为：

两步提前预测(two-step ahead forecast)为：

多步提前预测(multi-step ahead forecast)为：

无论当前的波动是什么，预测都收敛于相同的值：

，若

对于长期波动很少或没有更新。
3. 预测误差

预测误差定义为

其中为白噪声：

均值为0，
协方差为0，

设，有：

因此，对于ARMA(1,1)，满足平稳性。
4. GARCH模型的扩展

4.1 IGARCH

Intergrated GARCH (IGARCH) 模型是单位根的GARCH模型。与ARIMA模型相似，IGARCH模型的一个关键特征是，过去的平方冲击对的影响是持久的。对于IGARCH(1,1)，有。
在许多情况下，IGARCH(1,1)模型的参数估计与GARCH(1,1)的参数估计相差不远。但在IGARCH(1,1)模型下，没有定义无条件方差。从理论的角度来看，IGARCH现象可能是由波动率偶尔的水平移动(level shifts)引起的。
4.2 GARCH-M

在金融领域，证券的回报可能取决于其波动性，我们期望较高的回报补偿风险。为了对这种现象进行建模，我们可以考虑GARCH-M模型，其中M代表GARCH的平均值。GARCH(1,1)-M为：

参数被称为风险溢价参数。因此，风险溢价的存在是一些历史股票收益具有序列相关性的另一个原因。
4.3 GJR-GARCH

我们通常假设误差为正态分布，但在实际应用中也有一些非正态分布，例如 Student t 分布、广义误差分布(GED)。通常，Student t 误差假设能给出更好的估计。对股票而言，非对称性始终很重要。然而，正态分布和Student t 分布都是对称的，不能产生倾斜分布。
不对称的波动来源于：

杠杆效应：当股票价格下降时，公司的杠杆率会上升，因此下一次冲击对股票价格有更高的波动性
风险厌恶：有关未来波动事件的消息将导致股票抛售和价格下跌。由于事件是聚类的，任何新闻事件都将预示着未来更高的波动性。

负回报冲击往往比正回报冲击对波动性的影响更大。为了模拟非对称性质，Glosten、Jaganathan和Runkle提出了GJR-GARCH模型：

其中，若则，否则

当收益冲击为负时，ARCH参数变为
当收益冲击为正时，ARCH参数变为

为了得到理论结果，我们假设归一化残差具有对称分布，且独立于，模型写为：

取期望后得到：

得到方差：

4.4 EGARCH

Nelson(1991)提出了另一种建模不对称波动率的方法， EGARCH模型：

对于正态分布：

对于Student t 分布：

由两条在处连接的直线定义：

当时，函数的斜率是
当时，函数的斜率是

根据经验，表明市场下行时波动性增加更多。在波动性不对称的情况下，收益分布是不对称的，并且经验上具有较长的左尾。从长远来看，中心极限定理将减少这种影响，收益将近似正态。不同的数据频率下可以选择不同的模型。
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