《金融时间序列分析》读书笔记（一）

本篇为书《金融时间序列分析》第二章的自学笔记，供个人学习所用

1.平稳性

严平稳：时间序列{rt}称为严平稳的，如果对所有的t，任意正整数k和任意k个正整数(t1,...,tk)，的联合分布与的联合分布是相同的，即要求联合分布在时间的平移变换下保持不变。
弱平稳：{rt}是弱平稳的如果的均值与和的协方差不随时间而改变，其中l为任意整数。或者说，{rt}是弱平稳的，若， (只依赖于l)。
弱平稳两个重要性值：（1）（2）
弱平稳性可以使我们对未来进行推断/预测：
2.相关系数和自相关系数

如何判定弱平稳序列？

相关系数：
自相关系数ACF(autocorrelation)：
如果{rt}是独立同分布序列且，则对任意整数l，渐进服从均值为0，方差为1/T的正态分布。
更一般的，若{rt}是一个弱平稳序列，满足，其中，{aj}是均值为0的任意独立同分布序列，则对l>q，渐进的符串均值为0，方差为的正态分布。
相关图：
如果把ρ看作l的方程，则它通常被称为样本自相关方程，刻画了时间序列的重要特性，做出相关图（l为x轴，ρ为y轴）可以初步分析ρ与滞后阶数的变化规律。对金融时间序列建模，最重要的就是挖掘出该序列中的不同间隔l的自相关性，相关图可以帮助我们判断模型是否合适。
如果模型很好的捕捉了自相关性，那么原始时间序列与模型拟合的时间序列之间的残差应该近似的等于随机噪声，同样的，残差序列也可视作一个时间序列，可以利用相关图并作出显著性水平线即可判断既有模型是否含有任何未考虑的额外自相关性。（标准白噪声序列满足ρ0=1与ρk=0）

检验单个ACF：Bartlett
对一个给定的正整数l，可以用前面的结果来检验和，检验统计量为：

如果{rt}是一个平稳高斯序列且满足当j>l时 =0，则该t-ratio渐进服从标准正态分布，当|t-ratio|> 时拒绝H0。

检验多个ACF：Ljung-Box Test
原假设，备择假设
混成检验统计量：
当Q(m)> 时拒绝H0。
3.白噪声和线性时间序列

白噪声：时间序列{rt}被称为一个白噪声序列，若{rt}是一个具有有限均值有限方差的独立同分布随机变量序列。
如果{rt}还服从均值为0方差为σ^2的正态分布，那么这个序列为高斯白噪声。
对于白噪声序列，所有自相关函数为0。白噪声序列是没有预测价值的。如果模型预测值与实际值之间的残差序列在统计意义上近似为白噪声（所有残差自相关系数不显著偏离0），那么认为该模型很好的捕捉了原始数据的自相关性。
线性时间序列：时间序列{rt}被称为线性的，如果它能够写成。其中μ是rt的均值，ψ0=1，{at}时0均值独立同分布的随机变量序列（at又常被成为新息或随机扰动）
可以推得：
rt的均值与方差：
rt的自协方差：
4.简单的自回归模型

在牛市/熊市时期，收益率序列往往呈现连续的正值/负值，在震荡市的时候又会呈现正负混合的状态，这一定程度上隐含着收益率序列确实存在某种自相关性，如何用过去的收益率序列进行建模，去预测未来的收益率呢？

AR(1)模型：，其中{αt}是均值为0，方差为的白噪声序列。这是一个经典的自回归模型，与线性回归不同的是其自变量是时间序列本身。
在已知过去的收益率的情况下， ,

AR(p)模型：
自回归模型不一定都能够满足平稳性，例如随机游走序列X(t)=X(t-1)+w(t)，其中w为白噪声，模型的方差为tσ^2，随着时间的变化而变化。
对于AR(p)，根据模型的系数可以写出它的特征方程：，其中B是向后推移算子，。该特征方程有p个解，这两个解的倒数被称为特征根，自回归模型平稳性要求模型特征方程的所有特征根的模都小于 1。
对于平稳的AR(p)，其均值为
AR(p)自相关系数可以表达为

定阶方法：
（1）偏相关函数
（2）信息准则AIC/BIC

5.简单滑动平均模型

MA(1)的一般形式：
MA(q)的一般形式：，其中c0是常数，{at}为白噪声序列
MA模型总是弱平稳的，因为它是白噪声序列的有限线性组合。
其均值为：方差为：
MA(q)的自相关系数：
定阶：MA(q)序列的理论自相关函数在q后截尾，。在{rt}为独立同分布白噪声列的条件下，k>0的渐近N(0,1/T)分布，所以查看ACF图，最后一个显著不等于零的的位置可以暂定为MA模型的阶。
6.简单ARMA模型

ARMA(1,1)：
ARMA(p,q)：
利用向后推移算子，上述模型可以写成：

定阶：可以逐个从低阶模型尝试，p+q越小越好，找到AIC最小的选择，用精确最大似然或者条件最大似然方法估计参数。对残差进行白噪声检验以验证模型是否充分。
Tsay和Tiao(1984)提出了一个对ARMA定阶的辅助工具EACF，其结果可以用与(p,q)有关的二维表格表示，结果包含由字母“O”组成的三角形，锐角顶点在(p,q)位置。如